王申秋

《圓的面積》一節(jié)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“圖形與幾何”內(nèi)呈現(xiàn)的重要內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生通過觀察、操作、探索、歸納等數(shù)學(xué)活動，掌握圓的面積計(jì)算公式，并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問題。該節(jié)內(nèi)容要求學(xué)生在實(shí)際操作的過程中經(jīng)歷從猜測到驗(yàn)證，再到形成理論的過程。

一、問題的提出

如何求出圓的面積，我們最終便是代入公式計(jì)算。因此在教學(xué)中，教師將圓的面積公式直接告訴學(xué)生，與學(xué)生通過操作、推理等一系列活動之后得到公式，在今后的測試校驗(yàn)中所體現(xiàn)的結(jié)果并無多大區(qū)別?；诖朔N原因，有些教師也傾向于前者的教學(xué)方式，認(rèn)為只要給予一定量的題海練習(xí)，最終學(xué)生的“學(xué)習(xí)成績”會更好，也更能體現(xiàn)教師的教學(xué)水平。雖然眼前的教學(xué)成果是比較理想的，但長此以往，學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解就局限在記憶公式-應(yīng)用公式的認(rèn)知上，對于新知識的學(xué)習(xí)和探索就失去了興趣和動力，甚至一些記憶力相對比較薄弱的同學(xué)，因?yàn)閷﹃愂鲂缘闹R缺乏更深的理解而較快地遺忘了公式，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就變得比較艱難。

二、樂學(xué)善誘，自主探索

在教育部研制印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革? 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中提出，教育部將組織研究提出各學(xué)段學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。我國新一輪的基礎(chǔ)課程改革十分注重學(xué)生的核心素養(yǎng)和學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)?！缎抡n標(biāo)》指出，小學(xué)數(shù)學(xué)包含十個(gè)核心素養(yǎng)，即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析能力、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。教師教學(xué)應(yīng)圍繞這十個(gè)核心素養(yǎng)，寓教于樂展開教學(xué)。

本文將以蘇教版小學(xué)五年級下冊《圓的面積》為例，結(jié)合《新課標(biāo)》提出的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的指引，通過剖析學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，對圓的面積公式進(jìn)行推導(dǎo)等過程，揭示教師提問的有效性策略對學(xué)生知識學(xué)習(xí)的“樂學(xué)善誘”作用。下面就結(jié)合常規(guī)教學(xué)案例進(jìn)行分析。

1.借助作圖，發(fā)展幾何直觀

學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)是我們進(jìn)行再教學(xué)的基礎(chǔ)和前提，教師通過不斷重復(fù)、鞏固、完善學(xué)生現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)以達(dá)到學(xué)生自主學(xué)習(xí)的目的。學(xué)生學(xué)習(xí)教師當(dāng)以循循善誘、循序漸進(jìn)的方式展開，用以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。小步調(diào)、慢動作讓學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。實(shí)際教學(xué)中我們以所有人都能發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)常識布局，學(xué)生學(xué)習(xí)更有信心。

【教學(xué)片段1】

師：我們已經(jīng)認(rèn)識了圓，也知道了圓的計(jì)算公式，知道圓的周長大小與圓的半徑（直徑）有關(guān)，今天我們要來研究圓的面積大小，請你猜一猜、想一想，圓的面積大小與什么有關(guān)呢？如有必要可以在紙上寫一寫，畫一畫。

生1：我認(rèn)為圓的面積大小還是與圓的半徑或者直徑有關(guān)，因?yàn)閳A的半徑（直徑）越長，畫出的圓越大。

生2：我認(rèn)為圓的面積大小可能還是與π有關(guān)，因?yàn)閳A的面積有曲線部分，可能最終圓面積的大小和圓的周長一樣，不是整的（有限小數(shù)）。

師：與我們學(xué)習(xí)圓的周長的時(shí)候一樣，確實(shí)我們通過作圖非常容易發(fā)現(xiàn)圓的面積大小與圓的半徑（直徑）大小有關(guān)，那有怎樣的關(guān)系呢？需要我們進(jìn)一步研究。

通過觀察就能得到的淺表性的結(jié)論能讓學(xué)生較快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。

小學(xué)高年級的學(xué)生已經(jīng)具備一定的語言表達(dá)能力和邏輯思維能力，他們能將自己的想法清楚地表達(dá)出來，語言的精確度不足但這不是關(guān)鍵，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生多說，給予學(xué)生回答的正面肯定，讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)成功的體驗(yàn)。

2.細(xì)化作圖，發(fā)展估計(jì)能力

學(xué)生具備的能力就是學(xué)習(xí)的動力。在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合實(shí)際教學(xué)發(fā)展學(xué)生的能力。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，估算能力是一種不可或缺的能力。而在當(dāng)下以試卷測驗(yàn)為主的評價(jià)手段中，估算能力往往因?qū)嵤┦侄卫щy而被教學(xué)所遺忘。事實(shí)上，估算要比精確更易獲得，學(xué)生使用估算得到的結(jié)果也應(yīng)得到教師的肯定。這不僅是教學(xué)的需要，更是學(xué)生主動學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。

【教學(xué)片段2】

師：現(xiàn)在我們將研究圓的面積大小，如果能像圓的周長計(jì)算一樣通過公式得到，那么圓的大小計(jì)算就簡單多了。請同學(xué)們回憶下，以往我們新圖形的面積是如何求出的呢？

生1：我知道長方形和正方形的面積計(jì)算公式：s=ab，s=a2

生2：我知道平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式，在得到他們面積計(jì)算公式的時(shí)候，我們都通過轉(zhuǎn)化的思想將它們轉(zhuǎn)化成長方形。

師：是的，在我們學(xué)習(xí)新知識的時(shí)候，我們通常將新知識與我們的舊知識進(jìn)行比較，如果我們能將新舊知識產(chǎn)生相關(guān)聯(lián)系，那么我們就能解決新的問題。那么剛才同學(xué)們提到了將新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)知道公式的舊圖形進(jìn)行計(jì)算，對于圓你有什么想法嗎？

生3：我們可以將圓平均分成兩份，每一份看作一個(gè)近似的三角形，通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化之后，我們可以得到一個(gè)近似的平行四邊形，此時(shí)我們可以看到圓形的面積應(yīng)該比平行四邊形的面積大一些，大約是2r2。

生4：我們也可以將圓形平均分成兩份，每一份看作一個(gè)近似的長方形，而通過轉(zhuǎn)化后的圓形，我們可以看到比長方形的面積小一些，大約是4r2。

師：同學(xué)們都將圓先平均分，再通過平移、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化后得到我們已經(jīng)學(xué)過的圖形，初步得到圓形的面積大約在2r2到4r2之間。此時(shí)你有什么想說的？

生5：我猜測圓形的面積公式可能是S=πr2，因?yàn)棣械闹荡蠹s是3點(diǎn)幾。

師：同學(xué)們都有自己的想法，那你想怎樣驗(yàn)證自己的猜測呢？

在前期教學(xué)平行四邊形等圖形面積計(jì)算的過程中，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。通過舊知重構(gòu)新知，使我們的教學(xué)得以發(fā)展。與先前知識不同的是，前期學(xué)習(xí)圖形都能通過割補(bǔ)化“整”。而圓的變形過程中，學(xué)生需要有創(chuàng)造性地將曲化直，這樣的處理對學(xué)生的要求較高。如果受思維定式影響，學(xué)生也可能不能成功轉(zhuǎn)化，那么教師可以作一定的引導(dǎo)，讓教學(xué)得以繼續(xù)實(shí)施。該步驟的完成無疑是學(xué)生學(xué)習(xí)的一次質(zhì)的飛躍。

另外，在該過程中，學(xué)生估算能力進(jìn)一步鞏固提高的同時(shí)也增強(qiáng)了學(xué)生的符號意識。在用字母表示的公式過程中，深刻體會符號的優(yōu)勢作用。

3.精化作圖，發(fā)展空間觀念

《課標(biāo)》指出：“空間觀念主要是指根據(jù)物體的特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形所描述的實(shí)際物體，想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系?！爆F(xiàn)階段小學(xué)生主要是通過數(shù)學(xué)活動和動手操作獲得數(shù)學(xué)知識。經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)活動，明確其中的數(shù)學(xué)思考，讓數(shù)學(xué)知識變得生動活潑，記憶深刻。小學(xué)中高年級的學(xué)生仍具有幼兒的特征，在“玩”中學(xué)，何樂而不為呢。

【教學(xué)片段3】

師：回憶我們剛才的過程，像周長一樣用測量的方式去測量面積顯然是不可行的。剛才同學(xué)們將圓形平均分成兩份，得到了上面的結(jié)論，那我們?nèi)绻麑A形平均分的份數(shù)分得更多，會有怎樣的結(jié)果呢？同學(xué)們想不想試一試？

生操作。

展臺展示學(xué)生操作轉(zhuǎn)化的過程。

多媒體演示圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形的過程，學(xué)生觀察平均分的份數(shù)增多時(shí)，得到圖形的不同。

師：根據(jù)交流，當(dāng)同學(xué)們將圓形平均分的份數(shù)越多，轉(zhuǎn)化后的圖形越接近一個(gè)平行四邊形，根據(jù)多媒體動畫演示，我們也發(fā)現(xiàn)在理想狀態(tài)下，當(dāng)我們將圓形平均分成足夠多份的時(shí)候，轉(zhuǎn)化后的圖形就是一個(gè)平行四邊形（長方形），這是一種極限思想。此時(shí)，平行四邊形的底即為圓形的半周長，平行四邊形的高即為圓形的半徑，而圓形的面積計(jì)算公式為S=πr2，同學(xué)們的猜測是正確的。

學(xué)生通過自主拼搭，選擇平均分的份數(shù)，再與周圍同學(xué)的對比操作中明確轉(zhuǎn)化后的圖形與原圖形在形式上的變化及轉(zhuǎn)化前后各個(gè)量之間存在的相關(guān)性，從而主動得到圓的面積計(jì)算公式。多媒體的應(yīng)用讓極限思想在教學(xué)中變得可視化，學(xué)生在動態(tài)演示中，能通過觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)平均分的份數(shù)越來越多時(shí)，圓周長的曲線邊越接近直線。而假設(shè)我們將圓平均分成無數(shù)份，每一份的扇形就是三角形。那么此時(shí)圓的面積公式得到的圓面積就不是一個(gè)近似數(shù)，而是一個(gè)準(zhǔn)確數(shù)。由此，學(xué)生的推理能力得到發(fā)展。

4.具化解題，發(fā)展應(yīng)用意識

《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)小學(xué)生應(yīng)掌握基本的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)要求學(xué)生熟練掌握圓的面積計(jì)算公式，并能利用公式解決實(shí)際問題。學(xué)生在探索新知識之后能應(yīng)用新知識去解決一些實(shí)際問題，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)際生活價(jià)值，更能激發(fā)學(xué)生獲得學(xué)習(xí)成功的成就感，獲得滿足感。因此在教學(xué)之后，安排與教學(xué)相匹配的習(xí)題練習(xí)無疑是最佳搭檔。習(xí)題難度因由易及難、由簡直繁，以達(dá)到分層教學(xué)的目的，讓所有學(xué)生都有所收獲。

【教學(xué)片段4】

師：我們已經(jīng)知道了圓的面積計(jì)算公式，想不想知道它有什么作用呢？我們一起來看看吧。

習(xí)題1：明明家有一只可愛的小狗，狗狗平時(shí)用一根長2.5米的繩子拴在木樁上，根據(jù)小狗的活動范圍，明明家至少要為小狗準(zhǔn)備多大的墊子呢？

該題生活感較強(qiáng)，學(xué)生首先要知道小狗最大的活動范圍是一個(gè)半徑2.5米的圓的邊線上，其次以該圓為界限，圓內(nèi)所有的空間均是小狗的活動范圍。所以要求本題實(shí)際是求一個(gè)半徑為2.5米圓的面積。在計(jì)算中，我們應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生可用3.14估算。

習(xí)題2：蘇州園林中有許多漂亮的門窗，門窗設(shè)計(jì)充滿古典氣息，請同學(xué)們欣賞圖片。

已知該門洞內(nèi)接一個(gè)邊長為1米的正方形，該門洞的面積是多少？

該圖形實(shí)際由一個(gè)正方形和四個(gè)半圓組成，學(xué)生可以將圖形平移轉(zhuǎn)化得到兩個(gè)直徑為1米的圓和一個(gè)邊長為1米的正方形。該題注重新舊知識聯(lián)系，要求學(xué)生熟練掌握各圖形的計(jì)算方式。難點(diǎn)在于圓形面積公式給出的是面積與半徑的關(guān)系，此處給出的1米是圓形的直徑。

學(xué)生在觀看優(yōu)美風(fēng)景的同時(shí)，也能體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的美妙。

習(xí)題3：下圖是張軍家客廳的形狀，已知紅色正方形面積4平方米，是張軍家的生活區(qū)，其余為休閑區(qū)。你能根據(jù)現(xiàn)有條件求出張軍家休閑區(qū)的面積嗎？

本題存在一定的難度，乍看之下學(xué)生很難下手解決?，F(xiàn)有的已知條件是正方形的面積，要求圖形的面積實(shí)際是一個(gè)四分之三的圓形。而要求圓形的面積現(xiàn)有的手段就必須要知道圓形的半徑。學(xué)生應(yīng)建立圓形半徑與正方形面積的關(guān)系。通過觀察不難發(fā)現(xiàn)，正方形的邊長即是圓形的半徑，正方形的面積即是半徑的平方，所以整圓的面積應(yīng)該是正方形面積的π倍，要求的休閑區(qū)面積是整圓面積的四分之三。

數(shù)學(xué)的世界千變?nèi)f化，各個(gè)數(shù)量之間都有奇妙的聯(lián)系，成功解決問題的喜悅讓學(xué)生樂在其中。

小學(xué)高年級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要求學(xué)生有必要的知識儲備，更強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的持續(xù)發(fā)展。本節(jié)課《圓的面積》是學(xué)生較早接觸的建模思想。在學(xué)習(xí)過程中著重強(qiáng)調(diào)圖形的轉(zhuǎn)化，擺脫傳統(tǒng)學(xué)習(xí)的死記硬背，學(xué)生在觀察、操作、實(shí)踐等過程中，不斷經(jīng)歷猜想-驗(yàn)證的思維過程，在新舊知識互相碰撞的過程中，最終得到了面積的計(jì)算公式。經(jīng)由教師啟發(fā)性的引導(dǎo)，幫助學(xué)生優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。習(xí)題的呈現(xiàn)，不僅助力知識的吸收，更應(yīng)貼近生活，關(guān)注學(xué)生的興趣。

當(dāng)今社會，小學(xué)校園內(nèi)部已經(jīng)出現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性兩極分化的現(xiàn)象，越到高年級分化越是嚴(yán)重。筆者在掌握了客觀真實(shí)的現(xiàn)狀資料，并在此基礎(chǔ)上展開分析，找出問題存在的原因。

對于妨礙教師提問有效性發(fā)揮的限制性因素主要包含兩個(gè)層面，一是教師層面：有的教師問題過于刻板或者問題結(jié)果過于單一，學(xué)生通過回答“是與否”即可的問題，使學(xué)生缺少思考的積極性和必要性。學(xué)生在長期的“乒乓球拉鋸式”的問答模式中漸漸失去學(xué)習(xí)的興趣和動力。數(shù)學(xué)課堂上只要回答“是”就完成了課程的全部，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣自然不高。再者有些教師的課堂提問缺少層次性，只針對“好學(xué)生”的提問，讓一些能力層次不足的學(xué)生課堂的參與感不強(qiáng)，漸漸脫離課堂，愛學(xué)習(xí)的學(xué)生也越來越少。二是社會層面：受課堂時(shí)間因素的制約，許多需要學(xué)生觀察、操作、實(shí)踐、歸納的過程性學(xué)習(xí)知識都由教師填鴨式告知結(jié)果，這樣的課堂無疑是呆板的，不利于學(xué)生的能力發(fā)展。

通過對有效提問策略的研究，教師應(yīng)以評估學(xué)生的課前準(zhǔn)備情況，按照循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)針對不同層次的學(xué)生以不同層次的問題，全面提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和鞏固學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)，發(fā)展學(xué)生主動學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。同時(shí)使用必要的多媒體等現(xiàn)代化的手段，設(shè)計(jì)符合學(xué)生時(shí)代特征的習(xí)題，讓學(xué)生愛學(xué)數(shù)學(xué)，樂學(xué)數(shù)學(xué)。