曾志超

解答三角函數(shù)問題的第一步，往往是對三角函數(shù)式進行恒等變換，因此，熟練掌握一些進行三角恒等變換的技巧是很有必要的.進行三角恒等變換，需靈活運用一些基本的三角函數(shù)公式，如誘導公式、半角公式、倍角公式、輔助角公式等，對角、函數(shù)名稱、常數(shù)進行變換.下面結(jié)合實例，探討一下進行三角恒等變換的一些技巧.

一、變換角

有些三角函數(shù)問題中的角各不相同，為了方便計算，我們需將其中的角統(tǒng)一.首先需建立已知角和所求角之間的聯(lián)系；然后通過拆角、補角、湊角、加90°角、減270°角、構(gòu)造半角、構(gòu)造倍角等方式，使角統(tǒng)一為一個角或兩個角；再根據(jù)誘導公式、半角公式、倍角公式、輔助角公式進行恒等變換.

例1.已知?cos x + = ， 其中?< x < ， 求?sin 1（2）x-tan x（+2 si）n2 x 的值.

解：

題目中的已知角是 x + π 4 ，所求的角是 x 和 2x ，而 x = ? è ? ? x + π 4 - π 4 ，根據(jù)二倍角公式就可以得到 2x ，再利 用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的誘導公式即可得解.在變換 角時，要注意關(guān)注各個角之間的差異，并聯(lián)系誘導公 式、二倍角公式、輔助角公式、和差公式等，合理構(gòu)造 出已知角和所求角的和、差、倍、半關(guān)系.

二、變換函數(shù)名

有些三角函數(shù)問題中同時含有兩種或兩種以 上的函數(shù)名稱，此時我們需靈活運用誘導公式， 如 cos? è ? ? x + π 2 = -sin x、cos? è ? ? π 2 - x = sin x、sin? è ? ? x + π 2 = -cos x、sin? è ? ? π 2 - x = cos x 等，同角的三角函數(shù)關(guān)系式： sin2 x + cos 2 x = 1 、tan x = sin x cos x ，以及輔助角公式，將三 角函數(shù)的名稱統(tǒng)一為一種三角函數(shù)名稱.

例2

解：

需先，將切化弦；然后利用正余弦的二倍角公式將函數(shù)名稱統(tǒng)一為余弦函數(shù)；最后根據(jù)余弦函數(shù)的有界性求得最值.

三、變換常數(shù)

在進行三角恒等變換的過程中，有時需要將問題中的一些特殊常數(shù)，如1、、 ?等，根據(jù) sin2 x + cos2 x =1、tan45°= sin 90°=1、sin 60°= cos 30°= 等變換成三角函數(shù)形式，以便運用誘導公式、二倍角公式、輔助角公式、和差公式等化簡三角函數(shù)式.

例3.

證明：

該三角函數(shù)式的分子、分母中都含有高階三角函數(shù)，于是考慮將分子、分母中的1用（sin2 x + cos2 x）3和（sin2 x + cos2 x）2替換，然后運用立方和、平方和公式進行恒等變換，即可解題.

由此可見，進行三角函數(shù)恒等變換，需重點關(guān)注問題中的角、函數(shù)名稱、常數(shù)，選用合適的公式，巧妙地化簡函數(shù)式，以將問題簡化.

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)第三中學）