第一型曲線瑕積分及收斂判別法

邱惠銘 何桂添 唐國吉

摘?要：本文引入第一型曲線瑕積分的概念，并獲得了它的計算公式，得到了第一型曲線瑕積分依曲線方程類型的不同可相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為無窮積分或瑕積分的結(jié)論。討論了第一型曲線瑕積分的一些性質(zhì)和收斂判別法，它們可看作是一元瑕積分相關(guān)性質(zhì)和收斂判別法的推廣。由于瑕積分的Dirichlet判別法和Abel判別法比無窮積分和（數(shù)項或函數(shù)項）級數(shù)的都要復(fù)雜，大多的數(shù)學(xué)分析教材并未研究。本文研究了第一型曲線瑕積分的Dirichlet判別法和Abel判別法，一元瑕積分的Dirichlet判別法和Abel判別法是本文結(jié)果的特殊情況。

關(guān)鍵詞：第一型曲線瑕積分；收斂；單調(diào)；Dirichlet判別法；Abel判別法

中圖分類號：O172.2

1?概述

郇中丹教授在文獻［1］中談“數(shù)學(xué)分析”課程改革的幾點意見中指出，目前國內(nèi)《數(shù)學(xué)分析》教材或教學(xué)實踐中存在的主要問題之一是：一元微積分的討論不厭其煩，而多元微積分則顯得相當(dāng)薄弱，這一方面是由于以往人們認為多元微積分是一元的平行推廣（這大概與菲赫金格爾茲的數(shù)學(xué)分析教材的影響有關(guān)）。另一方面，由于一元部分相對簡單并且結(jié)果頗多。華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》（第三版）［2］在附錄一介紹微積分簡史中也指出，積分論仍在發(fā)展，Riemann積分的推廣仍不能說已經(jīng)完成這些認識是客觀的。

幾乎所有的《數(shù)學(xué)分析》教材［24］都研究曲線上的正常積分（包括第一型和第二型的）。1999年，趙清理等［5］給出了無窮曲線積分的定義，討論了其某些性質(zhì)和收斂的判別法和計算方法。最近，唐國吉［6］引入了定義在曲線上的函數(shù)的單調(diào)性概念，并證明了第一型曲線積分的第二中值定理。受上述文獻的啟發(fā)，本文討論了第一型曲線瑕積分的一些性質(zhì)和收斂判別法，它們可看作是一元瑕積分相關(guān)性質(zhì)和收斂判別法的推廣。

2?第一型曲線瑕積分的概念

定義2.1：在平面光滑曲線C：x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β）上，A（φ（α），ψ（α））為曲線C的一個端點，若limt→β-φ（t）=p，limt→β-ψ（t）=q，記點B（p，q），D（φ（t），ψ（t））是曲線C上的任一點，s（A，D）表示曲線C上以A，D為端點的弧段（記為C（A，B））的弧長，若limt→β-s（A，D）=limt→β-∫tαφ′2（u）+ψ′2（u）du=s。則稱曲線C是以A、B為端點（B∈-C）的有窮曲線，s為曲線C的弧長。

類似地，我們可以定義參數(shù)方程為x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+

）（或t∈（-SymboleB@

，α］，或t∈（β，α］）的缺端點的有窮曲線，這時相應(yīng)考察的極限為：

limt→+SymboleB@

s（A，D）=limt→+SymboleB@

∫tαφ′2（u）+ψ′2（u）du=s

（或limt→-SymboleB@

s（A，D）=limt→-SymboleB@

∫αtφ′2（u）+ψ′2（u）du=s，或limt→β+s（A，D）=limt→β+∫αtφ′2（u）+ψ′2（u）du=s）。

下面我們給出第一型曲線瑕積分的定義。

定義2.2：設(shè)C是以A、B為端點（B∈-C）的平面有窮曲線，s-表示其弧長，f是定義在曲線C上的二元函數(shù)，U（B，r）表示平面上以B為心，r為半徑的鄰域，對于任意的r>0，f在U（B，r）∩C上無界，但對曲線C上的任一點D，s表示曲線C上以A，D為端點的弧段（記作C（A，D））的弧長，f在C（A，D）上有界且第一型可積，若

lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds=J，（2.1）

則稱此極限J為無界函數(shù)f在曲線C上的第一型反常積分，記作J=∫Cf（x，y）ds，并稱反常積分∫Cf（x，y）ds收斂。若極限（2.1）不存在，則稱∫Cf（x，y）ds發(fā)散。

在定義2.2中，對任意的r>0，f在U（B，r）∩C上無界，這時稱點B為f的瑕點，而曲線C上的無界函數(shù)反常積分∫Cf（x，y）ds又稱為第一型曲線瑕積分。

當(dāng)∫Cf（x，y）ds收斂時，我們?nèi)菀椎玫狡溆嬎愎健?/p>

情形1：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，β），則

J=∫Cf（x，y）ds=lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds

=limt→β-∫tαf（φ（u），ψ（u））φ′2（u）+ψ′2（u）du

=∫βαf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

類似地，

情形2：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈［α，+SymboleB@

），則

J=∫+SymboleB@

αf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形3：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈（-SymboleB@

，α］，則

J=∫α-SymboleB@

f（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt；

情形4：若C∶x=φ（t），y=ψ（t），t∈（β，α］，則

J=∫αβf（φ（t），ψ（t））φ′2（t）+ψ′2（t）dt.

由以上討論可以知道，第一型曲線瑕積分依曲線的不同類型可相應(yīng)轉(zhuǎn)化為無窮積分（見情形2和情形3）或瑕積分（見情形1和情形4）。

文獻［6］引入了平面曲線上的二元函數(shù)的單調(diào)性概念，并且證明了第一型曲線積分的第二中值定理。

定義2.3［6］：設(shè)C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］為平面上的可求長曲線，曲線兩端點為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）），f（x，y）為定義在曲線C上的函數(shù)，若對任何的t1，t2∈［α，β］，當(dāng)t1

（1）f（φ（t1），ψ（t1））

f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的增函數(shù)，特別地，當(dāng)成立嚴格不等式f（φ（t1），ψ（t1））

（2）f（φ（t1），ψ（t1））f（φ（t2），ψ（t2）），則稱f為曲線C上的減函數(shù)，特別地，當(dāng)成立嚴格不等式f（φ（t1），ψ（t1））>f（φ（t2），ψ（t2））時，稱f為曲線C上的嚴格減函數(shù)。

我們指出：曲線上函數(shù)的單調(diào)性概念是一元函數(shù)單調(diào)性的推廣。

引理2.1?（第一型曲線積分的第二中值定理）［6］：設(shè)函數(shù)f在光滑曲線C：x=φ（t）；y=ψ（t），t∈［α，β］（曲線兩端點為A（φ（α），ψ（α））和B（φ（β），ψ（β）））上第一型可積。若g為曲線C上的單調(diào)函數(shù)，則存在P（ξ，η）∈C，使∫Cf（x，y）g（x，y）ds=g（φ（α），ψ（α））∫C（A，P）f（x，y）ds+g（φ（β），ψ（β））∫C（P，B）f（x，y）ds。

3?第一型曲線瑕積分的性質(zhì)和收斂判別

這一節(jié)我們主要給出第一型曲線瑕積分的一些簡單性質(zhì)和收斂判別，對于一些顯而易見的結(jié)果我們不加證明地直接羅列。

定理3.1（第一型曲線瑕積分的Cauchy收斂準則）：設(shè)A，B為曲線C的兩端點，B∈-C，f（x，y）是定義在曲線C上的二元函數(shù)，B是f的瑕點，則第一型曲線瑕積分∫Cf（x，y）ds收斂的充要條件是：對任意給定的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

證明：根據(jù)定義，∫Cf（x，y）ds收斂（B為瑕點）等價于lims→s-∫C（A，D）f（x，y）ds存在，這又等價于對任意給定的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（A，P2）f（x，y）ds-∫C（A，P1）f（x，y）ds|=|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|<ε。

性質(zhì)3.1（線性性質(zhì)）：設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f1、f2定義在曲線C上，B同為它們的瑕點，k1、k2為常數(shù)，則當(dāng)?shù)谝恍颓€瑕積分∫Cf1（x，y）ds與∫Cf2（x，y）ds都收斂時，第一型曲線瑕積分∫C［k1f1（x，y）+k2f2（x，y）］ds必定收斂，并有：

∫C［k1f1（x，y）+k2f2（x，y）］ds=k1∫Cf1（x，y）ds+k2f2（x，y）ds

性質(zhì)3.2（按弧段可加性）：設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f定義在曲線C上，B是f的瑕點，D為C上任一點，則第一型曲線瑕積分∫Cf（x，y）ds與∫C（D，B）f（x，y）ds同斂態(tài)，在收斂時有如下關(guān)系∫Cf（x，y）ds=∫C（A，D）f（x，y）ds+∫C（D，B）f（x，y）ds。其中∫C（A，D）f（x，y）ds為第一型曲線正常積分。

性質(zhì)3.3（絕對值性質(zhì)）：設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f定義在曲線C上，B是f的瑕點，則當(dāng)∫C|f（x，y）|ds收斂時，∫Cf（x，y）ds也必定收斂，并有

|∫Cf（x，y）ds|

∫C|f（x，y）|ds.（3.1）

證明：由∫C|f（x，y）|ds收斂，根據(jù)第一型曲線瑕積分的Cauchy收斂準則（必要性）知，對任給的ε>0，存在δ>0，只要P1，P2∈U（B，δ）∩C，就有|∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds|=?∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds<ε。利用第一型正常曲線積分的絕對值不等式，又有|∫C（P1，P2）f（x，y）ds|

∫C（P1，P2）|f（x，y）|ds<ε。再利用Cauchy收斂準則（充分性），證得∫Cf（x，y）ds收斂。

又因|∫C（A，D）f（x，y）ds|

∫C（A，D）|f（x，y）|ds，兩邊取極限s→s-，立刻證得不等式（＼＼ref{3.1}）式。

當(dāng)∫C|f（x，y）|ds收斂時，稱∫Cf（x，y）ds絕對收斂。又稱收斂而不絕對收斂的第一型曲線瑕積分是條件收斂的。

設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f定義在曲線C上，B是f的瑕點，對C上的任一點D，|f|在C（A，D）上的第一型曲線積分∫C（A，D）|f（x，y）|ds關(guān)于弧長s單調(diào)遞增，因此∫C|f（x，y）|ds收斂的充要條件是∫C（A，D）|f（x，y）|ds存在上界。根據(jù)這一分析，容易推出第一型曲線瑕積分的比較原則。

定理3.2（比較原則）：設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，f，g定義在曲線C上，B是f，g的瑕點，對C上的任一點D，f，g在C（A，D）上第一型可積，若對任一個P∈C，|f（P）|

g（P），則當(dāng)∫Cg（x，y）ds收斂時，∫C|f（x，y）|ds收斂；當(dāng)∫C|f（x，y）|ds發(fā)散時，∫Cg（x，y）ds發(fā)散。

4?Dirichlet判別法和Abel判別法

定理4.1（Dirichlet判別法）：設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，曲線C的弧長為s-，f，g定義在曲線C上，B是f的瑕點，P（u，v）是曲線C上的任一點，若F（u，v）=∫C（A，P）f（x，y）ds在曲線C上有界，g（x，y）在曲線C上當(dāng)s→s-時單調(diào)趨于零，則∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。

證明?對所討論的積分∫Cf（x，y）g（x，y）ds的被積函數(shù)f（x，y）g（x，y）而言，B可能是其瑕點，也可能不是。

我們先考察B不是被積函數(shù)f（x，y）g（x，y）瑕點的情形。這時我們只需對函數(shù)f（x，y）g（x，y）在B點定義一個函數(shù)值，相應(yīng)地，原來的曲線C就變成包含兩端點的曲線（仍然記為曲線C），這樣∫Cf（x，y）g（x，y）ds則為正常的第一型曲線積分。

現(xiàn)在討論B是被積函數(shù)f（x，y）g（x，y）瑕點的情形。已知F（u，v）在曲線C上有界，即存在M>0，使|F（u，v）|=|∫C（A，P）f（x，y）ds|

M，P（u，v）∈C。

對于任意給定的ε>0，由g（x，y）在曲線C上當(dāng)s→s-時趨于零知，存在δ>0，使得對每一個P（x，y）∈U（B，δ）∩C，就有|g（x，y）|<ε4M。

對于任何P1（x1，y1），P2（x2，y2）∈U（B，δ）∩C，又因g為單調(diào)函數(shù)，在曲線段C（P1，P2）上利用第一型曲線積分的第二中值定理（引理2.1）得知，存在P（ξ，η）∈C（P1，P2），使得∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds=g（x1，y1）∫C（P1，P）f（x，y）ds+g（x2，y2）∫C（P，P2）f（x，y）ds。

于是有：

|∫C（P1，P2）f（x，y）g（x，y）ds|

|g（x1，y1）||∫C（P1，P）f（x，y）ds|

+|g（x2，y2）||∫C（P，P2）f（x，y）ds|

=|g（x1，y1）||∫C（A，P）f（x，y）ds-∫C（A，P1）f（x，y）ds|

+|g（x2，y2）||∫C（A，P2）f（x，y）ds-∫C（A，P）f（x，y）ds|

ε4M·2M+ε4M·2M=ε。

由Cauchy收斂準則知，∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。證完。

定理4.2?（Abel判別法）：設(shè)A、B為曲線C的兩端點，B∈-C，曲線C的弧長為s-，f，g定義在曲線C上，B是f的瑕點，若∫Cf（x，y）ds收斂，g（x，y）在曲線C上單調(diào)有界，則∫Cf（x，y）g（x，y）ds收斂。

證明：與上個定理的證明類似，本文略去。

注4.1?定理4.1與定理4.2的結(jié)論對于三維或一般的n維空間中的第一型曲線瑕積分仍成立。

注4.2對于一元瑕積分有相應(yīng)的Dirichlet判別法和Abel判別法（盡管大多的數(shù)學(xué)分析教材都沒有給出），它們是本文定理4.1與定理4.2的特殊情況。在應(yīng)用時只需注意到在定理的條件下∫baf（x）g（x）dx可能是定積分或者瑕積分就可以了。

參考文獻：

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［5］趙清理，于興江，冷學(xué)斌.無窮曲線上的積分及其性質(zhì)［J］.聊城師院學(xué)報（自然科學(xué)版），1999，12（3）：6871.

［6］唐國吉.第二型曲線積分的第二中值定理［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，2009，39（17）：200205.

基金項目：本研究受廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項目（2020JGA155）和廣西民族大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)相思湖本科教育教學(xué)創(chuàng)新團隊資助

作者簡介：邱惠銘（1983—?），女，漢族，廣西桂林人，本科，初級，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計。

*通訊作者：唐國吉（1979—?），男，漢族，廣西防城港人，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：運籌學(xué)與控制論、數(shù)學(xué)教育。