朱萍

摘 要：文章以一道八年級(jí)含參一次函數(shù)題為例，以“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化模式為抓手，剖析解決含參一次函數(shù)問(wèn)題的三種方法——代入消參法、化“靜”為“動(dòng)”法、函數(shù)性質(zhì)法，希望能改變學(xué)生因參數(shù)多變、抽象而無(wú)從下手的困境，找到含參函數(shù)教學(xué)的一條路徑.

關(guān)鍵詞：“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化；含參一次函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；幾何直觀

1 問(wèn)題背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)（2022版）》）提出課堂教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)與實(shí)施要注重“做中學(xué)”，在含參函數(shù)教學(xué)中要揭示函數(shù)的本質(zhì)與特征，引導(dǎo)學(xué)生采用動(dòng)態(tài)、聯(lián)系的觀點(diǎn)看問(wèn)題，經(jīng)歷解法“生成”及“理解”的過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等函數(shù)思想方法，形成認(rèn)識(shí)世界的函數(shù)思維，發(fā)展與完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)［1］.含參函數(shù)問(wèn)題因其參數(shù)多變、抽象而令學(xué)生在分析時(shí)“望而生畏”，因其分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)多樣、復(fù)雜而令學(xué)生在解答時(shí)“丟三落四”，因其知識(shí)綜合、關(guān)聯(lián)而令學(xué)生在總結(jié)時(shí)“紛亂如麻”.鑒于此，本文基于“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化的教學(xué)模式開(kāi)展函數(shù)教學(xué)，可以有效解決上述問(wèn)題.

“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化指的是將學(xué)生做題、師生批閱、學(xué)生展示、師生點(diǎn)評(píng)提升以及補(bǔ)償鞏固進(jìn)行整合統(tǒng)一的過(guò)程［2］.做：教師給學(xué)生展示本節(jié)課的任務(wù)后，學(xué)生認(rèn)真分析題目的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，在充分思考、理清思路的基礎(chǔ)上獨(dú)立作答；批：教師當(dāng)堂批閱做完的優(yōu)秀生作業(yè)，再讓他們作為小組長(zhǎng)批改并記錄精妙的解法或錯(cuò)誤率較高的題目、收集易錯(cuò)點(diǎn)或錯(cuò)解原因；展：教師根據(jù)學(xué)生在“做”環(huán)節(jié)中的表現(xiàn)，有意識(shí)地挑選3～4名學(xué)生分別在講臺(tái)前展示自己的成果，這些學(xué)生在展示的同時(shí)要講解自己思考的路徑和解題關(guān)鍵步驟；評(píng)：教師根據(jù)學(xué)生的展示效果進(jìn)行點(diǎn)評(píng)，主要是講如何發(fā)現(xiàn)線(xiàn)索、串聯(lián)思路、聯(lián)想方法、應(yīng)用知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.學(xué)生根據(jù)展示的錯(cuò)解來(lái)探尋錯(cuò)誤緣由并說(shuō)出解法中合理的成分，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷校正錯(cuò)解的過(guò)程并找到解決問(wèn)題的辦法；補(bǔ)：教師根據(jù)學(xué)生課堂上知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，有意識(shí)地補(bǔ)償錯(cuò)誤率較高的變式練習(xí)，幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)概念之間的本質(zhì)與聯(lián)系，達(dá)到熟練、靈活掌握知識(shí)的目的.

在“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化過(guò)程中，學(xué)生不斷地經(jīng)歷嘗試和修正的過(guò)程，教師充分地利用好可貴的生成資源，帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略最優(yōu)解的魅力，引導(dǎo)學(xué)生探索共性和難點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而理清思路并掌握方法.本文以一道八年級(jí)含參一次函數(shù)題為例，闡述如何借助“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化教學(xué)模式，推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考，合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，使學(xué)生最終實(shí)現(xiàn)自身發(fā)展.

2 “做批展評(píng)補(bǔ)”一體化下含參一次函數(shù)的教學(xué)過(guò)程

2.1 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)y1＝kx＋3（k為常數(shù)，k≠0）與函數(shù)y2＝x-1.

（1） 當(dāng)k＝-1時(shí)，若y1＞y2，求x的取值范圍；

（2） 當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2.結(jié)合圖象，寫(xiě)出k的取值范圍并寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程.

2.2 知識(shí)探源

根據(jù)題干中給出的一次函數(shù)表達(dá)式，易知y2＝x-1是過(guò)（0，-1），（1，0）的一條定直線(xiàn)，y1＝kx＋3是恒過(guò)點(diǎn)（0，3）的一條不定直線(xiàn)，結(jié)合條件能想到什么呢？試題解答需將含參一次函數(shù)與方程和不等式聯(lián)立來(lái)進(jìn)行解答，涉及到一次函數(shù)的作圖、“k”的性質(zhì)、待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式、解方程和不等式等知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化、類(lèi)比和數(shù)形結(jié)合的思想、從特殊到一般的探究路徑、動(dòng)態(tài)思維和參變分離意識(shí)的滲透.

第（1）問(wèn)中的k值確定，將y1＝kx＋3、y2＝x-1代入y1＞y2求解x的取值范圍或者利用一次函數(shù)的圖象讀出滿(mǎn)足y1的函數(shù)圖象在y2函數(shù)圖象上方的對(duì)應(yīng)x的取值范圍，從而可得x＜2，下面重點(diǎn)對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行剖析.

2.3 教學(xué)探析

給予學(xué)生充分的時(shí)間去完成問(wèn)題（2），教師在巡視的過(guò)程中做到適時(shí)批改，收集精彩紛呈的解法和作業(yè)中的典型錯(cuò)誤或普遍性錯(cuò)誤.在上述“做”和“批”的前提下，利用“展評(píng)補(bǔ)”的教學(xué)流程完成教學(xué)目標(biāo).

2.3.1 典型性或普遍性錯(cuò)誤

典型性或普遍性錯(cuò)誤是數(shù)學(xué)課堂的寶貴資源，是深化概念的必經(jīng)之路.不少學(xué)生對(duì)問(wèn)題（2）無(wú)從下手，經(jīng)提醒可以從第（1）問(wèn)中吸取經(jīng)驗(yàn)后，部分學(xué)生選擇代數(shù)方法直接代入求解不等式，但由于解含參不等式的基本功不過(guò)關(guān)導(dǎo)致出錯(cuò)；部分學(xué)生選擇圖象法分析一次函數(shù)y1＝kx＋3的運(yùn)動(dòng)情況，由于考慮情況不全面導(dǎo)致漏解.在這兩種想法的基礎(chǔ)上進(jìn)行解法展示和講評(píng).

3 教學(xué)啟示

3.1 數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法

本題的關(guān)鍵特征是解題時(shí)既有以形助數(shù)，從直觀上重新思考問(wèn)題，降低復(fù)雜問(wèn)題的難度，又有以數(shù)助形，揭示問(wèn)題的本質(zhì)，促進(jìn)多種方法的產(chǎn)生［4］.比如，解法1中的學(xué)生在解題時(shí)進(jìn)行參變分離后，需要確定代數(shù)式-4x的最大值，此時(shí)學(xué)生借助反比例函數(shù)“形”的角度切入后，再利用性質(zhì)確定取值范圍從而解決問(wèn)題.解法2中的化“靜”為“動(dòng)”法則是先從“形”的角度解題，再啟迪學(xué)生從“數(shù)”的角度展示問(wèn)題的本質(zhì)，只要兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)比臨界值大即可，此時(shí)根據(jù)函數(shù)與不等式的知識(shí)求解.解法3采用數(shù)形結(jié)合的方法解題，不論是探尋含參不等式的恒成立問(wèn)題，還是利用一次函數(shù)的圖象的增減性來(lái)確定解集，實(shí)質(zhì)都是引發(fā)學(xué)生更深層次的思考，找準(zhǔn)解決問(wèn)題的方法和途徑.數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用在解題中不是靈光一現(xiàn)，需要日積月累的課堂教學(xué)活動(dòng)中的滲透、練習(xí)設(shè)計(jì)中的鞏固、總結(jié)過(guò)程中的回顧，需要全方位幫助學(xué)生樹(shù)立此思想，開(kāi)拓學(xué)生思維.

3.2 教學(xué)技術(shù)，體現(xiàn)幾何直觀

《課標(biāo)（2022版）》指出：“幾何直觀主要是運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，是初中階段核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一［1］”.本試題利用了一次函數(shù)圖象或反比例函數(shù)圖象將含參一次函數(shù)與不等式進(jìn)行關(guān)聯(lián)，觀察圖象的特征從而找到解題的關(guān)鍵點(diǎn).信息技術(shù)的迅猛發(fā)展為教育提供了有力的技術(shù)支持，幾何畫(huà)板演示一次函數(shù)y1＝kx＋3的圖象，使學(xué)生能夠基于定點(diǎn)（0，3）角度切入，產(chǎn)生將直線(xiàn)繞此點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的想法，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論直線(xiàn)y1與y2＝x-1交點(diǎn)橫坐標(biāo)與臨界點(diǎn)2的大小，基于幾何直觀，容易得出k的取值范圍，教學(xué)技術(shù)也展示了學(xué)生們的精彩紛呈的各種解法，使不同層次的學(xué)生從多途徑去探究并有所收獲，有所發(fā)展，所以教師在教學(xué)中不能僅僅要求學(xué)生會(huì)解此種類(lèi)型的試題，更應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識(shí)與習(xí)慣，強(qiáng)化借助信息技術(shù)解決問(wèn)題的必要性［5］.

3.3 展示點(diǎn)評(píng)，體現(xiàn)以生為本

“做批展評(píng)補(bǔ)”一體化理念提倡在學(xué)生展示過(guò)程中組織過(guò)程性教學(xué)評(píng)價(jià)活動(dòng)，集合大家的智慧優(yōu)化解法后再提供給大家共同學(xué)習(xí)，通過(guò)上述活動(dòng)促進(jìn)學(xué)生有效掌握教學(xué)目標(biāo).對(duì)此，教師在“展示點(diǎn)評(píng)”環(huán)節(jié)前，對(duì)練習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)和優(yōu)解要做到心中有數(shù)，在“展示”時(shí)，啟發(fā)學(xué)生從“想法從何而來(lái)”“條件是否充分”“條件如何轉(zhuǎn)化”“條件怎樣聯(lián)系”幾個(gè)角度展示自己的解題方法.在“展示”后，組織學(xué)生關(guān)注解法的正誤、優(yōu)化和難點(diǎn)的突破等，及時(shí)提出自己的認(rèn)知疑問(wèn)，在點(diǎn)評(píng)階段適時(shí)根據(jù)課堂情況，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展合作交流，共同進(jìn)步.在整個(gè)“展示點(diǎn)評(píng)”環(huán)節(jié)中，學(xué)生要有發(fā)言和質(zhì)疑的機(jī)會(huì)，要有敘述自己思路的時(shí)間，有充分自主的學(xué)習(xí)氛圍，更有允許不同于課本的思路的存在，倡導(dǎo)“一題多解”和“解法最優(yōu)化”，保護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位［6］.

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 王強(qiáng).從一道中考試題看初高中數(shù)學(xué)銜接——感悟于2019南京中考第23題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（12）：4446.

［4］ 潘永中.歸納解題策略 培養(yǎng)核心素養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（26）：5255.

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［6］ 羅增儒，羅新兵.波利亞的怎樣解題表（續(xù)）［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：教師版，2004（5）：2932.