張 靜,仲濟磊,陳珍萍,吳 祥

(1.無錫開放大學(xué) 機電與信息學(xué)院,江蘇 無錫 214001;2.蘇州科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,江蘇 蘇州 215009;3.浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院,浙江 杭州 310023)

近年來,計算機輔助系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機床自動加工領(lǐng)域,其中NURBS和B-splines等平滑曲線被普遍應(yīng)用于復(fù)雜圖案的插補擬合[1-4]。然而大多數(shù)數(shù)控機床無法實時有效地插補高階參數(shù)曲線,主要原因在于樣條函數(shù)計算量大,且受多參數(shù)因子影響。雖然目前NC系統(tǒng)用“點對點”運動指令實現(xiàn)對高階參數(shù)曲線的線性插補,但是直線段組成的內(nèi)插路徑易導(dǎo)致數(shù)控系統(tǒng)運動不連續(xù),即運動會在轉(zhuǎn)角處停止,導(dǎo)致運動周期時間延長,并產(chǎn)生粗糙的轉(zhuǎn)角表面[5]。為實現(xiàn)多個小線段之間的連續(xù)過渡,尖銳的拐角會被數(shù)控系統(tǒng)替換成平滑的混合曲線,此時參考路徑偏離了原始的加工幾何形狀而形成輪廓誤差。因此,眾多專家學(xué)者針對連續(xù)轉(zhuǎn)角的連續(xù)性、準(zhǔn)確性和高速性進(jìn)行了一系列研究。Tajima等[6]通過分段加速度的方式在軌跡的拐角處進(jìn)行了運動學(xué)平滑,優(yōu)化了給進(jìn)軸的速度,縮短了加工時間。王勇等[7-8]針對文獻(xiàn)[6]中沒有對拐角輪廓進(jìn)行深入研究的情況,提出中點約束算法解決輪廓重疊問題。馮倩倩等[9]提出了基于曲線的短線段拐角實時插補算法,雖然實現(xiàn)了直線段與曲線的平滑轉(zhuǎn)接,但是規(guī)劃過程存在計算量大的問題,影響系統(tǒng)的實時性能,難以應(yīng)用到實際工程中。

因此,筆者提出了一種面向柔性加工的拐角運動策略。該策略首先通過設(shè)計軸的運動曲線來生成平滑和可控的轉(zhuǎn)角軌跡,計算出拐彎處的最大約束速度,實現(xiàn)速度跟隨方向動態(tài)的平滑過渡;其次,設(shè)計了軟件雙軸同步插補補償模型,降低了機械本體的抖動,提高了加工精度和穩(wěn)定性。該算法的突出優(yōu)點是計算量小,速度快,精度高,便于在嵌入式設(shè)備上部署。

1 運動控制算法

1.1 運動學(xué)上的轉(zhuǎn)角平滑問題

圖1 小線段刀具路徑圖

由圖1(a)可觀察到:幾何形狀是位置G0連續(xù)的,其允許軸位置指令的連續(xù)插值。然而在尖角點處的進(jìn)給方向不連續(xù)地從ts變?yōu)閠e。因此,如果要以恒定的速度走過尖角,就需要無限量的加速來改變角點的軸速度,以致驅(qū)動器的能力飽和。機器首先需要在尖角處完全停止,然后繼續(xù)到下一條直線段。這種方法嚴(yán)重拉長了加工操作的周期時間。目前的技術(shù)主要是在指定的轉(zhuǎn)角公差范圍內(nèi)平滑尖角的幾何形狀,以便機器可以沿著線性分段的刀具路徑不停地移動。這種傳統(tǒng)的解決方案難以滿足實際加工場景,需要采用一種折中的方法,在拐點之前將速度降到一個合適的值,即計算出拐彎處的最大約束速度,以實現(xiàn)速度跟隨方向動態(tài)的平滑過渡。

筆者提出一種新的策略,即通過設(shè)計軸的運動曲線來生成平滑和可控的轉(zhuǎn)角軌跡。如圖2所示,刀具以轉(zhuǎn)角速度Vc和加速度Ac接近轉(zhuǎn)角附近,將軸的運動輪廓從進(jìn)入轉(zhuǎn)角到離開轉(zhuǎn)角平滑地融合在一起,這樣就可以連續(xù)改變進(jìn)給方向。在接近驅(qū)動器運動性能極限的條件下,如果選擇相同的速度Vc和加速度Ac進(jìn)入轉(zhuǎn)角,那么運動軸就需要在有限的轉(zhuǎn)彎時間Tc內(nèi)插補,這樣會造成在單位切線向量的平分線周圍產(chǎn)生對稱的轉(zhuǎn)角輪廓,從而與原始尖角幾何形狀形成最大輪廓誤差。

圖2 小線段拐角參數(shù)示意圖

因此,研究的問題就簡化為如何確定最大轉(zhuǎn)彎速度和加速度,使轉(zhuǎn)彎軌跡保持在用戶指定的轉(zhuǎn)彎誤差精度ε內(nèi),并利用驅(qū)動器的加速度Amax和跳度Jmax的限制,令總轉(zhuǎn)彎周期最小。

1.2 跳度限制加速度描述

(1)

由式(1)可以得到各軸的拐角處的速度變化計算式為

(2)

當(dāng)運動到位于拐角的平分線方向上時,此時產(chǎn)生的輪廓誤差最大,該中點的位置可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述為

(3)

同樣,結(jié)合圖2(a)中的幾何關(guān)系可以得到拐點pi初始運動夾角的關(guān)系表達(dá)式為

(4)

式中Li為出當(dāng)前拐點到下一個拐點前的歐式距離。以X軸為例,結(jié)合式(1～4)可推導(dǎo)出

(5)

進(jìn)一步討論拐角的最大輪廓誤差約束,同樣以X軸為例,表達(dá)式為

(6)

式中:ε為最大輪廓誤差;εx為在X軸方向上的輪廓誤差。

為保證在輪廓誤差足夠小的情況,實現(xiàn)刀具的快速切割,按照運動學(xué)規(guī)律,則需要至少保證一軸的加速度或者速度達(dá)到極限值。具體的判斷方法:假設(shè)Δvx>Δvy,可以得到X軸此時加速度或者跳度值達(dá)到了極限值。進(jìn)一步分情況討論為

第一種情形:當(dāng)過渡距離較長,三段速同時存在時,即恒加速階段存在,X軸的加速度與跳度都達(dá)到極限值,即加速度Ax=Amax。由加減速的對稱性,可以推出最大拐彎速度Vgw1表達(dá)式為

(7)

第二種情形:當(dāng)過渡距離較短時,速度轉(zhuǎn)接時間較短,而驅(qū)動器的加速度較大,有可能恒加速階段不存在?？傻玫阶畲蠊諒澦俣萔gw2表達(dá)式為

(8)

1.3 運動學(xué)上的自適應(yīng)轉(zhuǎn)角回滾平滑

為了保證系統(tǒng)在拐點處不完全停止,需要對拐彎處的速度進(jìn)行限制。若拐點速度小于起跳速度時,以起跳速度為當(dāng)前拐點的可運行速度;若拐點速度大于起跳速度,則最大拐彎速為Vturnmax=min(Vgw1,Vgw2),依次類推,可前瞻規(guī)劃整條加工小線段之間拐點上的最大速度。具體拐彎速度約束實現(xiàn)流程如圖3所示。

圖3 拐彎速度約束實現(xiàn)流程圖

要實現(xiàn)速度在拐角處平滑過渡,除了最大拐彎速度約束,還需要對點與點之間執(zhí)行的速度進(jìn)行合理規(guī)劃。由于線段短,減速距離不夠,導(dǎo)致該點越過拐點處設(shè)定的最大速度的機械抖動影響了模切精度。因此,需要根據(jù)變化的小線段的長度對減加速度再次動態(tài)修正,使得最終的拐點速度不會越過設(shè)定的速度極限值。假設(shè)當(dāng)前所在的位置移動到下一個位置目標(biāo)點的長度為L,設(shè)定小線段的長度為Lmin,如果L

(9)

式中k為一個常數(shù)因子(0≤k≤1),可以根據(jù)模切機實際運行狀況進(jìn)行調(diào)整?？梢詫⑾乱粋€目標(biāo)點速度作為當(dāng)前需要運動距離加減速過程中最大的速度。

1.4 雙軸同步控制

對于曲線加工路徑來說需要兩電機軸協(xié)作加減速同步運動,即移動導(dǎo)軌的X軸與Y軸,在移動到目標(biāo)位置的過程中,需要保證兩軸位置偏差量始終控制在一個可允許的誤差范圍內(nèi)。多軸之間的同步位置控制[10-11],其輸出脈沖數(shù)和被機械所限制的最大進(jìn)給速度是確定的,因此可通過軟件實現(xiàn)主從軸跟隨閉環(huán)控制,控制框圖如圖4所示。

圖4 主從同步控制框圖

確定主從雙軸的脈沖數(shù)與脈沖周期的具體方法為

結(jié)合項目中使用的實際電機參數(shù)(該參數(shù)由電機實際運行試驗獲得),來確定各軸電機S曲線速度表V1,V2,…,Vm,該速度表和給進(jìn)步長的關(guān)系滿足Lm=VmT,其中:Lm為模切機最小給進(jìn)步長表中下標(biāo)為m時對應(yīng)的步長值;Vm為速度表中對應(yīng)下標(biāo)為m時的速度;T為插補周期。長軸的脈沖個數(shù)計算式為

nxi=Txi·Vxi

(10)

根據(jù)式(10),考慮到脈沖數(shù)只有整數(shù),不存在小數(shù),需要對nxi向下取整得到n′xi,進(jìn)一步得到X軸實際插補周期為T′xi。同時得到Y(jié)軸在這個插補周期內(nèi)對應(yīng)脈沖數(shù)為nyi,nyi取整數(shù)后得到n′yi,對應(yīng)的周期內(nèi)存在偏差為ΔTyi,即

ΔTyi=T′xi-Vyin′yi

(11)

為了減小短軸每個插補周期中脈沖數(shù)取整而造成的修正累積誤差,需要把Y軸每個插補周期中的誤差ΔTyi,補償?shù)较聜€插補周期Tyi中,即

Tyi=Vyin′yi+ΔTyi-1

(12)

式中:ΔTyi-1為上一個插補周期計算得到的回補插補周期差值,以便用來更新下一個插補周期,可以保證X軸與Y軸的插補時間誤差控制在一個脈沖周期內(nèi),最大程度地提高插補精度。

根據(jù)上述一系列推導(dǎo)計算,可分別得到主從軸脈沖數(shù)與脈沖周期,將之存入各自對應(yīng)的脈沖數(shù)與脈沖周期緩沖區(qū),在同步信號來臨時,主從雙軸分別以一定頻率發(fā)送脈沖實現(xiàn)對電機的精確插補控制。

2 仿真分析與實驗驗證

為了對筆者所提出的面向柔性加工的拐角運動策略進(jìn)行仿真并驗證其有效性,搭建的實驗軟硬件環(huán)境:MATLAB R2018b,計算機處理器Intel(R)Core(TM)i5-5200U CPU,運行頻率2.20 GHz,內(nèi)存配置8 G。加工路徑如圖5所示。

圖5 刀具加工路徑

刀具實際切割速度以及各軸給進(jìn)速度曲線如圖6所示。限定最大加速度為2 000 mm/s2,雙軸給進(jìn)加速度曲線如圖7所示。插補周期為10 ms,允許的最大輪廓誤差為0.05 mm。

圖6 拐角處給進(jìn)速度優(yōu)化后效果

圖7 加速度曲線

從仿真圖7可以發(fā)現(xiàn):加速度G1連續(xù),有效地降低了電機的頻繁啟動。為了進(jìn)一步驗證筆者算法的可行性,需要通過長時間在自研控制器測試平臺上反復(fù)運行測試,平臺采用ARM Cortex-M4架構(gòu)的DSP控制器芯片,其FPU具備高速浮點數(shù)計算性能。對其軟件設(shè)計進(jìn)行了優(yōu)化,對給進(jìn)連續(xù)速度曲線,提前進(jìn)行離散化,便于處理器快速處理。進(jìn)行測試的平臺如圖8(a,b)所示,自研控制器主板如圖8(c)所示。

圖8 嵌入式運動控制系統(tǒng)

試驗測試時設(shè)定的最大加速度為2 000 mm/s2,最大拐彎速度180 mm/s,給進(jìn)速度為300 mm/s。復(fù)雜圖案切割的實際效果如圖9所示。

圖9 復(fù)雜圖案切割實際效果圖

輪廓誤差曲線如圖10所示。通過對實際加工點的位置測量與PLT文件中相對應(yīng)的原始坐標(biāo)點進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn):X軸與Y軸的精度誤差值均在0.025 mm之內(nèi)。

圖10 輪廓誤差曲線

實際加工參數(shù)指標(biāo)評價如表1所示。

表1 實際加工參數(shù)評價指標(biāo)

在同等作業(yè)條件下,對卡通圖片切割測試,其中加工方式①為拐角處速度直接過渡;加工方式②為王勇等[7]所提出的連續(xù)拐角高速加工的中點約束算法;加工方式③為柔性加工的拐角運動策略,實現(xiàn)自適應(yīng)拐角速度平滑。通過對表1中模切機的加工數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn):加工方式②與③均具有加速度曲線、速度曲線連續(xù)的優(yōu)勢,機頭抖動程度輕微,運行更加穩(wěn)定。但在加工時間,輪廓誤差方面,本運動控制設(shè)計與加工策略更具有優(yōu)勢。

3 結(jié) 論

筆者所提出的面向柔性加工的拐角運動策略,基于跳度約束解決了拐角與加速度之間耦合關(guān)系,同時利用軟件優(yōu)化閉環(huán)雙軸同步插補,有效地提高了模切機的加工精度。通過仿真與實際加工測試得出:在高速加工連續(xù)小線段時,曲線輪廓誤差保持在0.025 mm內(nèi),加速度曲線滿足G1連續(xù),加工時間縮短了13%,因此所研發(fā)的標(biāo)簽?zāi)Ｇ袡C運動控制器能夠滿足高速場景下工作穩(wěn)定、精度高等優(yōu)勢,滿足市場應(yīng)用要求。