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      基于GeoGebra剖析空間角的概念

      2023-07-10 12:04:14姜林蔡華
      數(shù)學(xué)之友 2023年3期

      姜林 蔡華

      摘 要:在空間角(異面直線所成的角、直線與平面所成角、二面角的平面角)的教學(xué)中,教師往往花費較多的時間設(shè)計概念的引入,但缺少剖析概念的環(huán)節(jié),以至于學(xué)生在解題時,存在“主觀臆斷、無中生有”等“無目的”的解答現(xiàn)象.因此,本研究以GeoGebra為平臺對空間角的概念做進一步的剖析,重構(gòu)空間角的概念,使其與學(xué)生解題過程保持一致,加深學(xué)生對空間角的理解,為教師教學(xué)提供一定的參考.

      關(guān)鍵詞:GeoGebra;空間角;概念剖析

      1 問題提出

      學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問題的前提.在“以教師為主導(dǎo)”的傳統(tǒng)教學(xué)模式下,教師只能借助或不借助實物模型對異面直線所成的角、直線與平面所成角、二面角的平面角的概念進行教學(xué),大部分是采用直接呈現(xiàn)概念,緊接著例題講解與學(xué)生練習(xí)的教學(xué)方式.然而隨著“以學(xué)生為主體”的教學(xué)理念的提出,教育信息化的發(fā)展,使用信息技術(shù)輔助教學(xué)是必然的趨勢,并且課程標(biāo)準指出“可以使用信息技術(shù)展示空間圖形,為理解和掌握圖形幾何性質(zhì)提供直觀”[1].

      教師也逐漸使用信息技術(shù)輔助空間角的教學(xué),然而針對空間角的概念教學(xué)多為教學(xué)設(shè)計和教學(xué)反思[2].盡管教師花費較多時間引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建空間角的概念[3],但是很少使用信息技術(shù)對空間角的概念進行剖析,缺少從概念歸納解題方法的教學(xué)環(huán)節(jié),以至于學(xué)生在自主解答問題時抓不住要點,使得空間角的概念與實際解題出現(xiàn)一定的脫節(jié).我國數(shù)學(xué)教育家張景中院士[4]提出了教育數(shù)學(xué)的三條原理“數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)從學(xué)生腦海中找概念、從概念中產(chǎn)生方法、由方法形成模式”,因此,要讓學(xué)生能夠理解空間角的概念并解決相關(guān)問題,那么對空間角的概念進行剖析就顯得尤為重要.

      本研究將從剖析概念的必要性入手,并以GeoGebra為平臺對空間角進行逐一剖析,重構(gòu)與解題過程保持一致的“新”概念,歸納解題方法并應(yīng)用,最后提出GeoGebra輔助立體幾何教學(xué)的使用建議.

      2 GeoGebra輔助教學(xué)的優(yōu)勢

      盡管教師能夠使用信息技術(shù)輔助教學(xué),但是空間角對學(xué)生的直觀想象能力有著較高的要求,那么使用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)軟件就能實現(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果[5].GeoGebra是一款免費開源的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件,具有3D空間直觀的繪圖區(qū)域、代數(shù)運算、幾何平面、統(tǒng)計概念等強大的功能,其3D繪圖功能在立體幾何教學(xué)中有著較大的優(yōu)勢[6].

      2.1 3D繪圖區(qū)

      3D繪圖區(qū)域主要由一個平面和空間直角坐標(biāo)系構(gòu)成,為在此區(qū)域構(gòu)建幾何對象提供了直接的構(gòu)建平臺,如圖1所示.并且使用鼠標(biāo)或者教室一體機的接觸筆能改變觀察的視角,實現(xiàn)從多角度觀察幾何對象.

      2.2 工具便捷性

      立體幾何作圖是傳統(tǒng)教學(xué)方式最耗時的環(huán)節(jié),教師在教學(xué)和解題過程中都需要花較長的時間在黑板上進行作圖.3D作圖的工具,可以實現(xiàn)快速作圖.比如,使用直線工具,根據(jù)兩點確定一條直線就能夠在平面上繪制一條直線AB,如果想讓直線AB不在平面內(nèi),可以點擊其中一個點B,當(dāng)出現(xiàn)上下兩個箭頭時,就可以實現(xiàn)點的上下平移,如圖2所示;當(dāng)出現(xiàn)四個箭頭時,可以實現(xiàn)點的前后左右平移.此外,常見的工具還有,平面工具(三點確定一個平面)、正六面體、棱錐、棱錐、圓錐、圓錐以及平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換工具.

      在具有較強空間感和作圖便捷性的3D繪圖區(qū),完全實現(xiàn)異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角與GeoGebra的融合,體現(xiàn)該軟件在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的優(yōu)勢.

      3 空間角的概念剖析與重構(gòu)

      空間角是指高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的異面直線所成角、直線與平面所成角以及二面角的平面角.以“普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊”中的空間角為剖析對象.

      3.1 異面直線所成角

      異面直線所成角的概念:已知兩條異面直線a、b,經(jīng)過空間中任意一點O分別作直線a′//a,b′//b,把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

      從概念中可以發(fā)現(xiàn)幾個關(guān)鍵短語“任意一點、分別作直線”,但是這與例題的解答過程有差異.以教材的第147頁的例1為例,找出其中的差異.

      問題1:如圖3所示,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,求直線BA′與CC′所成的角的大小.

      解法:∵ABCD-A′B′C′D′是正方體,

      ∴BB′//CC′,

      因此∠A′BB′為直線BA′與CC′所成的角.

      ∵∠A′BB′=45°,

      ∴直線BA′與CC′所成的角等于45°.

      與異面直線所成角的概念相比,例題的解答過程,并沒有“作直線平行”,而是證明直線平行,最后找到角并在三角形中求解角的大小.通過對比可以發(fā)現(xiàn)異面直線所成角的概念描述與解答過程存在不一致,為避免學(xué)生解答時出現(xiàn)“主觀臆斷”,讓學(xué)生有解決問題的方向,就需要對概念進行剖析.

      使用GeoGebra繪制異面直線a、b,在使用“描點”工具,繪制“任意點O”;顯然,空間中過點O的直線有無數(shù)條,但是經(jīng)過點O并且與直線a平行的直線只有一條a′;同理,經(jīng)過點O并且與直線b平行的直線也只有一條b′;因此,只需要分別證明過點O的直線a′、b′平行于直線a或者直線b,那么直線a′、b′所成的角就是異面直線a、b所成的角.

      綜上,可以得出異面直線所成角的另一種描述:已知兩條異面直線a、b,若能證明經(jīng)過空間中任意一點O的直線a′、b′分別平行于直線a、b,那么直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角.(當(dāng)點O在直線a或直線b上時,僅需證明一次直線平行)

      3.2 直線與平面所成角

      直線與平面所成角:一條直線l與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這樣平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上除斜足外的一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.

      概念中的關(guān)鍵點是“過點P向平面α引垂線PO”,其含義是“過點P作平面α的垂線PO”,但是實際問題的解答卻不是“作垂線”,而是“證明垂直”.對教材第152頁的例4進行分析,對比例題的解答過程與概念之間的差異.

      問題2:如圖5所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.

      解:連接BC1,B1C,BC1與B1C相交于點O,連接A1O.

      設(shè)正方體的棱長為a.

      ∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,

      ∴A1B1⊥平面BCC1B1,即A1B1⊥BC1,

      ∵BC1⊥B1C,

      ∴BC1⊥平面A1DCB1,

      即A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影,∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.

      在Rt△A1BO中,∵A1B=√2a,BO=(√2/2)a,∴BO=(1/2)A1B,即∠BA1O=30°,故直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.

      分析解答過程可以發(fā)現(xiàn),在解題過程中,并沒有“作平面的垂線”這樣的步驟,這就是解答過程與概念不一致的地方.因此為了概念與解答過程保持一致,讓學(xué)生能夠深刻理解直線與平面所成的角,并在解題過程中有一定的思考方向,就需要對概念進行剖析,以便學(xué)生能掌握知識.

      使用GeoGebra繪制平面α、斜線AP,點P是除斜足A以外的任意一點,顯然在空間中過點P的直線有無數(shù)條,然而垂直于平面α的直線只有一條PO,即可以證明過點P的直線PO垂直于平面α,垂足為O,最后使用GeoGebra的“直線”工具和“角度”工具,分別繪制射影和直線與平面所成的角β,如圖6所示.

      綜上所述,直線與平面所成角的另一種描述:已知斜線l、平面α,斜足為點A,在斜線l上的任意一點P(除斜足外),若能證明過點P的直線垂直于平面α,垂足為點O,那么射影AO與斜線AP所成的角β就是直線l與平面α所成的角.(實際問題中,任意一點往往是確定斜線的兩點之一)

      3.3 二面角的平面角

      二面角的平面角概念:在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和射線OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

      從三個空間角的概念的描述可以發(fā)現(xiàn)它們的共性都是“作出”具有平行或垂直關(guān)系的直線,把握它們之間的共性,使教學(xué)具有連貫性[7].因此根據(jù)前文的剖析,通過類比就可以得到二面角的平面角的另一種描述:在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,在半平面α和β內(nèi)分別有兩條射線OA和OB都經(jīng)過點O,若能證明射線OA和OB都垂直于棱l,則射線OA和射線OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.

      這樣的概念描述讓數(shù)學(xué)概念與解題過程保持一致,對學(xué)生理解概念和解題都有很大的幫助,并為學(xué)生提供了清晰的解題思路,減少出現(xiàn)“主觀臆斷、無中生有”的解答現(xiàn)象,讓學(xué)生在解題時具有明確的目的.

      4 解題方法的歸納與應(yīng)用

      4.1 類比歸納解題方法

      有效的概念重構(gòu)能夠促進學(xué)生對概念的理解[8],而恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)軟件能夠?qū)崿F(xiàn)事半功倍的教學(xué)效果[9].通過使用GeoGebra軟件對空間角的概念進行剖析,并得到符合學(xué)生解題思路的“新”概念.而三個空間角的“新”概念中蘊含著解決空間角相關(guān)問題的一般性步驟:(1) 找點;(2) 進行證明;(3) 確定角;(4) 在三角形中求角.概念的剖析使學(xué)生有了解題的思路,避免出現(xiàn)“主觀臆斷、無中生有”的錯因,也在解題過程中進一步理解相關(guān)概念.

      4.2 “新”概念的應(yīng)用

      結(jié)合具體的問題,說明“新”概念與解題過程的一致性.異面直線所成角重構(gòu)后的概念描述:已知兩條異面直線a、b,若能證明經(jīng)過空間中任意一點O的直線a′、b′分別平行于直線a、b,那么直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角.(當(dāng)點O在直線a或直線b上時,僅需證明一次直線平行)

      問題3:如圖7所示,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,O1為底面A1B1C1D1的中點,求證AO1⊥BD.

      結(jié)合概念分析問題:題目的要求是證明異面直線AO1與BD垂直.若可以求出AO1與BD所成角的大小為90°,那么就說明AO1⊥BD.

      根據(jù)解題方法:

      (1) 找點(教學(xué)過程中教師可以引導(dǎo)學(xué)生逐一找點A、B、D、O1觀察分析哪個點比較合適,可以發(fā)現(xiàn)比較恰當(dāng)?shù)狞c是O1)

      (2) 進行證明(由于點O1在直線AO1上,要證明過點O1的直線平行于BD,那么就需要作輔助線B1D1);

      (3) 確定角(異面直線所成的角就是∠AO1B1);

      (4) 在三角形中求角(構(gòu)造△AB1D1,根據(jù)題意知道△AB1D1是等邊三角形,AO1是中線,即可以求得∠AO1B1=90°).如圖8所示.

      5 結(jié)束語

      通過借助GeoGebra軟件對空間角的概念進行剖析,結(jié)合相應(yīng)的例題和類比方法,重構(gòu)了空間角的概念,讓絕大部分學(xué)生能夠較輕松地理解概念并能解決相關(guān)的問題.歸納一般性的解題步驟:(1) 找點;(2) 進行證明;(3) 確定角;(4) 在三角形中求角.此外,要使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、法則、公式、定理,并能夠掌握運用,那么對其的剖析環(huán)節(jié)必不可少.而在立體幾何內(nèi)容的教學(xué)過程中使用GeoGebra輔助教學(xué),不僅有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識,提升直觀想象能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,而且對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維也有較大的幫助.

      參考文獻:

      [1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2020:2530.

      [2] 張林森,黃華.概念教學(xué) 自然為貴——“異面直線所成的角”教學(xué)設(shè)計、實踐與評析[J].中國數(shù)學(xué)教育,2017(18):435.

      [3] 曾盛,邢曉丹.簡約而不簡單的數(shù)學(xué)本真課堂教學(xué)——觀數(shù)學(xué)公開課“異面直線所成的角”后的教學(xué)思考[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2017(9):435.

      [4] 張景中.直來直去的微積分[M].科學(xué)出版社,2010.

      [5] 張志勇.高中數(shù)學(xué)可視化教學(xué):原則、途徑與策略——基于GeoGebra平臺[J].數(shù)學(xué)通報,2018,57(7):214+8.

      [6] 譚媛媛.基于GeoGebra的問題驅(qū)動式課堂教學(xué)實踐——以三視圖教學(xué)為例[J].中國現(xiàn)代教育裝備,2022(14):525.

      [7] 俞廉潔,楊元韡.以“異面直線所成角”的教學(xué)設(shè)計為例談立體幾何的概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2021(8):435.

      [8] 朱建平,袁衛(wèi)剛.“異面直線所成角”課堂教學(xué)的反思與重構(gòu)[J].中學(xué)教學(xué)參考,2020(2):67.

      [9] 左曉明,田艷麗,贠超.基于GeoGebra的數(shù)學(xué)教學(xué)全過程優(yōu)化研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2010,19(1):99102.

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