董玉武

［摘? 要］ 教學(xué)是以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)進(jìn)行知識探究的過程. 教師要基于學(xué)情，依據(jù)課標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理的教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，使其體會知識的發(fā)生過程，在探究中感受數(shù)學(xué)的魅力. 數(shù)學(xué)單元起始課是知識模塊的開端，對于激發(fā)學(xué)生的興趣和對新的模塊知識的探究欲望具有重要作用.在教學(xué)中，教師要注意聯(lián)系實際，以學(xué)生已有知識和經(jīng)驗為出發(fā)點，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，提高教學(xué)實效性.

［關(guān)鍵詞］ 學(xué)情；起始課；知識；經(jīng)驗

課堂教學(xué)中常常會出現(xiàn)一些預(yù)設(shè)以外的情況，如一位教師講授平面向量的單元起始課時，向?qū)W生提問應(yīng)該如何用符號表示向量，學(xué)生的答案是平面直角坐標(biāo)系；又如一位教師讓學(xué)生在黑板上書寫向量“ ”的相反向量，學(xué)生的答案是“? ”，基于學(xué)生的理解這個答案是合理的. 這樣的教學(xué)過程引起了筆者思考：為什么在教學(xué)過程中會出現(xiàn)這種現(xiàn)象？學(xué)生為什么會有這種答案呢？是學(xué)生認(rèn)知的問題還是教學(xué)設(shè)計的問題？向量這一知識究竟是怎樣發(fā)展而來的？作為平面向量的單元起始課教師應(yīng)該如何引入？這些問題都是教學(xué)設(shè)計的線索，筆者收集了相關(guān)資料后，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計教學(xué)方案，現(xiàn)與各位同行交流.

認(rèn)識教學(xué)中的“三個理解”

教師要基于“三個理解”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，即在理解數(shù)學(xué)、學(xué)生和教學(xué)的基礎(chǔ)上，深入研究教學(xué)內(nèi)容，合理建構(gòu)教學(xué)過程，推進(jìn)教學(xué)目標(biāo)的落實.

首先，教師要理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵：究竟什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)活動始終圍繞著數(shù)學(xué)思維而展開，數(shù)學(xué)研究的范圍可以擴(kuò)大或縮小，但是研究的內(nèi)容從不同角度能形成對數(shù)學(xué)不同的認(rèn)識. 從微觀角度來看，數(shù)學(xué)是指知識中蘊(yùn)含的思想方法，其圍繞的核心始終是問題. 教師需要通過創(chuàng)設(shè)情境并以問題為載體，帶領(lǐng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)知識，感受知識的生成過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知體系［1］. 對于平面向量單元起始課的內(nèi)容，教師需要明晰平面向量的生成過程、發(fā)展作用和探究意義，在創(chuàng)設(shè)的情境中通過環(huán)環(huán)相扣的問題帶領(lǐng)學(xué)生撥云見日，逐層探究，了解平面向量的學(xué)習(xí)價值和目標(biāo).在學(xué)生理解向量性質(zhì)的基礎(chǔ)上，建構(gòu)本章的知識體系，掌握研究平面向量的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

其次，基于學(xué)情理解學(xué)生，從教師的專業(yè)角度厘清學(xué)科內(nèi)和學(xué)科間的主要內(nèi)容，了解學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，明晰學(xué)生發(fā)展的要求和知識的生長點，從學(xué)生的成長需要和認(rèn)知特點出發(fā)，在教學(xué)中做到有的放矢、目標(biāo)明確. 平面向量的知識內(nèi)容有兩個方面可以延伸：一是跨學(xué)科的有關(guān)矢量的知識，二是學(xué)科內(nèi)有關(guān)實數(shù)的運(yùn)算內(nèi)容. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能出現(xiàn)三個方面的困難：一是關(guān)于矢量的知識已經(jīng)出現(xiàn)在物理學(xué)科中，為什么數(shù)學(xué)學(xué)科還要研究向量？二是兩者的區(qū)別是什么？三是如何理解向量的“二重性”？通過對以上問題的思考，筆者立足在史料中尋找相關(guān)素材，通過向量定義的生成，結(jié)合教材及章節(jié)引言創(chuàng)設(shè)情境：將抽象的向量概念輔以豐富的歷史和現(xiàn)實情境，創(chuàng)設(shè)螺旋上升的教學(xué)場景，為枯燥的數(shù)學(xué)概念增添趣味性和生動性，使教學(xué)內(nèi)容既有思想又有生命，從而最大限度地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

最后，明確教學(xué)的意義.教師的主要作用在于對學(xué)生的學(xué)習(xí)方向、學(xué)習(xí)過程、學(xué)習(xí)思路進(jìn)行引導(dǎo)，當(dāng)學(xué)生遇到學(xué)習(xí)障礙時能及時予以關(guān)注，因勢利導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難、突破障礙，繼續(xù)前行. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要充分發(fā)揮主觀能動性，主動發(fā)展、主動學(xué)習(xí)，從而學(xué)會學(xué)習(xí). 教學(xué)過程中的關(guān)鍵是處理好教師與學(xué)生之間的關(guān)系，教師要把握好引導(dǎo)程度，學(xué)生則要充分發(fā)揮積極性. 為此教學(xué)設(shè)計要高屋建瓴，注重教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)過程和教學(xué)評價的統(tǒng)一. 在平面向量單元起始課的教學(xué)設(shè)計中，教師要以引導(dǎo)學(xué)生樂于學(xué)習(xí)為目標(biāo)，整合素材創(chuàng)設(shè)情境；以問題設(shè)計為載體，注重思想性和層次性；以育人目標(biāo)的落實為己任，構(gòu)建和諧民主的課堂，促進(jìn)師生共同成長.

平面向量單元起始課的教學(xué)設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情境——信中交流引新量

1672年身為外交官的萊布尼茨出訪巴黎時受到當(dāng)時數(shù)學(xué)家惠更斯的啟發(fā)決心放棄政治轉(zhuǎn)而研究數(shù)學(xué)，他常與惠更斯在信中討論數(shù)學(xué)問題. 他提到對于代數(shù)和幾何不滿意的在于代數(shù)還沒有建立簡潔的方法，幾何還沒有最優(yōu)美的結(jié)構(gòu)［2］. 萊布尼茨提出這一說法的理由是幾何是否可以像代數(shù)一樣進(jìn)行數(shù)量的表達(dá)，而不只是線性的表達(dá). 可以像用代數(shù)表達(dá)數(shù)和量一樣，幾何也可以用來表示圖形或運(yùn)動.

師：萊布尼茨提出的對于幾何設(shè)想的特點是什么？體現(xiàn)了幾何的什么功能？

總結(jié)：這種設(shè)想強(qiáng)調(diào)的是簡潔的方法和優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，幾何的功能是更加直接地表達(dá)它的位置.

師：幾何的這種應(yīng)用方式就是我們今天將要學(xué)習(xí)的平面向量. （進(jìn)入新課）

設(shè)計意圖 通過數(shù)學(xué)故事創(chuàng)設(shè)情境，以著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨的探究經(jīng)歷使學(xué)生感受數(shù)學(xué)家們刻苦鉆研的精神以及開拓創(chuàng)新的品質(zhì)，點燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 這樣的設(shè)計可以豐富課堂的內(nèi)涵，使學(xué)生不僅了解數(shù)學(xué)文化，也對將要學(xué)習(xí)的新知產(chǎn)生濃厚的興趣. 以問題揭示平面向量的本質(zhì)和功能就是用簡潔的方法表達(dá)圖形運(yùn)動和處理幾何問題.

2. 情境再現(xiàn)——逐步探索現(xiàn)概念

情境1-1：一艘小船從A地向東南方向航行15海里到達(dá)B地，小船航行的速度為每小時10海里. 請問如果改變條件，僅僅指出小船從A地航行15海里到達(dá)B地，不說明小船航行的方向，小船還能到達(dá)B地嗎？若將“從A地”這一條件去掉，改為“小船向東南方向航行15海里”，那么小船還能到達(dá)B地嗎？

總結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生理解小船在行駛中若缺少航行方向，只有航行起點和行駛距離，是不能到達(dá)指定地點的；同樣，若小船缺少航行起點，只有行駛距離和航行方向，也不能到達(dá)指定地點.

情境1-2：在投擲標(biāo)槍時，某運(yùn)動員其中一次出手角度為θ等于43.242°，出手的速率v為每秒28.35米，思考一下該運(yùn)動員每次投擲標(biāo)槍的出手速度和哪些因素有關(guān).

總結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生理解標(biāo)槍投擲時的出手速率大小與出手時的角度有關(guān)系.

情境1-3：一輛汽車沿斜坡上行，斜坡的傾斜角為θ，汽車的牽引力為F，從物理的角度來看，力的作用效果的要素有哪些？

總結(jié)：回顧物理學(xué)科中有關(guān)力的知識，知道力的作用點、力的大小和方向與力的作用效果有關(guān).

師：根據(jù)以上三個場景思考，這些場景中的位移、速度和力等量具有哪些共同點？

總結(jié)：這幾個量都是矢量，他們都是具有大小、方向和位置的量，亞里士多德最早提出力可以稱為向量，這是向量定義的起源.

設(shè)計意圖 通過收集教材和生活中的素材，充分利用史料內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學(xué)文化史，創(chuàng)設(shè)情境，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)進(jìn)行開發(fā)，使學(xué)生不僅能了解向量產(chǎn)生的跨學(xué)科背景，還能提升學(xué)生的抽象數(shù)學(xué)素養(yǎng)［3］.

情境2：學(xué)習(xí)幾何中的線段時，我們往往只關(guān)注線段的長度，而忽視了線段端點的秩序性，如線段AB和線段BA表示的是同一線段，但如果用線段表示運(yùn)動的軌跡，那么表示從A點向B點運(yùn)動和從B點向A點運(yùn)動的軌跡時，線段AB和線段BA的意義一樣嗎？

總結(jié)：理解線段在表示方向時端點順序代表的方向是不一樣的，這里的線段與三角函數(shù)中的有向線段一致.

師：請問哪些要素構(gòu)成了有向線段.

總結(jié)：有向線段包括大小、起點、方向和終點四個要素.

設(shè)計意圖 帶領(lǐng)學(xué)生了解有向線段的起源，從而知道有向線段的幾何意義，為接下來學(xué)習(xí)向量的表示做好鋪墊.

師：以上情境中的矢量和有向線段具有哪些共同點？

總結(jié)：矢量和有向線段既有大小又有方向，那么在數(shù)學(xué)中我們將既有大小又有方向的量稱為向量.

設(shè)計意圖 在豐富的生活情境中，學(xué)生理解向量的定義水到渠成，并能夠初步區(qū)分矢量、向量以及有向線段之間的區(qū)別與聯(lián)系.

3. 問題推導(dǎo)——研究符號表示法

師：現(xiàn)在新的量已經(jīng)出現(xiàn)了，面對這個新的知識，我們應(yīng)該先研究什么呢？

生1：需要先研究如何表示向量.

師：很好. 我們是如何表示力的？能不能用這種方式來表示向量呢？

總結(jié)：在研究中滲透知識的遷移思想，通過有向線段表示力大家已經(jīng)知道，那么向量能否采用同樣的方法來表示呢？英國科學(xué)家牛頓最早提出了用有向線段表示向量的方法，這就告訴大家研究向量首先需要搞清楚有關(guān)有向線段的知識.

情境3：如果從A點向B點延伸的有向線段記為“↑（AB）”，那么請同學(xué)們思考以下問題.

問題1：有向線段“↑（AB）”的平移需要具備哪些條件？有哪幾種平移的方法？

總結(jié)：平移有不同的距離和方向，因此有無數(shù)種可能.

問題2：在平移有向線段“↑（AB）”的過程中，線段上每一點平移后的距離都相等嗎？

總結(jié)：理解線段是由點構(gòu)成的，線段平移也是由點的平移引起的，所以每一點平移后的距離都是相等的，而平移只和移動的方向和距離有關(guān).

問題3：請大家閱讀教材思考，在課本上你能否找出有向線段其他的符號表示形式？

總結(jié)：數(shù)學(xué)家哈密頓和吉布斯等人提出用小寫的希臘字母來表示向量，后來在小寫字母的上方加上箭頭表示方向，印刷流行以后，又采用黑體小寫字母來表示向量.

設(shè)計意圖 情境3通過一系列問題引出向量的符號表示形式，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新向量的符號表示，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識；再借助教材進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)文化史，感受數(shù)學(xué)家們在發(fā)現(xiàn)知識過程中的艱辛，體會用符號表示向量的重要性.

4. 深度辨析——區(qū)分矢量和向量

師：我們在物理學(xué)科中學(xué)習(xí)過矢量的定義，你覺得矢量和向量有什么不同點呢？

總結(jié)：物理中的矢量都是有單位的，不僅有大小、方向，還有位置. 矢量都有實際意義，但是向量只有大小和方向.

設(shè)計意圖 在比較辨析中理解向量的本質(zhì)，逐漸掌握向量的“二重性”.

5. 構(gòu)建體系——類比中系統(tǒng)歸納

師：0和1是實數(shù)中特殊的元素，那么向量中有嗎？

總結(jié)：了解向量中的特殊向量——長度為0的零向量和長度為1的單位向量.

師：向量能夠平移嗎？平移后向量改變了嗎？

總結(jié)：向量是自由的，平移后不會發(fā)生改變，所以今天將向量定義為既有大小又有方向的量.

設(shè)計意圖 這一環(huán)節(jié)進(jìn)一步研究向量的定義，從向量的發(fā)生發(fā)展的角度，揭示向量的特性——任意平移不會改變，為接下來研究向量的運(yùn)算埋下伏筆.

情境4：大型生產(chǎn)車間或工地都有一種起重作業(yè)的重要設(shè)備（天車），天車可以將物體上下和左右位移. 請問這里的上下位移、左右位移以及實際位移之間是什么關(guān)系？

設(shè)計意圖 借助實際生活中的事例進(jìn)行分析，引出向量的運(yùn)算，為學(xué)習(xí)平面向量的基本定理打下基礎(chǔ).

師：我們知道物理中的力可以合成也可以分解，請問向量也能合成和分解嗎？

總結(jié)：向量的合成相當(dāng)于加減，向量的分解就是向量的線性運(yùn)算，后面還要學(xué)習(xí)平面向量的基本定理.

設(shè)計意圖 通過力的合成和分解的類比，引出將要學(xué)習(xí)的向量的線性運(yùn)算.

師：向量既然有加減運(yùn)算，那么有沒有乘除運(yùn)算呢？

學(xué)生有些猶豫不定.

設(shè)計意圖 為后續(xù)的拓展研究做好鋪墊.

情境5：暴風(fēng)驟雨、雷電交加的夜晚，我們都是先看到閃電，后聽到雷聲，這是為什么呢？

設(shè)計意圖 選用學(xué)生熟悉的生活場景，引出向量的乘除計算.

學(xué)生討論交流，教師總結(jié)升華. 通過學(xué)生概括、教師總結(jié)的方式，使學(xué)生在數(shù)學(xué)文化的熏陶中再一次升華對知識的感受，體會數(shù)學(xué)的魅力.

本課程通過情境的創(chuàng)設(shè)、問題串的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生一步步探究平面向量的概念、運(yùn)算和應(yīng)用，使學(xué)生在潛移默化中掌握向量知識，并且從數(shù)學(xué)史的角度了解向量產(chǎn)生的背景，更加深刻地理解研究向量知識的意義，為核心素養(yǎng)的落實奠定基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 曹廣福，張蜀青. 問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)：理論與實踐卷［M］. 北京：清華大學(xué)出版社，2018.

［2］ 孫慶華. 向量理論歷史研究［D］. 西北大學(xué)，2006.

［3］ 陳志江. 基于“三個理解”的平面向量單元教學(xué)構(gòu)想［J］. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（02）：30-33.