宋璐佳

絕對值不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.有關(guān)絕對值不等式問題的常見命題形式有：（1）解絕對值不等式；（2）證明絕對值不等式；（3）由絕對值不等式求參數(shù)的取值范圍.那么如何求解這三類絕對值不等式問題呢？下面結(jié)合實例進(jìn)行探討.

一、解絕對值不等式

解絕對值不等式一般有兩種思路：一是用零點分段法求解，其步驟是：①求每個絕對值內(nèi)部式子的零點；②用零點將定義域劃分為幾個子區(qū)間；③分別在每個子區(qū)間上討論絕對值內(nèi)部式子的正負(fù)，并去掉絕對值符號；④分幾種情況解不等式；⑤取并集，即可求得不等式的解集.二是用圖象法求解，即畫出相應(yīng)的直線、曲線，將代數(shù)問題幾何化，通過數(shù)形結(jié)合，求得滿足不等式的變量的取值范圍.

在解絕對值不等式時，要靈活運(yùn)用分類討論思想，將問題轉(zhuǎn)化不同子區(qū)間上的常規(guī)不等式問題來求解.在分段解不等式時，注意不要忽視了區(qū)間端點的取值.

二、證明絕對值不等式

證明絕對值不等式一般有三種思路：一是將定義域分為幾個子區(qū)間，分幾種情況討論絕對值內(nèi)部式子的符號，以去掉絕對值符號，將問題轉(zhuǎn)化為普通不等式后加以證明；二是利用三角不等式 ||a| - |b|| ≤ |a ± b| ≤ |a| + |b| 來證明不等式；三是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)來證明不等式.

當(dāng)絕對值內(nèi)部式子的符號已經(jīng)確定時，可直接脫去絕對值，否則需利用三角不等式加以證明.

三、由絕對值不等式求參數(shù)的取值范圍

由絕對值不等式求參數(shù)的取值范圍問題比較常見，通常參數(shù)出現(xiàn)在絕對值內(nèi)部的式子中.這類問題往往具有一定難度，在解題時，不僅要多次用到分類討論思想，還需用到導(dǎo)數(shù)法、參變量分離法、放縮法、簡單基本函數(shù)的單調(diào)性、三角不等式、基本不等式等.

解答本題，需利用三角不等式將函數(shù)式進(jìn)行放縮，將問題轉(zhuǎn)化為求 | | | | | | 1 a + a 的最小值，之后利用基本不等式即可解題.

解答本題，需分 | x - a| - x - 3 x + 2 ≥ 0 和 | x - a| - x - 3 x + 2 < 0 兩種情況進(jìn)行討論，去掉絕對值后，求得各個代數(shù)式的最值，即可求得實數(shù) a 的取值范圍.

可見，解答絕對值不等式問題，關(guān)鍵是去掉絕對值符號，將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的不等式問題、函數(shù)問題來求解.在解題時，要靈活運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想來輔助解題.