陳宇翔,彭鈞敏

(1.義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院,浙江 義烏 322000;2.湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院,湖南 株洲 412007)

由于多智能體的廣闊應(yīng)用背景,自21世紀以來,多智能體的協(xié)同控制引起了控制界的廣泛關(guān)注。早期的相關(guān)工作聚焦于具有線性模型的個體,或一階非線性個體。目前,多智能體系統(tǒng)中個體模型是非線性系統(tǒng)的情形正在為研究者所關(guān)注,如分數(shù)階系統(tǒng)、鏈式系統(tǒng)、隨機系統(tǒng)、下三角系統(tǒng)、非標準三角系統(tǒng)、歐拉—拉格朗日系統(tǒng)和具有準單側(cè)李普希茨非線性動力學(xué)的系統(tǒng)等。此外,不確定性和擾動可以更準確地反映系統(tǒng)實際情況,包括不可測的速度信號、輸入約束、未建模的動態(tài)以及隨機擾動等情形也被同時考慮在內(nèi)。當多智能體系統(tǒng)中個體為高階系統(tǒng)且含有不確定性時,目標將從狀態(tài)一致變更為輸出同步。高頻控制增益的符號,即控制方向,直接決定了控制是正反饋還是負反饋,對于系統(tǒng)的性能十分重要,已有的研究通常假設(shè)其符號為正,而在某些實際系統(tǒng),如艦船姿態(tài)控制、硬盤伺服系統(tǒng)中,其符號是未知的,因此,在控制方向未知條件下如何對系統(tǒng)進行控制就成為了一個難題。Nussbaum[1]提出用Nussbaum函數(shù)處理未知控制方向的基礎(chǔ)上,Jiang等[2-7]的研究逐步將這一方法推廣應(yīng)用至高階非線性系統(tǒng),且考慮未知參數(shù)等情形。隨著多智能體系統(tǒng)研究的深入,Peng等[8-12]逐步將此類未知控制方向的系統(tǒng)模型引入到多智能體系統(tǒng)中,以考慮其協(xié)調(diào)控制問題。

相較于現(xiàn)有研究成果[9-12],筆者研究取消了對未知控制方向的諸多假設(shè)和限制,即智能體可以有不同且相異的控制方向,而控制器的設(shè)計并不需要提前知道控制方向的相關(guān)先驗信息。在傳統(tǒng)李雅普洛夫函數(shù)構(gòu)造中,Nussbaum函數(shù)會在求導(dǎo)之后出現(xiàn)[3-5],筆者構(gòu)造了一種新型的分析函數(shù),即Nussbaum函數(shù)直接出現(xiàn)在分析函數(shù)中,而非其導(dǎo)數(shù),不僅可以簡化證明過程,而且可以擴大此方法的適用范圍。

1 預(yù)備知識與問題描述

1.1 預(yù)備知識

1.1.1 符號定義

在筆者研究中,Rm×n表征i實矩陣。M≥(≤)0表示M是正(負)半定矩陣,M>(<0)表示M是正(負)定矩陣。Null(M)表示矩陣M的零空間,sup(·),inf(·)分別表示最小上界和最大下界,符號sing(·)是經(jīng)典的符號函數(shù)。對于連續(xù)可微函數(shù)f:Rn→R,行向量?f/?x為[?f/?x1,?f/?x2,…,?f/?xn]。

1.1.2 圖論相關(guān)知識

加權(quán)圖用G=(V,E)表示,其中V={1,2,…,N}是一個由n個節(jié)點組成的非空有限集合,邊集E?V×V被用來描述智能體之間的通信。其中節(jié)點i的鄰居集用Ni={j|j∈V,(i,j)∈E}表示。j?Ni意味著不存在節(jié)點j到節(jié)點i的路徑。一系列邊{(i,k),(k,l),…,(m,j)}代表存在一個節(jié)點i到節(jié)點j的路徑,對于無向圖來說,如果對于任意節(jié)點i,j∈V,存在由節(jié)點i到節(jié)點j的路徑,則稱該圖是聯(lián)通的。

1.1.3Nussbaum函數(shù)

Nussbaum函數(shù)是具有下列性質(zhì)的函數(shù),表達式為

(1)

常用的Nussbaum函數(shù)包括ek2cos(k),k2sin(k)和k2cos(k)等。

1.2 問題描述

1.2.1 已知條件

考慮一個由n個個體組成的多智能體系統(tǒng),個體i的模型表達式為

yi=xi1i=1,2…n

(2)

1.2.2 控制目標

2 控制器設(shè)計

對于模型如式(2)的個體i,設(shè)計分散控制器,其表達式為

(3)

(4)

其中

(5)

其中a2,a3,…,an>0;函數(shù)φim,wim,ψjm表達式分別為

(6)

參數(shù)估計器更新率計算式為

(7)

(8)

3 理論證明

第一步:定義

(9)

可得Vi1沿式(2)的導(dǎo)數(shù)為

(10)

進一步,將式(10)改寫為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

通過式(12,14),有

(16)

式中γ1,γ2>0為控制增益。

(17)

(18)

(19)

可得

(20)

(21)

定義

(22)

注意到

(23)

Vin的導(dǎo)數(shù)為

(24)

(25)

接下來,將采用反證法證明時間區(qū)間[0,+∞)上閉環(huán)系統(tǒng)解的存在性。

(26)

(27)

此外

(28)

4 仿真結(jié)果

通過一個仿真案例來驗證筆者提出的控制器的有效性?？紤]一組3個個體的輸出同步問題,個體在圖1中用‘1～3’表示。為了簡單起見,當aij>0時,將aij設(shè)置為1。個體i的動態(tài)模型為

圖1 多智能體系統(tǒng)通信拓撲圖

(29)

對于xi=[xi1,xi2]T,yi和ui分別為個體i的狀態(tài)、輸出和輸入;不確定參數(shù)bi的符號代表控制方向,同樣未知;θi為未知參數(shù)。

圖2 個體輸出軌跡yi(t)(i=1,2,3)

圖3 個體狀態(tài)xi2(t)(i=1,2,3)

圖4 狀態(tài)量si(t)(i=1,2,3)

圖5 參數(shù)估計器

圖6 參數(shù)估計器

筆者未來的研究方向?qū)⒕劢褂谶@種具有時變延遲的多智能體系統(tǒng)的收斂速度[18]和非嚴格反饋形式的個體模型[19]。

5 結(jié) 論

筆者研究了具有參數(shù)不確定性和未知控制方向的多個嚴格反饋系統(tǒng)構(gòu)成的多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的輸出同步問題,其中通信拓撲為有向圖結(jié)構(gòu)。首先,為每個個體用反推方式設(shè)計了一個分散控制器,在實現(xiàn)輸出同步的同時保證整個系統(tǒng)有界;其次,提出了一種新的分析函數(shù)構(gòu)造方法,即Nussbaum函數(shù)項直接出現(xiàn)在分析函數(shù)本身,而不是其導(dǎo)數(shù)中,從而可以簡化證明過程。仿真案例表明了筆者方法的有效性,后期將應(yīng)用至超級電容儲能系統(tǒng),以實現(xiàn)故障模式(即發(fā)生某些超級電容單體極性反轉(zhuǎn))下的電壓均衡控制。