中英高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的比較研究

楊婧 陳至桐

［摘 要］數(shù)學(xué)和物理學(xué)是理科中聯(lián)系最為緊密的兩個(gè)學(xué)科，高中課程中的數(shù)理結(jié)合內(nèi)容教學(xué)對(duì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展、提高學(xué)生知識(shí)整合能力和跨學(xué)科綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題能力具有重要意義。文章通過(guò)比較分析中、英高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)理結(jié)合內(nèi)容在知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式、題目設(shè)置和特點(diǎn)方面具有的不同特色，從教學(xué)內(nèi)容、物理情境、教學(xué)難點(diǎn)和習(xí)題設(shè)置四個(gè)方面為高中數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的教學(xué)提供參考建議。

［關(guān)鍵詞］數(shù)理結(jié)合內(nèi)容；高中數(shù)學(xué)；A Level課程；教材分析

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）09-0025-04

一、 引言

我國(guó)《普通高中課程方案（2017年版2020年修訂）》和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中指出要關(guān)注學(xué)科間的聯(lián)系與整合，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展［1- 2］。在理科中，數(shù)學(xué)和物理學(xué)在學(xué)科內(nèi)容和方法上相互結(jié)合，在學(xué)科發(fā)展歷程中相互促進(jìn)，是關(guān)系最密切的兩個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中有很多知識(shí)點(diǎn)就是結(jié)合物理問題引入的，或者利用物理量之間的關(guān)系進(jìn)行闡述，或者應(yīng)用于解決實(shí)際物理問題，這些就是“數(shù)理結(jié)合內(nèi)容”［3］。類似地，英國(guó)高中AS & A Level（Advanced Subsidiary and Advanced Level，簡(jiǎn)稱A Level）數(shù)學(xué)課程的《課程大綱》指出，要讓學(xué)生獲得能夠在日常情況和其他學(xué)科背景下應(yīng)用數(shù)學(xué)的技能，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。其中，特別提到了關(guān)于力學(xué)模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題求解［4-5］，并且課程內(nèi)容中還專門設(shè)置了“力學(xué)數(shù)學(xué)”相關(guān)主題模塊，這就是A Level數(shù)學(xué)課程中的數(shù)理結(jié)合內(nèi)容。本文分析并比較我國(guó)人民教育出版社2019年版的《普通高中數(shù)學(xué)教科書》A版（以下簡(jiǎn)稱“人教版教材”）、英國(guó)劍橋大學(xué)出版社2018年版的A Level力學(xué)數(shù)學(xué)教科書Cambridge International AS & A Level Mathematics： Mechanics Coursebook和進(jìn)階數(shù)學(xué)教科書Cambridge International AS & A Level Further Mathematics Coursebook（以下將這兩本教材統(tǒng)一簡(jiǎn)稱為“A Level教材”）中數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式、相關(guān)題目設(shè)置及特點(diǎn)，并根據(jù)兩國(guó)教材中的特色和差異，給出高中數(shù)理結(jié)合內(nèi)容教學(xué)的參考建議。

二、 中英高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的比較

（一） 知識(shí)點(diǎn)呈現(xiàn)方式的比較

我國(guó)人教版教材中，除“集合與常用邏輯用語(yǔ)”和“復(fù)數(shù)”兩個(gè)章節(jié)外，其他必修和所有選修章節(jié)均包含數(shù)理結(jié)合內(nèi)容。這些內(nèi)容分布于教材中的“章節(jié)開篇”、“問題導(dǎo)入”環(huán)節(jié)，以及“探究”“思考”“觀察”等多個(gè)欄目中。其中，數(shù)理結(jié)合內(nèi)容中的物理知識(shí)涉及力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)和近代物理等多個(gè)物理領(lǐng)域。在教材中，數(shù)理結(jié)合內(nèi)容與純數(shù)學(xué)內(nèi)容交織在一起，相關(guān)的題目與數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)題以及其他應(yīng)用類問題沒有進(jìn)行分類標(biāo)記或特殊的排版區(qū)分。例如，人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的“章節(jié)開篇”中引用了“天宮二號(hào)”發(fā)射升空的距離隨時(shí)間的變化而變化、高鐵營(yíng)運(yùn)里程逐年增加兩個(gè)物理實(shí)例，又從“復(fù)興號(hào)”高鐵勻速運(yùn)行時(shí)的路程與時(shí)間關(guān)系“問題”引出“函數(shù)的概念”；人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章“三角函數(shù)”中，以勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、交變電流、氣溫變化、潮汐規(guī)律、星體亮度等“問題”和“例題”介紹了三角函數(shù)的應(yīng)用，又在“閱讀與思考”欄目中介紹了聲音的振幅、周期、頻率、相位等知識(shí)；人教版高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章“平面向量及其應(yīng)用”中6.4.2小節(jié)介紹了向量在物理中的應(yīng)用；人教版高二數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第五章“一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”中從高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)速度引出了“變化率問題”，進(jìn)而引出了導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并在這一章中設(shè)置了多個(gè)與運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)的“例題”“練習(xí)”與“習(xí)題”。不僅如此，教材中的數(shù)學(xué)史也提到了物理學(xué)家在數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展中的貢獻(xiàn)。例如，人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”的“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目中，參考選題“數(shù)學(xué)家與函數(shù)”里提到了開普勒、伽利略、牛頓等物理學(xué)家對(duì)函數(shù)發(fā)展所起到的推動(dòng)作用；人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第四章“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”的“文獻(xiàn)閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目中，介紹了伽利略對(duì)“對(duì)數(shù)”的出現(xiàn)所做的評(píng)價(jià)。此外，第五章“導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算”一節(jié)“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中還引申介紹了物理學(xué)家牛頓提出的利用導(dǎo)數(shù)法求高次方程近似解的數(shù)值算法，以此鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)工具來(lái)探索和解決問題。

英國(guó)劍橋大學(xué)國(guó)際考評(píng)部（Cambridge Assessment International Education，簡(jiǎn)稱CAIE）下設(shè)的A Level數(shù)學(xué)課程有兩門，分別為“數(shù)學(xué)”（Mathematics，課程代碼9709）和“進(jìn)階數(shù)學(xué)”（Further Mathematics，課程代碼9231）。兩門課程內(nèi)容均分為“（進(jìn)階）純數(shù)學(xué)”、“（進(jìn)階）力學(xué)數(shù)學(xué)”和“（進(jìn)階）概率與統(tǒng)計(jì)”三大部分。A Level數(shù)學(xué)教材基本就是按照這三部分的順序進(jìn)行章節(jié)編排的。其中，數(shù)理結(jié)合內(nèi)容僅在“（進(jìn)階）力學(xué)數(shù)學(xué)”部分對(duì)應(yīng)的章節(jié)中出現(xiàn)。整體來(lái)看，其課程結(jié)構(gòu)安排與知識(shí)內(nèi)容和物理學(xué)教材相似，包括了質(zhì)點(diǎn)物體的一維運(yùn)動(dòng)、平衡態(tài)力學(xué)、恒力作用下的直線運(yùn)動(dòng)學(xué)、剛體、變力作用和二維運(yùn)動(dòng)。在物理知識(shí)的講解上，（進(jìn)階）力學(xué)數(shù)學(xué)教材的主要特點(diǎn)體現(xiàn)在三個(gè)方面。第一，（進(jìn)階）力學(xué)數(shù)學(xué)教材偏重物理規(guī)律在實(shí)際問題中的應(yīng)用，而非它們的建立過(guò)程。因此，諸如物理概念、定理、定律和公式等基本物理知識(shí)在教材中大多是開門見山地直接給出。以“動(dòng)能”的定義式為例，A Level力學(xué)數(shù)學(xué)教材中是緊隨“動(dòng)能”一詞的出現(xiàn)直接給出的；而A Level物理學(xué)教材則通過(guò)一個(gè)特例給出了它的具體推導(dǎo)過(guò)程。第二，（進(jìn)階）力學(xué)數(shù)學(xué)教材中特別強(qiáng)調(diào)了關(guān)于抽象數(shù)學(xué)方法、概念的應(yīng)用還需要考慮到實(shí)際物理問題對(duì)其的限定。例如，在純數(shù)學(xué)知識(shí)領(lǐng)域中，利用圖像法展示變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，對(duì)函數(shù)圖像是否連續(xù)并無(wú)限制，但如果應(yīng)用到物理學(xué)中的路程—時(shí)間圖像時(shí)，從路程的物理意義可知，其隨時(shí)間變化的函數(shù)圖像必須是連續(xù)的。第三，（進(jìn)階）力學(xué)數(shù)學(xué)教材中專門設(shè)置了“模型假設(shè)”欄目來(lái)詳細(xì)闡述所學(xué)數(shù)學(xué)概念、方法在應(yīng)用于實(shí)際物理問題時(shí)，需要進(jìn)行假設(shè)。例如，教材的多個(gè)章節(jié)從不同運(yùn)動(dòng)形式和不同問題角度討論了建立“點(diǎn)粒子”模型時(shí)，物體的形狀、體積、形變等因素對(duì)其運(yùn)動(dòng)影響在何種條件下可忽略不計(jì)；持續(xù)不變的物理量和瞬時(shí)變化的物理量分別在何種條件下可被看作“不變”和“瞬時(shí)”等。這些從實(shí)際問題提煉數(shù)學(xué)模型的詳細(xì)分析過(guò)程，既培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，又引導(dǎo)學(xué)生從深度和廣度兩方面思考、拓展所學(xué)知識(shí)。

（二） 題目設(shè)置和特點(diǎn)的比較

我國(guó)人教版教材中設(shè)置了四類與題目相關(guān)的欄目，分別是章節(jié)中的“例題”、三級(jí)標(biāo)題小節(jié)末尾的“練習(xí)”、二級(jí)標(biāo)題小節(jié)末尾的“習(xí)題”和章末的“復(fù)習(xí)參考題”。在“習(xí)題”和“復(fù)習(xí)參考題”欄目中又各有三個(gè)子欄目：“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運(yùn)用”和“拓廣探索”。分析得出，數(shù)理結(jié)合內(nèi)容相關(guān)題目具有以下特點(diǎn)。

1.物理情境方面：以人教版高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)中“6.4 平面向量的應(yīng)用”一節(jié)為例，本節(jié)共出現(xiàn)了20道數(shù)理結(jié)合類的應(yīng)用題目，題目數(shù)量較多，在本節(jié)的應(yīng)用類題目中約占三分之一。其中，物理情境問題可歸納為5類，分別為均勻物體的重心、粒子之間的相對(duì)位移、拉力的合成、航行問題中速度的合成、角度測(cè)量相關(guān)的航向與航線?？梢?，相較題目數(shù)量來(lái)說(shuō)，物理情境設(shè)計(jì)的重復(fù)率較高。

2.物理知識(shí)技能方面：題目考查的重點(diǎn)為數(shù)學(xué)知識(shí)本身，雖然是物理方面的應(yīng)用問題，但關(guān)鍵的物理知識(shí)信息，如物體的受力情況、運(yùn)動(dòng)方程等，一般會(huì)在題目中作為已知條件，以坐標(biāo)、函數(shù)等數(shù)學(xué)形式呈現(xiàn)。這類題目對(duì)物理問題的分析能力和物理知識(shí)技能的要求不高。

3.題目類型與難度方面：復(fù)習(xí)鞏固類題目一般與對(duì)應(yīng)章節(jié)的“例題”相似，主要以鞏固基礎(chǔ)知識(shí)為主；綜合運(yùn)用類題目多是在“例題”的基礎(chǔ)上進(jìn)行小幅變化，旨在加強(qiáng)理解和拔高，比如在原例題基礎(chǔ)上進(jìn)行其他條件下的求解，或?qū)⒃}中的已知條件與求解問題對(duì)調(diào)，或在原例題基礎(chǔ)上做進(jìn)一步計(jì)算得到其他物理量等；拓廣探索類題目的開放性較強(qiáng)，求解方法多樣，答案并不唯一，旨在提高學(xué)生的多角度思考探索能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

英國(guó)A Level力學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)置的題目專欄也有四類，分別是章節(jié)中的“例題（Worked Example）”、節(jié)末“練習(xí)題（Exercise）”、章末“復(fù)習(xí)題（End-of-Chapter Review Exercise）”和涉及多個(gè)章節(jié)知識(shí)內(nèi)容的“交叉話題復(fù)習(xí)題（Cross-Topic Review Exercise）”。除“例題”外，各欄目中的題目又分為無(wú)需計(jì)算器類、P（Proof，證明）類、M（Modelling，模型）類、PS（Problem Solving，解決問題）類、真題類以及P、M、PS的各種組合類和其他類。分析得出，這些題目具有以下特點(diǎn)。

1.物理情境方面：情境的創(chuàng)設(shè)與日常聯(lián)系緊密，生活化程度高，具有多樣性。比如，在第一章中關(guān)于“物體的運(yùn)動(dòng)”情境中就涉及多種生活場(chǎng)景、交通工具和體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目等，并且大多數(shù)題目能夠達(dá)到一題一個(gè)情境。

2.物理知識(shí)技能方面：題目中一般會(huì)出現(xiàn)一段關(guān)于實(shí)際場(chǎng)景或?qū)嶋H問題的描述，篇幅相對(duì)較長(zhǎng)，需要學(xué)生通過(guò)分析給出合理的假設(shè)，進(jìn)而提煉出物理模型，列出相應(yīng)的公式進(jìn)行求解。這就要求學(xué)生要掌握一定量的物理知識(shí)，還要具備較強(qiáng)的問題分析能力。

3.題目類型與難度方面：無(wú)需計(jì)算器類題目中一般是簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算；P類題目中多是關(guān)于物理公式的證明，或是關(guān)于物理量大小的證明；M類題目要求指出解題過(guò)程中必要的物理假定和近似，與教材中的“模型假設(shè)”欄目對(duì)應(yīng)；PS類題目要求給出問題的解決方案；真題類題目為歷年考試真題，只在“復(fù)習(xí)題”和“交叉話題練習(xí)題”欄目中出現(xiàn)，這說(shuō)明A Level課程不僅注重跨學(xué)科綜合，同時(shí)也注重學(xué)科內(nèi)的綜合。此外，每種類型的題目中都有易有難，無(wú)法簡(jiǎn)單地從題目類型來(lái)判斷題目難度。

三、 研究結(jié)論與教學(xué)建議

我國(guó)高中人教版數(shù)學(xué)教材中除前文提到的兩章內(nèi)容外，其余所有章節(jié)都有“數(shù)理結(jié)合內(nèi)容”，涉及的物理學(xué)內(nèi)容較廣，但習(xí)慣利用較為典型且單一的物理情境去集中討論某一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并且其中的物理信息描述偏重?cái)?shù)學(xué)化，對(duì)物理方面的知識(shí)能力要求不高。英國(guó)A Level數(shù)學(xué)教材中的“數(shù)理結(jié)合內(nèi)容”僅集中于與“力學(xué)數(shù)學(xué)”相關(guān)的章節(jié)，章節(jié)的安排和內(nèi)容上類似物理學(xué)教材，題目中的物理情境設(shè)計(jì)豐富，但僅圍繞力學(xué)領(lǐng)域展開，題目風(fēng)格偏重于解決物理問題，缺乏數(shù)學(xué)知識(shí)的體系性。因此，筆者根據(jù)兩國(guó)教材特點(diǎn)取長(zhǎng)補(bǔ)短，提出以下幾點(diǎn)關(guān)于高中“數(shù)理結(jié)合內(nèi)容”教學(xué)的參考建議。

1.數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)在不影響學(xué)科主線結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)和物理學(xué)兩方面雙管齊下，不僅將物理學(xué)知識(shí)融于數(shù)學(xué)課程的各個(gè)章節(jié)，還應(yīng)涉及物理學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，比如力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、近代物理等。由于數(shù)理結(jié)合內(nèi)容具有跨學(xué)科的綜合性，教學(xué)上應(yīng)兼顧兩門學(xué)科的知識(shí)體系與教學(xué)進(jìn)度。教師可以以一門學(xué)科為主，設(shè)計(jì)關(guān)于另一門學(xué)科的教學(xué)專題。比如，以數(shù)學(xué)學(xué)科為主設(shè)計(jì)物理學(xué)教學(xué)專題“函數(shù)的物理應(yīng)用”“三角函數(shù)的物理應(yīng)用”“向量的物理應(yīng)用”等；或以物理學(xué)科為主，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)專題“物體運(yùn)動(dòng)的圖像分析法”“物體受力分析的矢量運(yùn)算”“幾何光學(xué)中的圓錐曲線問題”等。

2.數(shù)理結(jié)合內(nèi)容中的物理情境設(shè)計(jì)應(yīng)具有真實(shí)性和多樣性，來(lái)源于生活、應(yīng)用于生活。題目中描述客觀事實(shí)時(shí)所涉及的近似和假設(shè)應(yīng)結(jié)合實(shí)際，避免盲目追求數(shù)理結(jié)合而生搬硬套、脫離現(xiàn)實(shí)。

3.數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)在于抽象模型的構(gòu)建和公式的物理意義，應(yīng)注意避免在解題過(guò)程中過(guò)度數(shù)學(xué)化而忽略了物理意義。比如，數(shù)學(xué)上簡(jiǎn)單的公式變形、化簡(jiǎn)或變量代換，可能會(huì)帶來(lái)完全不同的、甚至是錯(cuò)誤的物理解釋。因此，學(xué)科綜合教學(xué)應(yīng)充分建立在所涉及學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)之上，使學(xué)生知其然，也要知其所以然，能夠通過(guò)分析解決實(shí)際物理問題，進(jìn)而提高學(xué)生的模型建構(gòu)能力和數(shù)學(xué)、物理兩個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

4.數(shù)理結(jié)合內(nèi)容的習(xí)題難度應(yīng)循序漸進(jìn)，既要有鞏固知識(shí)、樹立信心的基礎(chǔ)題，又要有綜合運(yùn)用、激發(fā)興趣的拔高題。題目類型和難易程度應(yīng)有明顯分類標(biāo)注，便于學(xué)生進(jìn)行自測(cè)。此外，我國(guó)人教版教材中“拓廣探索”欄目和A Level教材中“交叉話題練習(xí)題”欄目中的題目設(shè)計(jì)，能夠在數(shù)學(xué)和物理跨學(xué)科綜合訓(xùn)練的同時(shí)兼顧學(xué)科內(nèi)綜合訓(xùn)練，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極面對(duì)這類習(xí)題，開拓思路，探索創(chuàng)新，達(dá)到真正的學(xué)科知識(shí)融會(huì)貫通。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中課程方案：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］? 高珊珊，段旭朝，王小風(fēng).基于數(shù)理結(jié)合思想提升學(xué)生的科學(xué)思維素養(yǎng)［J］.學(xué)園，2020（19）：16-17.

［4］? Cambridge Assessment International Education. Cambridge International AS & A Level Mathematics 9709 Syllabus ［EB/OL］. （2020-09-15） ［2023-02-12］. https：//www.cambridge international.org/Images/597421-2023-2025-syllabus.pdf.

［5］? Cambridge Assessment International Education. Cambridge International AS & A Level Further Mathematics 9231 Syllabus ［EB/OL］. （2020-09-25） ［2023-02-20］. https：//www.cambridge international.org/Images/597381-2023-2025-syllabus.pdf.

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