在初中數(shù)學解題中有效應用數(shù)形結(jié)合

李明超

數(shù)形結(jié)合是一種常見的解題方式，它的應用不僅可以打開學生的思維，還能提升學生的解題效率。本文以初中數(shù)學為研究對象，簡述了數(shù)形結(jié)合思想，分析了采用數(shù)形結(jié)合思想開展教學的優(yōu)勢，并以案例的方式對其在解題中的應用進行深入的研究。

新課程理念指導下的數(shù)學教學不單注重學生知識學習，更加強培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。針對這一現(xiàn)實情況，教師必須改變陳舊的教學模式，在開展基礎教學的同時，加強對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，讓學生在主動參與中獲取知識、提升能力。教師應用數(shù)形結(jié)合這一教學方法，可以幫助學生建立起系統(tǒng)思維模型，提升學習效率。因此加強數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學解題中應用的研究非常重要。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合即數(shù)與形的對應，教學中教師通過數(shù)與形間的轉(zhuǎn)化可以讓學生輕松地解答問題。隨著教學改革的發(fā)展，教師的教學理念也在發(fā)生轉(zhuǎn)變，從知識教學轉(zhuǎn)向?qū)W習思想的培育。數(shù)形結(jié)合模式在解題中的應用，降低了學生的數(shù)學學習難度，深化了學生對知識的理解。教師將數(shù)形結(jié)合思想應用于數(shù)學解題中，不僅解決了解題的難點，而且提升了學生的解題效率。教學改革的持續(xù)發(fā)展，使各個階段的教育獲得了發(fā)展，在為國家培養(yǎng)創(chuàng)新人才方面發(fā)揮著重要的作用。但人才的培養(yǎng)是一個長期的過程，特別是要打好基礎。數(shù)學作為初中階段的一門基礎學科，因抽象性、邏輯性強的特點加大了學生的學習難度。數(shù)學教學不僅要注重學生的知識掌握度，更要關(guān)注學生數(shù)學思維能力的發(fā)展，由此數(shù)形結(jié)合的思想就進入了大家的視野，并在課堂教學中得到了廣泛的應用。

二、初中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)勢

（一）應用范圍廣，適用于不同類型的數(shù)學知識

以往的初中數(shù)學教學形式單一，教師往往采取“灌輸”的方式，力圖通過詳細地向?qū)W生分析數(shù)學知識來達到讓學生理解的目的。在這一過程中，學生機械地學習，讓數(shù)學學習失去原本的魅力。長此下去，學生在數(shù)學課上就會消極，采用單一的學習方法，固化了數(shù)學思維。而數(shù)形結(jié)合是數(shù)學思想方法的一種，主要通過數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)換來解決實際問題，因此這一方法得到了廣泛應用，而且根據(jù)不同的知識點可以展現(xiàn)出不同的效果，以此優(yōu)化數(shù)學課堂。

（二）涉及思想方法，拓寬學生的數(shù)學思維

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學思想的一種，它強調(diào)靈活解讀和應用，是數(shù)學知識內(nèi)化的一種表現(xiàn)。加強數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學中的應用，可以幫助學生把握知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通過長期的訓練可以促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。將數(shù)形結(jié)合思想應用于不同問題的解答中，可以讓學生認識到思想方法的重要性，通過汲取數(shù)學思想和方法完善自己的學習體系。

（三）鍛煉解題技巧，提升學生的解題效率

數(shù)形結(jié)合不單是解決問題的有效方法，更是一種思維的體現(xiàn)。學生通過數(shù)形結(jié)合思想的學習可以解決數(shù)學難點，可以達到舉一反三的效果，用它來解決更多的問題，也可以促使學生形成一種思維模式，在長期的堅持和鍛煉中掌握解題技巧，這對學生日后的成長與發(fā)展有著現(xiàn)實意義。

三、初中數(shù)學教學現(xiàn)狀

剛進入初中的學生，因其思維、學習方法還停留在小學階段，所以在學習中會出現(xiàn)各種問題。升入初中后學習的難度會逐漸加大，這不僅影響著學生的學習效果，而且會導致學生降低學習興趣，從而讓學生無法全身心地進入數(shù)學課堂中。教師在教學中應用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生更輕松地掌握知識，提高課堂質(zhì)量。但受到傳統(tǒng)教學形式的影響，當下的課堂教學中還存在諸多問題。

（一）教師教學方法單一

在以往的數(shù)學課堂中，教師會采取“灌輸”的模式開展，并試圖通過“題?！睉?zhàn)術(shù)讓學生掌握某個知識點，這不僅加大了學生的壓力，而且限制了學生的發(fā)展。針對這一現(xiàn)實情況，教師只有加強創(chuàng)新和優(yōu)化教學方法，才能為數(shù)學課堂注入更多的趣味元素，才能在這種思想方法的引導下習得知識、解決問題，并促使學生更好地學習。

（二）數(shù)學難度大，降低了學生的學習熱情

從小學到初中，數(shù)學學習的難度明顯加大，這就導致部分學生在課堂的收獲甚微，從而打擊了學生的信心，降低了學習熱情。教師應用數(shù)形結(jié)合思想則可以輕松地解決這一問題，通過數(shù)和形的轉(zhuǎn)變可引發(fā)學生深入思考，以此來降低學習難度，讓學生有效理解知識，為其數(shù)學綜合思維能力的發(fā)展打下堅實的基礎。

（三）教師忽視數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想在學生數(shù)學學習中發(fā)揮著重要的作用，特別是在初中階段，貫穿著整個過程，對其的應用影響著學生解答問題的速度與能力。但在以往的教學中很多教師都忽視了對其的應用，忽視了在解題中滲透數(shù)形結(jié)合思想，認為教學的重點在于解決實際問題。其實不然，應用數(shù)形結(jié)合思想是學生必備的一項能力，特別是初中生正處在形象思維向抽象思維過渡的階段，加強數(shù)形結(jié)合思想的學習非常重要。

四、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學解題中的有效應用分析

在數(shù)學問題的解決中學生只有靈活應用知識，并通過有效的訓練才能獲得更多的答題技巧，也才能進一步提升自身解決實際問題的能力。而在這一問題的解決過程中，加強數(shù)形結(jié)合思想方法的應用可以將題目中的條件直觀地展現(xiàn)出來，便于學生理解其中的含義，并最終提升學生解決問題的能力。

（一）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決正數(shù)和負數(shù)問題

剛進入七年級的學生，思維還處在形象階段，面對難度更大、抽象性更強的數(shù)學知識點，只有在教師的引導下才能完成，才能進一步提升其數(shù)學思維能力。例如，在正數(shù)和負數(shù)的概念的教學中，教師便可以采用數(shù)軸的方法對學生進行引導，首先在黑板上畫出一個數(shù)軸，中點表示為0，左邊為負數(shù)，右邊為正數(shù)，然后再創(chuàng)設“氣溫低于0度和氣溫高于0度”的生活情境，讓學生將-5度、-10度和+5度、+10度刻畫在數(shù)軸上，以幫助學生把握正數(shù)和負數(shù)的概念。這一簡單應用，給了學生啟發(fā)，而且在接下來的重點學習中，學生也可以舉一反三，結(jié)合這一思想方法解答問題。

（二）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

函數(shù)是中學階段的學習重點，但由于函數(shù)的抽象性和邏輯性，學生在函數(shù)學習中出現(xiàn)了各種問題。所以在學習中，教師可以指導學生采取數(shù)形結(jié)合的方法對一元一次方程、一元二次方程以及二元一次方程進行歸納，將其特點展現(xiàn)出來，方便學生理解和接受，進而在解答方程問題時能夠游刃有余。為了深化學生的學習，教師可以設置問題“一次函數(shù)與二次函數(shù)存在哪些異同點”，此時學生就會想到利用數(shù)形結(jié)合思想進行解答，首先在紙上畫出一次函數(shù)y=kx+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c（且a≠0）的圖象，學生便可以清晰看到兩者的區(qū)別。然后再根據(jù)對不同函數(shù)圖象的分析，讓學生認識到了一次函數(shù)和二次函數(shù)各元素的作用，為學生后續(xù)根據(jù)各元素的作用解答問題提供了特定的條件。

（三）巧用數(shù)形結(jié)合思想解答幾何問題

初中數(shù)學幾何知識的范圍很廣，有三角形、平行四邊形、圓形和圓柱體知識等，為了幫助學生探究其中的本質(zhì)，教師可以應用數(shù)形結(jié)合思想。比如，在“勾股定理”這節(jié)知識的教學中，教師可以為學生展示生活類的問題，讓學生根據(jù)所學的知識和以往的經(jīng)驗進行解答，然后利用數(shù)形結(jié)合思想將題目中的條件轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理知識解答現(xiàn)實問題。

例如，“老師要求同學們測量學校旗桿的高度，小明發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1 m，當他把繩子的下端拉開5 m后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，你能幫助小明求出旗桿的高度嗎？”根據(jù)題目的條件，學生可以畫出相應的圖形，而后會發(fā)現(xiàn)旗桿和地面兩者的結(jié)合正好是直角三角形的兩條直角邊，然后會聯(lián)想到所學的勾股定理知識，再根據(jù)勾股定理的概念和公式，自然可以列出勾股定理的方程。求解：設繩子的長度AB為x m，則旗桿的高度AC為（x-1） m，在直角三角形ABC中，得出AC2+BC2=AB2，也就是（x-1）2+52=x2，由此可以得到x=13，則x-1=12，所以旗桿的高度為12 m。

又如，在圓的有關(guān)知識的學習中，為了提升學生對圓的認識，教師可以指導學生利用數(shù)形結(jié)合的思想，分析圓和圓的位置關(guān)系，而后加深學生的印象。最后教師再設計相應的習題，鼓勵學生解答，不但豐富了學生的知識儲備，而且提升了學生解答數(shù)學問題的效率。

（四）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學不等式問題

學生若采取傳統(tǒng)的方法解答不等式，需要求出每一個不等式的解集，在數(shù)軸上畫出來，然后找到不等式的公共部分便可以得到不等式組的解集。因此，在這部分知識點的教學中，教師可以從簡單的題目入手，在學生熟悉數(shù)形結(jié)合思想方法后，再加大學習難度，為學生多設計幾個題目，最后邀請學生將自己解題的方法和過程展現(xiàn)出來。有的學生采取了直接計算的方法，有的學生用數(shù)軸表示，這是學生數(shù)學思維和數(shù)學能力的充分體現(xiàn)。為了開闊學生的思維，教師可以將班內(nèi)學生劃分為不同的小組，指導學生以小組的方式求出如下的二元一次方程組：x+2y=2m-5x-2y=3-4m，若x為正數(shù)，y為負數(shù)，求m的取值范圍。本道題目和以往的二元一次方程求解不同，因為題目中有未知數(shù)m，但教師可以指導學生結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法進行思考。在小組討論中，深得數(shù)形結(jié)合思想方法的學生會提出采取數(shù)軸的方法解答，然后根據(jù)題目中給出的條件，得到m的取值范圍。經(jīng)過長期的訓練，學生不僅掌握了不等式的解答方法，而且為日后利用這一數(shù)學思想方法解答更高難度的問題奠定了基礎。

（五）巧用數(shù)形結(jié)合思想解決線性規(guī)劃問題

數(shù)形結(jié)合方法是解決線性規(guī)劃問題的有效方法，在此類問題的解答中，根據(jù)題目給出的條件作圖，然后通過分析找出正確的區(qū)域，最后進行作答。例如，在解決如下線性規(guī)劃問題“若x、y、z滿足約束條件x≤2，y≤2，x+y≥2，則z=x+2y的取值范圍是多少？”時，就可以引導學生采用畫圖的方式畫出x與y的數(shù)軸（如圖1），然后根據(jù)題目中給出的條件進行繪制，再通過觀察與分析就可以輕松得到問題的答案。

由上可見，在線性規(guī)劃問題的解答中，利用數(shù)形結(jié)合法解答問題非常重要，但需要學生畫出正確的區(qū)域，才能根據(jù)題目條件得到正確的答案。因此在此類問題的解答中，學生必須牢記數(shù)形結(jié)合方法，如此才能提升學生答題的速度和準確率。

綜上所述，初中生只有靈活應用知識，在問題的解答中才能更加游刃有余。同樣，教師引導學生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，可以使復雜問題簡單化，可以將抽象的數(shù)學語言以直觀的圖形展示出來，可以幫助學生把握住數(shù)學問題的本質(zhì)。而且大量的教學實踐研究顯示：數(shù)形結(jié)合思想的應用，可以促進學生的全面提升與發(fā)展，在當下的數(shù)學教學中發(fā)揮著重要的作用。數(shù)形結(jié)合是一種先進的數(shù)學思想，教師對其的應用創(chuàng)新了教學模式，因此在日后的教育教學中，教師要將數(shù)形結(jié)合的思想融入數(shù)學問題的解答中，通過創(chuàng)新模式、細化目標，吸引學生主動參與，同時激活學生的數(shù)學思維，將學生的內(nèi)在潛力挖掘到位，為學生數(shù)學核心素養(yǎng)的形成奠定堅實的基礎。

參考文獻：

[1]金明.映“數(shù)”“形”花別樣紅：數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用[J].新課程（中學版），2014（1）：218-219.

[2]馬威.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用[J].中學生數(shù)理化（教與學），2021（35）：71-73.

[3]胡麗琴.數(shù)形結(jié)合思想在中學數(shù)學解題中的應用[J].中華少年（研究青少年教育），2012（7）：315-316.

[4]王靜.淺析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學解題中的應用[J].世紀之星（初中版），2022（11）：172-174.

（作者單位：貴州省興仁市波陽鎮(zhèn)田灣中學）

編輯：張俐麗