基于Kekulé晶格非厄米系統(tǒng)拓?fù)溥吘墤B(tài)的研究

徐炯　臧小飛

摘要：基于Kekulé晶格，驗(yàn)證了物質(zhì)拓?fù)湎嗯c晶格原子間耦合作用之間的關(guān)系，研究了非厄米效應(yīng)對拓?fù)浣^緣體的影響。設(shè)計(jì)了兩種格點(diǎn)增益損耗分布方式，分別說明了不同增益損耗對體態(tài)能譜、邊緣態(tài)能譜的影響。隨著增益損耗值的增大，體態(tài)能譜和邊緣態(tài)能譜將經(jīng)歷能帶間隙減小，能帶在臨界值處關(guān)閉形成狄拉克點(diǎn)，隨后狄拉克點(diǎn)劈裂形成一對奇異點(diǎn)的過程。區(qū)別于傳統(tǒng)對Kekulé晶格的研究，在保持系統(tǒng)胞內(nèi)耦合作用相同的基礎(chǔ)上，將胞間耦合作用分化為水平方向和垂直方向的兩個(gè)量，分別進(jìn)行調(diào)控，驗(yàn)證了拓?fù)溥吘墤B(tài)能譜中能帶間隙的有無不僅與幾何邊界相關(guān)，也受系統(tǒng)胞間耦合相互作用的調(diào)控。

關(guān)鍵詞：Kekulé晶格；非厄米系統(tǒng)；拓?fù)溥吘墤B(tài)；狄拉克點(diǎn)

中圖分類號：O 433 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Research on topological edge state in a non-Hermitian system based on the Kekulé lattice

XU Jiong1，2，ZANG Xiaofei1，2

（1. Shanghai Key Laboratory of Modern Optical System， University of Shanghai forScience and Technology， Shanghai 200093， China;

2. School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University ofShanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： The relationship between the topological phase of matter and interactions of the system was confirmed for the Kekulé lattice. The impact of non-Hermitian effect on topological insulator was investigated. Two types of gain and loss configurations were designed to illustrate their effects on bulk energy spectra and edge energy spectra. It is found that the bandgap decreases with the increase of the gain and loss， and is eventually closed and forms a non-Hermiticity-induced Dirac point. Finally， the Dirac point splits into a pair of singular points. Distinguishing from traditional Kekulé lattice， intercellular coupling is differentiated into horizontal and vertical dimensions for independent control based on the same intracellular coupling. This approach verifies that thegapless edge mode is not only related to geometric boundary， but also regulated by the intercellular coupling of the system.

Keywords： Kekulé lattice；non-Hermitian system；topological edge state；Dirac point

引言

20世紀(jì)，隨著整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[1-2]被發(fā)現(xiàn)，拓?fù)渥鳛榻鷶?shù)學(xué)分支，被引入凝聚態(tài)物理領(lǐng)域，并逐漸發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科——拓?fù)潆娮訉W(xué)。隨后，人們將拓?fù)潆娮訉W(xué)類比到光學(xué)領(lǐng)域，將其發(fā)展成為拓?fù)涔庾訉W(xué)，為揭示物質(zhì)拓?fù)湎嚅_辟了新的方向[3-4]。依據(jù)拓?fù)湎嗟牟煌藗儗⒔^緣物質(zhì)劃分為非平庸拓?fù)浣^緣體和平庸拓?fù)浣^緣體。一種拓?fù)湎噙B續(xù)轉(zhuǎn)變至另一種拓?fù)湎啾貙⒔?jīng)歷能帶間隙打開—關(guān)閉—再打開的過程，即拓?fù)湎嘧僛5]。根據(jù)體邊對應(yīng)，兩種拓?fù)湎嗖煌墓庾泳w堆疊在一起時(shí)，其交界面會產(chǎn)生一種沿著體系邊緣單向傳輸?shù)倪吘墤B(tài)。該邊緣態(tài)受拓?fù)浔Ｗo(hù)，無背向散射，被稱為拓?fù)溥吘墤B(tài)[6]。拓?fù)溥吘墤B(tài)出現(xiàn)在體系公共帶隙區(qū)域，以導(dǎo)模的形式存在。研究表明：在時(shí)間反演對稱性被打破的體系中，體系能帶中會出現(xiàn)一條橫跨整個(gè)帶隙的導(dǎo)模，即邊緣態(tài)[7-8]；在受時(shí)間反演對稱性保護(hù)的體系中，體系能帶中會出現(xiàn)成對的拓?fù)溥吘墤B(tài)，如螺旋邊緣態(tài)[9-10]、手性邊緣態(tài)[11]等。研究發(fā)現(xiàn)，在體系帶隙中，成對的拓?fù)溥吘墤B(tài)是否會產(chǎn)生無間隙的狄拉克點(diǎn)，通常與邊緣態(tài)所在界面的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)[12]。

相較于厄米系統(tǒng)，非厄米系統(tǒng)下的光子晶體具有復(fù)數(shù)形式的本征值及本征向量，這極大豐富了拓?fù)浣^緣體的可研究內(nèi)容。奇異點(diǎn)是一對本征值實(shí)數(shù)部分重合的兼并點(diǎn)，它的存在是非厄米系統(tǒng)的顯著特征之一[13-14]。奇異點(diǎn)的出現(xiàn)引發(fā)了諸多奇特的物理現(xiàn)象，如奇異環(huán)[15]、體費(fèi)米弧[16]、半整數(shù)拓?fù)潆姾蒣17]。此外，結(jié)合多樣的光子晶體結(jié)構(gòu)，非厄米系統(tǒng)下的拓?fù)浣^緣體引起了人們的廣泛關(guān)注。本文將結(jié)合Kekulé晶格，研究非厄米系統(tǒng)的拓?fù)溥吘墤B(tài)。相較于傳統(tǒng)的蜂窩晶格，Kekulé晶格最近鄰原子間的耦合作用可區(qū)分為胞內(nèi)耦合和胞間耦合作用[18-19]。當(dāng)胞間耦合強(qiáng)度大于胞內(nèi)耦合強(qiáng)度時(shí)，系統(tǒng)為拓?fù)浞瞧接箲B(tài)；而當(dāng)胞間耦合強(qiáng)度小于胞內(nèi)耦合強(qiáng)度時(shí)，系統(tǒng)為拓?fù)淦接箲B(tài)。根據(jù)交界面的幾何形狀，兩態(tài)交界面處產(chǎn)生的拓?fù)溥吘墤B(tài)可分為 Zigzag 邊緣態(tài)和 Armchair 邊緣態(tài)。其中 Zigzag 邊緣態(tài)受系統(tǒng)鏡面對稱保護(hù)，呈現(xiàn)出無間隙的狄拉克點(diǎn)，而 Armchair 邊緣態(tài)不具有對稱性，在其邊緣態(tài)能譜中呈現(xiàn)出有間隙的兩條邊緣態(tài)譜線。以往針對Kekulé晶格拓?fù)溥吘墤B(tài)的研究通常聚焦于厄米系統(tǒng)[20]，或單一胞間耦合相互作用下的非厄米系統(tǒng)[21]。本文基于Kekulé晶格，在保持胞內(nèi)耦合作用相同的基礎(chǔ)上，將胞間耦合作用分化為垂直方向和水平方向的量，研究了非厄米系統(tǒng)下幾何邊界對拓?fù)溥吘墤B(tài)的影響，豐富了該晶格的研究內(nèi)容。

1 模型

蜂窩晶格由6個(gè)相同的原子構(gòu)成，且原子均勻地分布在正六邊形的6個(gè)頂角。而原子間的相互作用可以通過調(diào)控其相對位置來實(shí)現(xiàn)，即兩個(gè)相互耦合的最近鄰原子間距離越大，其相互作用越?。环粗?，則其相互作用越大。在蜂窩晶格的基礎(chǔ)上，通過區(qū)分胞內(nèi)耦合和胞間耦合的相互作用，可構(gòu)建Kekulé晶格。傳統(tǒng)厄米系統(tǒng)下的Kekulé晶格的胞內(nèi)耦合和胞間耦合存在競爭關(guān)系：當(dāng)胞內(nèi)耦合和胞間耦合相等時(shí)，整個(gè)晶格具有 C6對稱性，其體態(tài)能帶圖中出現(xiàn)一個(gè)狄拉克點(diǎn)，此時(shí)體系為狄拉克半金屬的狀態(tài)；當(dāng)胞內(nèi)耦合小于胞間耦合時(shí)，狄拉克點(diǎn)被打開，體態(tài)能帶圖中出現(xiàn)能帶間隙，此時(shí)體系拓?fù)湎酁榉瞧接雇負(fù)浣^緣體；當(dāng)胞內(nèi)耦合大于胞間耦合時(shí)，體態(tài)能帶圖中出現(xiàn)能帶間隙，此時(shí)體系拓?fù)湎酁槠接雇負(fù)浣^緣體，即普通絕緣體。

首先，基于Kekulé晶格討論厄米系統(tǒng)中的拓?fù)湎?。Kekulé晶格結(jié)構(gòu)如圖1所示：藍(lán)色實(shí)心圓代表Kekulé晶格格點(diǎn)上的原子；藍(lán)色實(shí)線代表最近鄰原子間的胞內(nèi)耦合相互作用；綠色和紅色實(shí)線均代表最近鄰原子間的胞間耦合相互作用。通過改變原子間的相對距離來調(diào)控對應(yīng)的耦合作用的強(qiáng)度。相較于傳統(tǒng)蜂窩晶格的正六邊形單胞，因?yàn)榘g耦合的作用，Kekulé晶格的單胞可形成7個(gè)正六邊形亞晶格，從而具有更大的單胞形式。將Kekulé晶格中亞晶格的正六邊形的邊長設(shè)為晶格常數(shù)a，晶格矢量a1= a（3/2， - p3/2）， a2= a（0， - p3）。假定胞內(nèi)耦合相互作用為 t ，垂直方向上的胞間耦合相互作用為 t1，水平方向上的胞間耦合相互作用為 t2。基于緊束縛模型[22]，采用厄米系統(tǒng)下哈密頓量 H來描述Kekulé晶格單胞內(nèi)最近鄰原子間的相互作用

式中：< i， j >為晶體中最近鄰的兩格點(diǎn)；tij為原子 ci和cj之間的相互耦合作用； ci ?為格點(diǎn)i產(chǎn)生的算符。

當(dāng)原子 ci ， cj之間的相互作用為胞內(nèi)耦合時(shí)，tij = t ；當(dāng)原子 ci ， cj之間的相互作用為垂直方向上的胞間耦合時(shí)，tij = t1；當(dāng)原子 ci ， cj之間的相互作用為水平方向上的胞間耦合時(shí)，tij = t2。由此可得到非厄米系統(tǒng)相互耦合作用的哈密頓量核心矩陣

矩陣中 k 表示倒格子空間矢量。

設(shè)定矩陣元素的具體參數(shù)值后，求解其本征值，即可得到系統(tǒng)的體態(tài)能譜，如圖2所示。在此默認(rèn) t =1，圖2（a）中，取 t1=0.2，t2=0.9；圖2（b）中，取 t1=2.0，t2=2.0；圖2（ c）中，取 t1=2.2，t2=2.9；圖2（d）中，取 t1=2.9，t2=2.2。由圖2可知：當(dāng) t1* t2時(shí)，單胞能帶圖關(guān)于零能級水平線上下對稱，并處于半填充狀態(tài)；當(dāng) t1= t2時(shí)，能帶在布里淵區(qū)高對稱點(diǎn)Γ和 K 處兩兩兼并，形成一對能帶兼并點(diǎn)。

與非互易耦合的二聚化晶格（Su-Schrieffer- Heeger， SSH）類似，Kekulé晶格的拓?fù)湎嗯c胞內(nèi)耦合和胞間耦合作用有著密切的關(guān)系，且胞內(nèi)耦合作用和胞間耦合作用之間存在競爭關(guān)系，即：當(dāng)胞內(nèi)耦合強(qiáng)度大于胞間耦合強(qiáng)度時(shí)，系統(tǒng)呈拓?fù)淦接箲B(tài)；當(dāng)胞內(nèi)耦合強(qiáng)度小于胞間耦合強(qiáng)度時(shí)，系統(tǒng)呈拓?fù)浞瞧接箲B(tài)。為了驗(yàn)證這一猜想，采用圖2中的各耦合作用參數(shù)，構(gòu)建圖1所示納米帶結(jié)構(gòu)，進(jìn)行拓?fù)溥吘墤B(tài)的仿真，根據(jù)能譜間隙中邊緣態(tài)的有無來判斷體系是否為拓?fù)浣^緣體。根據(jù)邊緣態(tài)幾何位置的不同，可將拓?fù)溥吘墤B(tài)劃分為 Armchair 和 Zigzag兩種。分別繪制其邊緣態(tài)能譜，如圖2（a）和（b）中第2行（Armchair）和第3行（Zigzag）所示。可以看到：圖2（a）中 t1< t ， t2< t ，體系為拓?fù)淦接菇^緣體，無法產(chǎn)生拓?fù)溥吘墤B(tài)；圖2（b）中， t < t1= t2，體系受鏡像對稱和幾何結(jié)構(gòu)手性對稱性保護(hù)，并，其 Zigzag拓?fù)溥吘墤B(tài)在中心點(diǎn)處發(fā)生兼產(chǎn)生無帶隙的狄拉克點(diǎn)；圖2（c）～（d）中，t < t1，t < t2，t1* t2，由于水平方向和垂直方向的胞間耦合作用不同，體系鏡像對稱被打破，原有的狄拉克點(diǎn)不再受幾何對稱性保護(hù)，故產(chǎn)生帶隙，兩條 Zigzag 邊緣態(tài)不再兼并。由于 Armchair 拓?fù)溥吘墤B(tài)所處的幾何結(jié)構(gòu)本身不具有對稱性，故在 t1= t2， t1* t2的兩種情況下均無法形成狄拉克點(diǎn)，邊緣態(tài)能譜中均存在帶隙，耦合作用的調(diào)控?zé)o法使能帶間隙關(guān)閉以形成狄拉克點(diǎn)，具體邊緣態(tài)能譜如圖2所示。

2 非厄米效應(yīng)

通過在原子中添加增益損耗來實(shí)現(xiàn)非厄米效應(yīng)，增益損耗分布方式如圖1（b）所示。將亞晶格內(nèi)6個(gè)格點(diǎn)按照逆時(shí)針方向依次編號，在兩種不同類型中，均對黑色實(shí)心圓圈所示格點(diǎn)上的原子施加增益，取+iγ（γ>0）；對紅色空心圓圈所示格點(diǎn)上的原子施加損耗，取-iγ（γ>0）。對于非厄米系統(tǒng)，用哈密頓量的核心矩陣來重新描述系統(tǒng)原子間的相互作用

為了驗(yàn)證非厄米效應(yīng)對體態(tài)能譜的影響，根據(jù)哈密頓量的核心矩陣求解能量本征值，如圖3所示，藍(lán)色實(shí)線代表本征值的實(shí)數(shù)部分，綠色虛線代表虛數(shù)部分。圖3（a）中， t1=1：2，t2=2：7，γ的取值從上至下依次為0：1，0：2，0：3；圖3（b）中， t1=2：7，t2=1：2，γ的取值從上至下依次為0：100，0：358，0：500；圖3（c）中， t1=1：2，t2= 2：7，γ的取值從上至下依次為0：1，0：2，0：3；圖3（d）中， t1=2：7，t2=1：2，γ的取值從上至下依次為0：100，0：563，0：800。其中，圖3（a）和（b）對應(yīng)增益損耗 Type Ⅰ， 圖3（c）和（d）對應(yīng)增益損耗 Type Ⅱ。從圖中可以看出：γ的取值相

對較小時(shí)，其對能譜整體影響不大；隨著γ取值逐漸增大，其對能譜的調(diào)節(jié)作用逐漸明顯，能譜帶隙逐漸減小。當(dāng)γ在體系中選取適當(dāng)?shù)奶囟ㄖ禃r(shí)，由于結(jié)構(gòu)的幾何對稱性以及非厄米效應(yīng)的影響，Type Ⅰ對應(yīng)的圖3（a）在高對稱點(diǎn)Γ處出現(xiàn)狄拉克點(diǎn)，圖3（b）在高對稱點(diǎn)M處出現(xiàn)狄拉克點(diǎn)，且關(guān)于零能級水平線上下對稱； Type Ⅱ?qū)?yīng)的圖3（c）和（d）均在高對稱點(diǎn)Γ處出現(xiàn)狄拉克點(diǎn)，但他們所對應(yīng)的γ取值不同。當(dāng)γ取值持續(xù)增大時(shí)，圖3（a）中對應(yīng)的狄拉克點(diǎn)隨即劈裂為一對奇異點(diǎn)，圖3（b）中的一對狄拉克點(diǎn)劈裂為兩對奇異點(diǎn)，并且，此時(shí)能量本征值出現(xiàn)虛部，且虛部的能譜圖為一個(gè)環(huán)形。

通過在圖1（a）所示的Kekulé晶格中分別添加圖1（b）所示的增益損耗 Type Ⅰ和 Type Ⅱ來構(gòu)建非厄米系統(tǒng)。取 t1=2：7，t2=2：2，此時(shí) t < t1; t < t2，且t1* t2。由前文可知，該系統(tǒng)為拓?fù)浣^緣體，其 Zigzag 拓?fù)溥吘墤B(tài)之間存在帶隙，為非厄米系統(tǒng)。圖4（a）中，γ取值分別為0：100，0：305，0：500；圖4（b）中，γ取值分別為0：050，0：059，0：070。以 Zigzag 拓?fù)溥吘墤B(tài)為例，分析非厄米效應(yīng)對拓?fù)溥吘墤B(tài)的影響。如圖4所示，由于非厄米效應(yīng)，體系邊緣態(tài)能譜出現(xiàn)虛部。隨著γ取值的增大，能帶間隙逐漸減小，直至γ=0：305 （Type Ⅰ）或γ=0：059（Type Ⅱ）的臨界值時(shí)，實(shí)部能譜帶間隙消失，兩條 Zigzag 邊緣態(tài)能帶在中心處兼并為狄拉克點(diǎn)，虛部能譜也逐漸豐富。當(dāng)γ取值繼續(xù)增大，實(shí)部能譜中原有的狄拉克點(diǎn)劈裂為一對奇異點(diǎn)，虛部能譜由于奇異點(diǎn)的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出獨(dú)特環(huán)狀能譜。

為方便起見，取 t1= t2=1：6> t ，即胞間耦合作用大于胞內(nèi)耦合作用時(shí)的場分布情況，來分析非厄米系統(tǒng)對拓?fù)溥吘墤B(tài)場分布的影響，如圖5所示。在未施加增益損耗，即γ=0時(shí)，體系為厄米系統(tǒng)，選取 Armchair邊緣態(tài)頻點(diǎn)，場分布如圖5（a）所示。當(dāng)γ=1時(shí)，體系為非厄米系統(tǒng)，選取同一頻點(diǎn)，場分布如圖5（b）所示。

通過厄米系統(tǒng)、非厄米系統(tǒng)的拓?fù)溥吘墤B(tài)場分布對比可知，非厄米系統(tǒng)的引入會直接影響拓?fù)溥吘墤B(tài)的場分布，厄米系統(tǒng)下僅有 Armchair 模式，在非厄米系統(tǒng)下會引入 Zigzag 模式，場分布呈現(xiàn)兩種模式的混合態(tài)。

3 結(jié)論

基于Kekulé晶格，在保持胞內(nèi)耦合 t 不變的基礎(chǔ)上，將胞間耦合分化為垂直方向 t1和水平方向 t2兩個(gè)量，驗(yàn)證了當(dāng) t1< t ， t2< t 時(shí)，系統(tǒng)為拓?fù)淦接菇^緣體，即普通絕緣體，不存在拓?fù)溥吘墤B(tài)；當(dāng) t1> t ， t2> t 時(shí)，系統(tǒng)為拓?fù)浞瞧接菇^緣體，根據(jù)交界面的幾何形狀，其邊緣態(tài)可劃分為 Zigzag 和 Armchair 兩種模式；當(dāng) t1= t2> t 時(shí)， Zigzag 邊緣態(tài)受鏡面對稱保護(hù)，呈現(xiàn)無間隙的狄拉克點(diǎn)，而 Armchair 拓?fù)溥吘墤B(tài)由于本身所在邊界幾何不對稱，故體系胞間耦合相互作用的調(diào)控不會使能帶間隙關(guān)閉形成狄拉克點(diǎn)。在Kekulé晶格的基礎(chǔ)上，利用不同增益損耗（不iγ）的分布，引入非厄米效應(yīng)。結(jié)果顯示：隨著γ取值的持續(xù)增大，系統(tǒng)邊緣態(tài)能譜會經(jīng)歷能帶間隙減小，能帶虛部能譜逐漸豐富的過程；當(dāng)γ取值處于某個(gè)臨界值時(shí)，兩條拓?fù)溥吘墤B(tài)能帶兼并形成狄拉克點(diǎn)；隨著γ取值進(jìn)一步增大，狄拉克點(diǎn)劈裂成為一對奇異點(diǎn)。相較于傳統(tǒng)的Kekulé晶格拓?fù)浣^緣體的研究，本文增加了胞間耦合調(diào)控維度，豐富了非厄米系統(tǒng)下拓?fù)溥吘墤B(tài)的研究內(nèi)容，為非厄米系統(tǒng)下的拓?fù)浣^緣體研究提供了一些研究思路。

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（編輯：李曉莉）