摘要：本文是針對(duì)概率論中頻率與概率這1個(gè)學(xué)時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，采用試驗(yàn)探究的自主學(xué)習(xí)方式，借助學(xué)習(xí)通、微信群、EXCEL等信息化手段進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在豐富教學(xué)組織形式、創(chuàng)設(shè)良好的課堂氛圍、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 ，并形成能夠滿足學(xué)生終生發(fā)展需要的能力和素質(zhì)，實(shí)現(xiàn)立德樹人的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：頻率；概率；信息化；教學(xué)設(shè)計(jì)

一、引言

在文獻(xiàn)[1]給出：高職數(shù)學(xué)信息化教學(xué)是在信息化教學(xué)理論的指導(dǎo)下，充分利用先進(jìn)的信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)教學(xué)組織形式的多樣性、教學(xué)內(nèi)容的數(shù)字化、教學(xué)方法和教學(xué)手段的信息化，從而拓展師生之間信息交流的渠道，突破數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，提高教學(xué)效率的系統(tǒng)改革過程。因此，本文將一些信息技術(shù)，如微信群、QQ群、學(xué)習(xí)通和Excel軟件的使用等引入到教學(xué)過程中，通過教師的引導(dǎo)學(xué)生自主地進(jìn)行知識(shí)探究，改變傳統(tǒng)的講授式教學(xué)方式，讓學(xué)生們自己感知知識(shí)的形成過程，體會(huì)到成功的喜悅，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊。

二、學(xué)情分析

大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱、學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，而且對(duì)知識(shí)的理解能力和接受能力較差、學(xué)習(xí)興趣不高，因此在教學(xué)過程中選取了多種不同的教學(xué)形式以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣并增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

三、教學(xué)內(nèi)容分析

本文是針對(duì)任利民、賀利敏主編的工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第二版）模塊四概率論第二節(jié)隨機(jī)事件的概率中1課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容：頻率和概率做的教學(xué)設(shè)計(jì)。本部分內(nèi)容承接第一節(jié)隨機(jī)事件繼續(xù)探究概率論中兩個(gè)基本概念：頻率和概率，這兩個(gè)概念準(zhǔn)確無誤的理解對(duì)于后續(xù)概率論的學(xué)習(xí)，特別是正確地進(jìn)行相應(yīng)一些概率的計(jì)算具有非常重要的意義。

教學(xué)重點(diǎn)：隨機(jī)事件的頻率和概率的概念以及兩者之間的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用于實(shí)際。

四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

知識(shí)目標(biāo)：①了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性的概念及性質(zhì)；②理解概率的統(tǒng)計(jì)定義及性質(zhì)；③了解頻率與概率的關(guān)系。

技能目標(biāo)：會(huì)利用概率的統(tǒng)計(jì)定義解決一些實(shí)際問題中事件的概率問題。

素質(zhì)目標(biāo)：①通過本節(jié)課的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生用隨機(jī)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界，使學(xué)生了解偶然性與必然性辯證統(tǒng)一的唯物主義思想；②發(fā)展學(xué)生類比、歸納、猜想等推理能力；③培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力以及科學(xué)的價(jià)值觀與世界觀；④感受信息化的魅力。

五、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）課前任務(wù)

至少在上課前一天通過微信群、QQ群或?qū)W習(xí)通等方式發(fā)布課前學(xué)習(xí)任務(wù)單（以50人的班容量為例）：

兩人一組擲硬幣，分別擲5次、10次和30次。期間一個(gè)人負(fù)責(zé)擲硬幣，一個(gè)人負(fù)責(zé)記錄出現(xiàn)的結(jié)果，然后計(jì)算出試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的次數(shù)占試驗(yàn)總次數(shù)的比例，最后匯總到學(xué)委處。

設(shè)計(jì)意圖：通過發(fā)布課前任務(wù)單的形式引導(dǎo)學(xué)生參與到課堂教學(xué)中來，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（二）課中安排

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng)

首先用PPT展示學(xué)生們自己得到的25組數(shù)據(jù)，然后引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：

①這些數(shù)據(jù)有什么規(guī)律嗎？

②能否由此得到在一次擲硬幣試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的可能性有多大？

設(shè)計(jì)意圖：PPT上展示的數(shù)據(jù)是學(xué)生們通過自己認(rèn)真試驗(yàn)得到的，因此當(dāng)學(xué)生們看到這些數(shù)據(jù)的時(shí)候會(huì)有一點(diǎn)小激動(dòng)，這樣的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)可以初步提升學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的動(dòng)力；然后教師引導(dǎo)學(xué)生思考問題，這讓學(xué)生們意識(shí)到：試驗(yàn)的目的不僅僅是得到數(shù)據(jù)，重要的是要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后解決問題。這樣的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的意識(shí)。

2.合作探究

教師組織并引導(dǎo)學(xué)生按照課前分好的小組對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，學(xué)生們則按照教師的引導(dǎo)跟自己小組內(nèi)的成員展開討論，然后形成結(jié)論之后每組選派一個(gè)代表闡述得到的結(jié)論。

學(xué)生們得到的結(jié)論主要有：①隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，數(shù)據(jù)的精確度提高了，試驗(yàn)30次時(shí)得到的數(shù)據(jù)可以精確到小數(shù)點(diǎn)后兩個(gè)數(shù)字；②不管試驗(yàn)次數(shù)是5次、10次還是30次，數(shù)據(jù)皆主要分布在0.4-0.6之間；并且也有學(xué)生提出這樣的疑問：如果僅僅通過觀察的方式，有的時(shí)候不易得到數(shù)據(jù)的規(guī)律。針對(duì)這種情況，教師首先對(duì)各組學(xué)生的表現(xiàn)以及該組給出的結(jié)論進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，然后給出一種利用信息化手段進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的方法：即利用Excel數(shù)據(jù)分析中的描述統(tǒng)計(jì)功能分析數(shù)據(jù)，可以得到如下幾組結(jié)果：

學(xué)生們觀察表1之后則很容易就可以回答教師提出的兩個(gè)問題：①不管試驗(yàn)次數(shù)是5次、10次還是30次，數(shù)據(jù)的平均值、眾數(shù)都接近于0.5；標(biāo)準(zhǔn)差和方差都很小，非常接近于0。這樣的結(jié)果也說明了：數(shù)據(jù)真實(shí)有效，因?yàn)檫@些數(shù)據(jù)能夠很好地說明問題；學(xué)生們的態(tài)度都很端正，因此只要教師布置的是一些學(xué)生力所能及且不難完成的任務(wù)，學(xué)生們都能認(rèn)真并按時(shí)完成。②鑒于結(jié)論①，估計(jì)在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的可能性應(yīng)該為0.5。

然而，第二個(gè)問題的回答只是一種猜想并不確定其真實(shí)性。因?yàn)槲覀兊脑囼?yàn)次數(shù)較少，所以據(jù)此作為依據(jù)來說明問題不夠嚴(yán)謹(jǐn)。這就需要增加試驗(yàn)的次數(shù)來進(jìn)一步觀察、分析，看看是否能得到相同的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：①讓學(xué)生體會(huì)信息化在分析問題、解決問題時(shí)的便捷，因?yàn)橥ㄟ^表2-表4可以非常直觀地看到結(jié)論。②通過多種不同的教學(xué)組織形式對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行呈現(xiàn)，不僅可以避免學(xué)生的感官疲勞，讓學(xué)生的注意力高度集中在課堂上，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且提高學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力， 為今后數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。③發(fā)展學(xué)生類比、歸納、猜想等推理能力，感知偶然性與必然性之間的聯(lián)系，初步實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的素質(zhì)目標(biāo)。

3.繼續(xù)探究

接下來，教師給出一種利用信息化手段模擬擲硬幣過程的方法，即首先用Excel中的RAND（）函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，接著用IF（）函數(shù)將小于0.5的隨機(jī)數(shù)取值為0，代表硬幣出現(xiàn)正面向上；大于等于0.5的隨機(jī)數(shù)取值為1，代表硬幣出現(xiàn)反面向上[3]。最后利用Excel的篩選功能統(tǒng)計(jì)出現(xiàn)正面向上的次數(shù)，并計(jì)算出其占試驗(yàn)總次數(shù)的比例。

本文分別統(tǒng)計(jì)了試驗(yàn)總次數(shù)為600次、3000次和20000次的情況，并且每種情況都重復(fù)進(jìn)行了10次試驗(yàn)，然后取平均值得到這幾種不同投擲次數(shù)下出現(xiàn)正面向上的次數(shù)占試驗(yàn)總次數(shù)的比例，如表2所示。

這時(shí)候再讓學(xué)生觀察這些數(shù)據(jù)，不難發(fā)現(xiàn)隨著試驗(yàn)總次數(shù)的增加，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)占試驗(yàn)總次數(shù)的比例越來越接近于0.5。這樣的結(jié)果進(jìn)一步印證了可以用0.5來刻畫在一次擲硬幣試驗(yàn)中出現(xiàn)正面向上的可

能性。這個(gè)時(shí)候教師給出歷史上做過拋擲硬幣試驗(yàn)的幾個(gè)科學(xué)家：蒲豐、皮爾遜和維尼的試驗(yàn)結(jié)果。他們的試驗(yàn)結(jié)果也表明隨著拋擲次數(shù)的增加，出面正面向上的次數(shù)占試驗(yàn)總次數(shù)的比例總是圍繞在一個(gè)常數(shù)0.5作幅度越來越小的擺動(dòng)，并逐漸穩(wěn)定在0.5附近。但是這些科學(xué)家受所處時(shí)代的條件限制，試驗(yàn)只能親自一遍一遍地去做，不能借助于任何現(xiàn)代化的手段與方法。借此可以對(duì)學(xué)生們進(jìn)行思政方面的教育，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度與一絲不茍的敬業(yè)精神。

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)不僅可以讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)形成的過程，而且由于這些知識(shí)都是學(xué)生自己探究形成的，并且與科學(xué)家們形成的結(jié)論是一致的，這讓學(xué)生的成就感油然而生，對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣也會(huì)大大提高，并且進(jìn)一步提升了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。其次，在這個(gè)環(huán)節(jié)中教師穿插了很多對(duì)Excel功能的應(yīng)用。這樣的設(shè)計(jì)不僅讓學(xué)生體會(huì)到了計(jì)算機(jī)軟件的方便，感受到信息化的魅力，而且讓枯燥乏味的數(shù)學(xué)課堂增加了活力，活躍了課堂氣氛。另外，教師還能不失時(shí)機(jī)地對(duì)學(xué)生們進(jìn)行思政教育，實(shí)現(xiàn)立德樹人的目標(biāo)，滿足學(xué)生終身發(fā)展的需要。最后，從知識(shí)目標(biāo)方面來說這樣的流程讓學(xué)生更容易循序漸進(jìn)地理解并掌握本節(jié)課中所要學(xué)習(xí)的幾個(gè)概念：頻率的定義、頻率的性質(zhì)、頻率的穩(wěn)定性、概率的統(tǒng)計(jì)定義、概率的性質(zhì)。

4.新知講解

在學(xué)生們自己探究初步形成相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，教師詳細(xì)講解本節(jié)課中所要學(xué)習(xí)的幾個(gè)概念的精確定義如下[2]。

頻率的定義：在相同的條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，其中事件A發(fā)生的次數(shù)m與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值稱為事件A發(fā)生的頻率，記為，即

頻率的性質(zhì)：；；。

頻率的穩(wěn)定性：對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，就某一次具體的試驗(yàn)而言，其結(jié)果帶有很大的偶然性，似乎沒有規(guī)律可言，但大量的重復(fù)試驗(yàn)證實(shí)結(jié)果則會(huì)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，也就是我們通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

概率的統(tǒng)計(jì)定義：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)n增大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率 將穩(wěn)定于某一常數(shù)P，則稱該常數(shù)P為事件A發(fā)生的概率，記為。

概率的性質(zhì)：對(duì)任一事件A有；；。

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過教師的詳細(xì)講解之后，學(xué)生對(duì)這些概念的理解更加深刻、準(zhǔn)確。這樣的環(huán)節(jié)可以讓學(xué)生體會(huì)到具備認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)學(xué)習(xí)態(tài)度的重要性，幫助學(xué)生樹立良好的學(xué)習(xí)態(tài)度；另外，通過本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容學(xué)生學(xué)會(huì)了用隨機(jī)的觀點(diǎn)去認(rèn)識(shí)世界，深刻理解了辯證唯物主義思想中偶然性與必然性的辯證統(tǒng)一關(guān)系，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了素質(zhì)目標(biāo)。

5. 實(shí)際應(yīng)用

例：從某魚池中取120條魚，做上記號(hào)后再放回該魚池中，現(xiàn)從該池中任意捉來50條魚，發(fā)現(xiàn)其中3條有記號(hào)，問池內(nèi)大約有多少條魚？

教師引導(dǎo)，學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行小組討論，不一會(huì)兒所有小組就已經(jīng)形成結(jié)論，并推舉一名代表進(jìn)行闡述：假設(shè)池內(nèi)有n條魚，根據(jù)頻率和概率的關(guān)系知道，當(dāng)n較大時(shí)可以用頻率近似代替概率，因此從池內(nèi)任取一條魚有記號(hào)的概率為120/n或3/50，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)該是相等的，因此不難得到n=2000，也就是說池內(nèi)大約有2000條魚。

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)際問題的解決，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的意識(shí)和能力，鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情與內(nèi)驅(qū)力。

（三）課后任務(wù)

教師發(fā)布開放性問題：查閱相關(guān)資料，收集一些其他能夠?qū)崿F(xiàn)擲硬幣試驗(yàn)的方法或軟件，在微信群里進(jìn)行分享討論。

設(shè)計(jì)意圖：通過這樣的設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)讓學(xué)生感知到數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的聯(lián)系，真正體會(huì)數(shù)學(xué)的魅力。

六、教學(xué)反思

本節(jié)課是一節(jié)概念課，在概念的形成過程學(xué)生為主體、教師為引導(dǎo)，改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，體現(xiàn)了教師教學(xué)行為的改變。本文通過創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生主動(dòng)參與；通過實(shí)驗(yàn)探討，讓學(xué)生自主探究并提出疑問；通過教師適當(dāng)點(diǎn)撥，讓學(xué)生開拓創(chuàng)新；通過恰當(dāng)選題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自我評(píng)價(jià)和反思；通過歸納體驗(yàn)的過程，讓學(xué)生把知識(shí)納入系統(tǒng)，使學(xué)生體驗(yàn)、感悟、經(jīng)歷、認(rèn)知。

七、結(jié)束語

本文是對(duì)概率論中頻率與概率1課時(shí)的內(nèi)容進(jìn)行的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。在教學(xué)實(shí)施過程中改變了傳統(tǒng)的教師教、學(xué)生學(xué)的灌輸式教學(xué)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下采用小組的形式對(duì)將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行探究。同時(shí)，為了創(chuàng)設(shè)良好的課堂氛圍、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，利用微信群、EXCEL與PPT這些信息化手段豐富教學(xué)組織形式。然而，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，信息化手段多種多樣、層出不窮，因此在信息化手段的使用上還有許多進(jìn)步的空間。

作者單位：趙志英 山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部

參? 考? 文? 獻(xiàn)

[1]. 朱鵬華. 高職數(shù)學(xué)信息化教學(xué)改革探索與實(shí)踐[J]. 職業(yè)技術(shù)教育， 2014，35（32）：41-43.

[2]任利民 賀利敏. 工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第二版）[M]. 北京：化學(xué)工業(yè)出版社， 2015：119-120.

[3]鄒來智 吳強(qiáng). 基于Excel的擲硬幣實(shí)驗(yàn)[J]. 電腦知識(shí)與技術(shù)， 2010，6（04）：930-931.

趙志英（1984.10-），女，漢族，山西忻州，碩士研究生，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。