郜舒竹 魏衛(wèi)霞 程曉紅

【摘? ?要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》新增了“分?jǐn)?shù)單位”的說(shuō)法。通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，“分?jǐn)?shù)單位”具有所指界限不清的“模糊性”及語(yǔ)義相離的“歧義性”，極易引起一線教師的誤解，將不確定的單位強(qiáng)制為確定，給實(shí)際教學(xué)帶來(lái)是非難辨的困難。為了消除歧義，可以將“分?jǐn)?shù)單位”的不同意義分離，并分別命名，從而區(qū)分“分?jǐn)?shù)單位”與“單位分?jǐn)?shù)”，使得“分?jǐn)?shù)單位”的意義具有相對(duì)的確定性，避免產(chǎn)生誤解。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)單位；單位分?jǐn)?shù)；模糊；歧義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）新增了“分?jǐn)?shù)單位”的說(shuō)法，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域第二學(xué)段（3～4年級(jí)）的“內(nèi)容要求”中表述為“感悟分?jǐn)?shù)單位”?！胺?jǐn)?shù)單位”一詞具有明顯的語(yǔ)義模糊與歧義特征，極易讓人產(chǎn)生誤解，因此會(huì)給實(shí)際教學(xué)、教科書編修及試題編制造成誤導(dǎo)。

一、所指界限不清的“模糊性”

《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1中的“例9 感悟分?jǐn)?shù)單位”以“比較[12]和[13]的大小”的實(shí)例來(lái)說(shuō)明“分?jǐn)?shù)單位”的意義。具體“說(shuō)明”摘錄如下。

【說(shuō)明】把兩個(gè)同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，通過(guò)比較各自1份面積大小的方法，引導(dǎo)學(xué)生直觀理解分?jǐn)?shù)的大小。然后，進(jìn)一步把這兩個(gè)圓都平均分成6份，通過(guò)“[12]=[36]，[13]=[26]，[36]>[26]，所以[12]>[13]”，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系，知道只有在相同單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小。

這段“說(shuō)明”并未說(shuō)明諸多分?jǐn)?shù)中，哪個(gè)或哪些是“分?jǐn)?shù)單位”。作為“比較[12]和[13]的大小”的例題，“幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系”應(yīng)當(dāng)是“感悟分?jǐn)?shù)單位”的重要內(nèi)容。由此看來(lái)，“分?jǐn)?shù)單位之間的關(guān)系”應(yīng)當(dāng)是指“[12]和[13]的關(guān)系”，也就是將[12]和[13]這樣分子為1的分?jǐn)?shù)視為分?jǐn)?shù)單位。按照這樣的理解，可以猜測(cè)，“感悟分?jǐn)?shù)單位”的意義是認(rèn)識(shí)兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)單位，其大小或順序可能是不同的，而且分母中數(shù)的大小與分?jǐn)?shù)單位的大小關(guān)系是反向的，即分母越大（小），分?jǐn)?shù)單位越?。ù螅?/p>

再看“說(shuō)明”中的另一句話：“只有在相同單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小?！盵12]和[13]通分后分別成為等值的[36]（[36]=[16]×3）和[26]（[26]=[16]×2），[36]是[16]的3倍，[26]是[16]的2倍。這一過(guò)程是將[16]視為比較的標(biāo)準(zhǔn)，因此“說(shuō)明”中的“相同單位”應(yīng)當(dāng)是把[16]視為分?jǐn)?shù)單位。這時(shí)的“感悟分?jǐn)?shù)單位”或許應(yīng)當(dāng)是通過(guò)通分，構(gòu)造共同的分?jǐn)?shù)單位，將分?jǐn)?shù)大小的比較轉(zhuǎn)化為整數(shù)大小的比較，體現(xiàn)所謂分?jǐn)?shù)與整數(shù)的一致性。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說(shuō)的“分?jǐn)?shù)單位”應(yīng)當(dāng)是指“分子為1的分?jǐn)?shù)”，這一點(diǎn)可以在鞏子坤等發(fā)表的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性》一文中得到證實(shí)。該文將整數(shù)中的“1、10、100……”，小數(shù)中的“0.1、0.01、0.001……”，以及分子為1的分?jǐn)?shù)，統(tǒng)稱為“計(jì)數(shù)單位”，而且特別說(shuō)明分?jǐn)?shù)中的計(jì)數(shù)單位也叫“分?jǐn)?shù)單位”。［1］

按照這樣的邏輯，《課程標(biāo)準(zhǔn)》例9的語(yǔ)境中出現(xiàn)的[12]和[13]是分?jǐn)?shù)單位，人為構(gòu)造出來(lái)的[16]也是分?jǐn)?shù)單位。進(jìn)一步設(shè)想，一個(gè)分?jǐn)?shù)的等值分?jǐn)?shù)是無(wú)限多的，比如：

l[12]=[36]=[612]=[918]=……

l[13]=[26]=[412]=[618]=……

其中，[112]、[118]等無(wú)限多分子為1的分?jǐn)?shù)，都可以成為這一語(yǔ)境中的分?jǐn)?shù)單位。因此，“分?jǐn)?shù)單位”一詞在同一語(yǔ)境中明顯具有所指界限不清的“模糊性（Vagueness）”［2］，教學(xué)過(guò)程中自然會(huì)出現(xiàn)因人而異的差異性與多樣性。

二、語(yǔ)義相離的“歧義性”

“分?jǐn)?shù)單位”不僅具有所指界限不清的模糊性，還可能出現(xiàn)其他另類的意義。數(shù)作為表征量的語(yǔ)言，是人思維中生成的對(duì)象，其說(shuō)法與寫法的表征形式取決于如何看待單位，也就是如何看待“一”。只有確定了“一”，才能確定“幾（或幾分之幾）”。［3］分?jǐn)?shù)[12]（或[13]）的一般意義是：將一個(gè)“整體（Whole）”平均分成2份（或3份），表示其中1份的數(shù)。如果按照《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1中的例9所說(shuō)，將“一個(gè)圓的面積”視為“整體”，那么將圓平均分成2份（或3份），表達(dá)其中的1份的數(shù)就是[12]（或[13]）。（如圖1）

此時(shí)，“一個(gè)圓的面積”就是諸如[12]或[13]這些分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位。如果把平分后的較小部分視為單位，那么表達(dá)這種局部與整體關(guān)系的數(shù)就會(huì)隨之改變（如圖2）。

由此看來(lái)，同樣的量可以用不同的數(shù)表達(dá)，其原因在于單位的不同，就像同樣的6根筷子，也可以稱為3雙筷子，120分鐘也可以叫作2小時(shí)。因此，每一個(gè)數(shù)的出現(xiàn)與存在，都對(duì)應(yīng)并依賴著一個(gè)單位，這個(gè)單位與對(duì)應(yīng)的數(shù)具有“一對(duì)一”的關(guān)系，單位的確定使得數(shù)隨之確定，單位的改變導(dǎo)致數(shù)的改變。像這樣和數(shù)的出現(xiàn)與存在息息相關(guān)的單位，在分?jǐn)?shù)的語(yǔ)境中通常叫作“單位一”，其意義是“分?jǐn)?shù)所依賴的單位”。從字面意思來(lái)看，這樣的“單位一”也應(yīng)當(dāng)命名為“分?jǐn)?shù)單位”。由此得到“分?jǐn)?shù)單位”一詞可能出現(xiàn)的兩個(gè)截然不同的意義：

[l][分?jǐn)?shù)單位=? ][分子為1的分?jǐn)?shù)作為單位

分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位

]

因此，“分?jǐn)?shù)單位”的說(shuō)法就具有了語(yǔ)義相離的“歧義性（Ambiguity）”。［4］在同一語(yǔ)境中的“分?jǐn)?shù)單位”，同時(shí)具有所指界限不清的模糊性和語(yǔ)義相離的歧義性，使得這一詞語(yǔ)失去了確定的意義，極易引起誤解。

三、教學(xué)誤解

“分?jǐn)?shù)單位”一詞并非《課程標(biāo)準(zhǔn)》的原創(chuàng)，有關(guān)其意義以及對(duì)它的誤解的討論由來(lái)已久，早在20世紀(jì)80年代就常見如下的試題［5］：

l[123]的單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的單位。（標(biāo)準(zhǔn)答案：[13]，5）

標(biāo)準(zhǔn)答案是將分子為1的分?jǐn)?shù)[13]視為帶分?jǐn)?shù)[123]的單位，與《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所說(shuō)的分?jǐn)?shù)單位的意義相同。按照這樣的理解，問(wèn)題的答案并不是唯一確定的。因?yàn)閇123]=[146]=[169]=……所以[123]的單位還可以是[16]、[19]……答案是無(wú)限多的。這是因?yàn)槊}者誤解了分?jǐn)?shù)單位的意義，將這一語(yǔ)境中不確定的單位強(qiáng)制為確定。

另外，從分?jǐn)?shù)單位是分?jǐn)?shù)[123]所依賴的“單位一”這個(gè)意義看，如果把“單位一”看作“一個(gè)圓的面積”，那么其中的[23]就表示同一個(gè)圓平均分成3份中的2份（如圖3）。也就是說(shuō)，[123]的單位是“1”，包含有[123]個(gè)單位。

如果按照題目中所說(shuō)，把[13]看作單位，意味著把一個(gè)圓平均分成3份，將其中的1份視為單位。隨著單位的改變，[123]也會(huì)隨之改變，其中的1變成“3”，[23]變成“2”，[123]自然就改變?yōu)椤?”了（如圖4）。

凡此似是而非的試題及其標(biāo)準(zhǔn)答案，必然會(huì)給一線教師的教學(xué)帶來(lái)困惑，造成是非難辨的混亂現(xiàn)象。為了防止這樣的混亂產(chǎn)生，就需要將“分?jǐn)?shù)單位”的不同意義分離開，并針對(duì)不同意義分別命名，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)消除歧義的目的。

四、區(qū)分“單位分?jǐn)?shù)”與“分?jǐn)?shù)單位”

如前所述，“分?jǐn)?shù)單位”的歧義性表現(xiàn)為：既有分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位的意義，也有分子是1的分?jǐn)?shù)的意義。通過(guò)歷史考察可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)分子為1的分?jǐn)?shù)的研究在古代埃及的紙草書中就早有記載，但通用的名稱是“單位分?jǐn)?shù)（Unit Fraction）”，而不是“分?jǐn)?shù)單位”。［6］

數(shù)學(xué)中對(duì)單位分?jǐn)?shù)的研究，意在將任何一個(gè)分?jǐn)?shù)分解為互不相同的單位分?jǐn)?shù)之和，比如[56]可以分解為兩個(gè)互異單位分?jǐn)?shù)[12]與[13]的和，即[56]=[12]+[13]。將此類內(nèi)容應(yīng)用于教學(xué)中，通常是為了幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)運(yùn)算與分?jǐn)?shù)意義的聯(lián)系，避免單純的程序化計(jì)算。［7］

比如，對(duì)于分?jǐn)?shù)[78]，其意義是將“單位一”平均分成8份，表示其中的7份。這樣的意義可以通過(guò)分?jǐn)?shù)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的形式，即：

[78]=[12]+（[78] - [12]）

=[12]+[38]

=[12]+[14]+（[38] - [14]）

=[12]+[14]+[18]

像這樣將分?jǐn)?shù)拆分為單位分?jǐn)?shù)的過(guò)程，并非依據(jù)分?jǐn)?shù)所謂的算法和算理，而是依據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，將分?jǐn)?shù)自身所依賴的“單位一”與分子為1的單位分?jǐn)?shù)聯(lián)系在一起，利用示意圖建立了不同分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，這樣的聯(lián)系使得分?jǐn)?shù)自身的意義與其運(yùn)算意義形成了一致性（如圖5）。

如果把分子為1的分?jǐn)?shù)叫作單位分?jǐn)?shù)，同時(shí)把分?jǐn)?shù)單位視為分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴的“單位一”，就可以消除“分?jǐn)?shù)單位”的歧義性。單位分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)單位二者的關(guān)系可以概括為：?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位“分（Splitting）”得的產(chǎn)物，是單位的單位。按照杜威（John Dewey，1859—1952）與人合著的《數(shù)的心理學(xué)》一書中關(guān)于單位的論述，如果把分?jǐn)?shù)單位視為分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在的“原始單位（Primary Unit）”，那么單位分?jǐn)?shù)就是原始單位衍生出來(lái)的“衍生單位（Derived Unit）”。［8］

數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視數(shù)與單位的一致性，任何實(shí)數(shù)（包括分?jǐn)?shù)）所依賴的單位都是“一”，這樣的單位具有抽象性，是思維的產(chǎn)物，不同的視角會(huì)生成不同的單位。任何實(shí)數(shù)都是與單位的“比（Ratio）”。1000這個(gè)數(shù)表示的是1000個(gè)一，如果把“100”視為“一”，那么“1000”就隨之改變?yōu)椤?0個(gè)一”，這樣的單位轉(zhuǎn)換實(shí)質(zhì)依賴的是比例關(guān)系“1000∶100=10∶1”。

同樣，作為圓周率的無(wú)理數(shù)[π]，表達(dá)的是將圓的直徑視為單位時(shí)圓的周長(zhǎng)，依賴的是比例關(guān)系：圓周長(zhǎng)∶圓直徑=[π]∶1。類似于此，如果把正方形邊長(zhǎng)視為單位，這個(gè)正方形對(duì)角線的長(zhǎng)度就是[2]，依賴的比例關(guān)系為：正方形對(duì)角線∶正方形邊長(zhǎng)=[2]∶1。從這些比例關(guān)系中，便能夠看出“原始單位”與“衍生單位”的因果關(guān)系。

把分子為1的分?jǐn)?shù)從“分?jǐn)?shù)單位”的所指中分離出來(lái)，命名為“單位分?jǐn)?shù)”，就可以實(shí)現(xiàn)任何分?jǐn)?shù)有且僅有一個(gè)分?jǐn)?shù)單位。這樣的分?jǐn)?shù)單位可以沿襲“單位一”的稱謂，這與美國(guó)教師聯(lián)合會(huì)2000年發(fā)布的《學(xué)校數(shù)學(xué)原理與標(biāo)準(zhǔn)》中所說(shuō)的“單位整體（Unit Whole）”意義一致［9］，其實(shí)質(zhì)就是分?jǐn)?shù)出現(xiàn)與存在所依賴的單位，避免了“分?jǐn)?shù)單位”的歧義性。

五、結(jié)束語(yǔ)

最后還需指出，《課程標(biāo)準(zhǔn)》附錄1的例9中提到，把兩個(gè)同樣大小的圓分別平均分成2份和3份，表示[12]=[36]與[13]=[26]的大小關(guān)系，其中“兩個(gè)”的說(shuō)法似乎也有不妥之處。

如圖6所示，如果利用“兩個(gè)同樣大小的圓”直觀感知算式[12]+[13]的意義，很容易將兩個(gè)圓的面積視為分?jǐn)?shù)單位，將[36]與[26]的和視為“將兩個(gè)圓平均分成12份中的5份”，進(jìn)而得到如下的算法（如圖7）。

將兩個(gè)圓一共平均分成12份，其中的5份是[512]，這樣的算法從圖中看是合情合理的。問(wèn)題在于，雖然兩個(gè)圓的大小相同，但分?jǐn)?shù)加、減運(yùn)算的前提是“同一個(gè)分?jǐn)?shù)單位”，即便是兩個(gè)相同的單位，也會(huì)使得分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則失效。因此，將“兩個(gè)同樣大小的圓”表述為“同一個(gè)圓”更為準(zhǔn)確。

總之，課程標(biāo)準(zhǔn)代表的是國(guó)家意志，是教科書編修的依據(jù)，是教師教學(xué)實(shí)踐的指南。課程標(biāo)準(zhǔn)中的字字句句對(duì)學(xué)校教育與教學(xué)的影響不言而喻。一線教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的踐行，需要以理解為前提，任何形式的誤解都會(huì)對(duì)實(shí)際教學(xué)產(chǎn)生負(fù)面的影響。因此，“謹(jǐn)防誤解”應(yīng)當(dāng)成為時(shí)下教師培訓(xùn)與教學(xué)研究的重要話題。

參考文獻(xiàn)：

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（1.首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院

2.首都師范大學(xué)教育學(xué)院

3. 廣東省珠海市首都師范大學(xué)橫琴伯牙小學(xué)）