莊惠芬

摘 ? ?要：基于兒童數(shù)學概念理解的現(xiàn)狀，需要分析厘定數(shù)學概念內(nèi)在的脈絡(luò)，而數(shù)學單元學習群可以通過大觀念、大問題、大任務(wù)的建立，在以概念理解為本的單元學習目標設(shè)計、以概念進階為路線的單元活動設(shè)計、以概念結(jié)構(gòu)為框架的單元學習支架、以概念遷移為結(jié)果的單元學習評價四個維度為路徑，促進兒童數(shù)學概念性理解、促進素養(yǎng)的發(fā)展。

關(guān) 鍵 詞：方程 ?概念性理解 ?數(shù)學單元學習群

此文為全國教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“指向?qū)W科核心素養(yǎng)的數(shù)學單元學習群的實踐研究” （DHA200373）的階段性成果

數(shù)學概念是對一類對象本質(zhì)屬性的表達，也是兒童數(shù)學思維發(fā)展的重要載體，兒童數(shù)學學習是否順暢，很多時候是從是否能清楚地理解數(shù)學概念開始的。在“簡易方程”是的學習過程中，我們發(fā)現(xiàn)學生普遍出現(xiàn)“不想用方程解”“不會找等量關(guān)系”“不知設(shè)誰是未知數(shù)”等問題。數(shù)學概念形成的思維過程在于對數(shù)學對象充分感知的基礎(chǔ)上能通過比較、分析、歸納得出它們的共同屬性。而數(shù)學單元學習群的建立，通過結(jié)構(gòu)化的知識、系統(tǒng)性的思維、體系化的眼光，能從碎片的數(shù)學知識中梳理出概念的脈絡(luò)，促進兒童對數(shù)學的概念性理解。數(shù)學單元學習群為載體，把握數(shù)學學科的本質(zhì)，形成具有學科中心地位、廣泛的實用性和解釋力的概念模型；并能將這樣的概念模型作用于新的問題情境，形成可遷移的應(yīng)用價值。本文就以小學數(shù)學五年級“方程”單元為例談一談：

一、觀念統(tǒng)領(lǐng)：以概念性理解為本的單元目標設(shè)計

現(xiàn)有“簡易方程”教材編制中存在一定的內(nèi)在缺陷，學段之間的銜接、之間知識的融通、以及教材生成兒童的思維定勢導(dǎo)致數(shù)學學習的難點。為了突破難點，我們采用數(shù)學大觀念統(tǒng)領(lǐng)，數(shù)學大觀念不是簡單知識的堆砌，是立足于概念內(nèi)核基礎(chǔ)上的重新架構(gòu)，以少而精的觀念促使學生達成對于數(shù)學學科的深度理解①。

（一）確立單元具體觀念

單元具體觀念依據(jù)本單元內(nèi)容的核心本質(zhì)，指向的是學生的理解和遷移，是單元教學設(shè)計的靈魂。在“方程”這一單元中，我們確定單元具體觀念，上位的觀念為培養(yǎng)學生的符號意識、函數(shù)思想、數(shù)學建模等數(shù)學思想；中位的觀念為在探索現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系的過程中，感受等號既可以表示結(jié)果又可以表示等價關(guān)系，積累將等量關(guān)系符號化的活動經(jīng)驗；在表達等量關(guān)系的過程中，通過生生和師生交流、評價，初步發(fā)展代數(shù)思維；下位具體觀念為學生體會用字母表示數(shù)與關(guān)系，且體會其需要與必要性；能夠借助生活情境中的故事中找出等量關(guān)系、并且能用方程表達關(guān)系；借助天平秤的平衡原理理解等式性質(zhì)、學會解方程。從三位視角確定本單元的大觀念，大觀念有著中心地位，是數(shù)學學科之核心，同時也可遷移，大觀念具有在新情境下的遷移價值、對后續(xù)的學習也有著更持久的影響，內(nèi)化到兒童的認知結(jié)構(gòu)中。

（二）設(shè)計單元核心問題

單元的核心問題一定是圍繞著單元具體觀念制定的，核心問題能夠引領(lǐng)兒童探究學習內(nèi)容的本質(zhì)，在探究活動中體悟數(shù)學思想方法，在反思回顧整理中涵育數(shù)學思維方式，在過程的探索中積累數(shù)學活動經(jīng)驗。一方面第一學段的小學生基本運用算術(shù)方法解決實際問題，學習方程時基本上是第一次接觸代數(shù)思想；另一方面，小學階段方程的學習效度需要為中學的方程學習銜接做好準備。我們把這一單元的核心問題設(shè)為：你能用字母表示事物之間的關(guān)系嗎？方程到底有怎樣的意義和價值呢？你會通過事物之間建立等量關(guān)系來解決實際問題嗎？如何有需要并建立方程體會方程的優(yōu)越性？你會用方程解決生活中較為復(fù)雜的實際問題嗎？等等作為單元核心問題。

（三）制定學習任務(wù)目標

單元任務(wù)序列要對應(yīng)單元核心問題，同時也指向單元具體觀念，以保證學習任務(wù)的目標指向內(nèi)容的本質(zhì)，指向?qū)W生的素養(yǎng)的發(fā)展。在“簡易方程”這一單元學習中我們圍繞“關(guān)系建構(gòu)”這一本質(zhì)屬性設(shè)計了三個大任務(wù)：我能用字母表示事物間的關(guān)系、我能找出天平秤里的等量關(guān)系、我能在生活場景中找到等量關(guān)系；三大任務(wù)立足“關(guān)系”聚焦概念本質(zhì)，指向兒童理解方程的意義和本質(zhì)，使兒童的思維和能力得到發(fā)展。在三大任務(wù)驅(qū)動中形成圍繞學習目標形成具體的任務(wù)：我會用字母可以表示任意數(shù)、一類數(shù)、數(shù)量關(guān)系、特定的未知數(shù)等等，我會通過不同情境中尋找等量關(guān)系理解方程的意義、我會借助天平秤探究等式的性質(zhì)，我會用方程解決問題。

數(shù)學大觀念不僅僅指向于某一個簡單知識，而是承載著數(shù)學知識、方法、思想與價值，并以統(tǒng)領(lǐng)思想、結(jié)構(gòu)思維形成了模型，并成為落實數(shù)學素養(yǎng)的重要橋梁。數(shù)學單元學習群的教學設(shè)計與實施是基于單元具體觀念的，而核心觀念又是與核心問題密切關(guān)聯(lián)的，核心問題要緊扣學習內(nèi)容的核心本質(zhì)，與單元的具體觀念對接。

二、梳理圖譜：以概念進階為路線的單元活動設(shè)計

對簡易方程的理解程度直接影響小學后一階段方程的學習，甚至更大程度影響著學生今后關(guān)于方程與函數(shù)間的區(qū)分、認識與理解。因此我們很有必要關(guān)注教材的編排邏輯和學生認知斷層，通過對不同版本教材研究，重新設(shè)置例題的教學方式、內(nèi)容呈現(xiàn)以及編排容量。

（一）以教材比對厘定概念的內(nèi)在脈絡(luò)

“天平”是否反應(yīng)方程的本質(zhì)？“用字母表示未知數(shù)”這一定義是否表達的是方程的本質(zhì)？這些問題如何突破，從不同版本教材比對切入，從知識點的分布、方程概念的引入方式、以及建立起來的模型結(jié)構(gòu)，以及解方程依據(jù)和列方程解決實際問題的編排，對比分析、類化整理，讓我們對簡易方程的概念的脈絡(luò)有了清晰的認識。

通過對比，可以取長補短，從等量關(guān)系引入作為方程概念的本質(zhì)屬性，同時對“用字母表示數(shù)”與“認識方程”板塊重組，在用字母表示數(shù)中降低學習起點，不把函數(shù)或?qū)?yīng)關(guān)系作為教學材料；強化學習重點，整體推進用字母表示一步運算和兩級運算的數(shù)量關(guān)系，融入常見數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式訓練；在“認識方程”中利用不變量理解等量關(guān)系、重視等量題組情境變式、以等量關(guān)系作為建立方程概念的主要線索。

（二）以思維線索驅(qū)動概念的進階過程。

對于方程的概念性理解，從“含有未知數(shù)的等式”這一形式化定義拓展為“方程表示已知數(shù)與未知數(shù)的等量關(guān)系”。把等量關(guān)系作為方程概念理解的核心，真正把兒童的方程思維在真實的情境中得到激發(fā)，凸顯方程的價值與意義。對方程的概念理解，從找未知數(shù)開始，再到如何在已知數(shù)未知數(shù)之間建立聯(lián)系，突出“找等量關(guān)系”這一核心要素。在這個基礎(chǔ)上，讓孩子比較不同情境背后等量關(guān)系的邏輯線索，然后抽象概括，剝離情境之后概括出方程的意義，建立了方程的模型，其中包含兩條思維線索交融推進：一是讓學生經(jīng)歷“設(shè)未知數(shù)——找等量關(guān)系——列出方程”的這樣的模型建構(gòu)過程，二是讓學生在方程建模過程經(jīng)歷了觀察、分析、比較、歸納、概括、建模等數(shù)學化過程，實現(xiàn)了從形式到內(nèi)涵的第二次嬗變，促進了學生數(shù)學高階思維的發(fā)展②。

（三）以認知匹配深化概念的本質(zhì)理解。

兒童在“方程”單元學習過程中存在的學習障礙，主要來自于受算術(shù)思維定勢過深、列方程局限在一種形式化的模仿，缺少整體的建模意識。學生對于方程認識基于表層，并未感受到方程的出現(xiàn)是基于解決問題。以及解方程的程序繁瑣、容易出錯，利用方程解決問題的優(yōu)越性不明顯，很難構(gòu)建與新內(nèi)容相匹配的認知圖式。究其原因，從兩個學段的編排來看，第一學段少方程思想，多算術(shù)思想與逆向思維、數(shù)學教學沒有對方程做好鋪墊，扼殺了學生早期代數(shù)的萌芽；第二學段從逆向思維到順向適應(yīng)度不夠，初學方程比較簡單用算術(shù)容易；造成學生對方程的學習動機不高，興趣也不大，逆向向順向轉(zhuǎn)化不適應(yīng)。不注重建模與方程思想，讓學生會列、會解方程就行，教師的解方程教學時規(guī)則過多，使學生感受不到方程妙處，反而認為求解方程既繁瑣又易錯。為了促進兒童的認知匹配，采用第一學段提前孕伏，在算術(shù)與代數(shù)的割裂處補上天橋；第二學段基于兒童的認知基礎(chǔ)，叩問方程本質(zhì)，創(chuàng)造性使用教材。

三、貫通思想：以概念結(jié)構(gòu)為框架的單元學習支架

數(shù)學的單元學習群是圍繞基本概念而進行的，以幫助學生建構(gòu)概念模型的思維發(fā)展，使兒童獲得主要概念的本質(zhì)屬性和概念性觀念，從而發(fā)展兒童對概念的理解力為目標的教學，用貫通的思想采用縱向和橫向的學習支架策略建立概念框架。

（一）縱向貫通策略

數(shù)學知識點之間往往有縱向關(guān)系，如果這樣的縱向關(guān)系更需要和兒童的經(jīng)驗聯(lián)結(jié)，與數(shù)學概念理解的差異性相貫通。

1.從兒童經(jīng)驗與概念之間的差異中確定認識線索。

分析學生已有的認知經(jīng)驗與所要理解的“方程”概念之間的差異，兒童已有經(jīng)驗算術(shù)法是倒推著尋找線索，獲得一個小結(jié)論再進一步倒推直到獲取真相。方程概念是順著事件的發(fā)展順序去梳理線索，找到線索之間的相互關(guān)聯(lián)獲得前因后果。在求方程的解的過程又是一個體現(xiàn)了逆運算的過程。在分析學生的已有認識中，進一步聯(lián)系學生已有的知識經(jīng)驗與對數(shù)學概念的理解之間差異，在對比中不一樣的體驗：比如區(qū)分“式”“等式”，厘清“量”“等量”，先要幫助學生建立“等量”的概念，之后建立“等式”概念。如此調(diào)整認知、建構(gòu)并理解概念的機會，以對學生前期經(jīng)驗的了解和認知線索的設(shè)計為基礎(chǔ)，教師提取出基本問題推動教學，為學生提供調(diào)整認知、建構(gòu)并理解概念的機會，數(shù)學概念需要設(shè)計層層遞進的認知線索以促進理解。

2.在數(shù)學問題與學習活動的對應(yīng)中順應(yīng)思維過程。

兒童對數(shù)學概念的深化理解，需要順應(yīng)兒童的認知過程、思維方式并產(chǎn)生積極的反應(yīng)，在對現(xiàn)實情境中問題探索中深化概念理解。五年級上冊教材中經(jīng)過版本比較，蘇教版教材編排中對于“用字母表示數(shù)”內(nèi)容全面，但是對于特定的未知數(shù)的認識不夠深入，因此增加此內(nèi)容方能與方程概念認識奠定基礎(chǔ)；對于“等式性質(zhì)”“解方程”和“列方程解決問題”的內(nèi)容編排相對比較單一化，調(diào)整增加等式兩邊均有未知數(shù)的內(nèi)容，滲透消元、守恒思想。因此“等式必須基于等量關(guān)系”，不僅要認識方程“形”，還要領(lǐng)會方程之“神”，才能形成對方程的本質(zhì)認識，進入學科認知體系，通過算術(shù)思維與代數(shù)思維對比，體會代數(shù)思維的優(yōu)越性?？傮w上而言，在設(shè)計這些問題的時候要注意幫助學生經(jīng)歷檢驗原有觀念、拓展經(jīng)驗、形成新的觀念的過程，從而促進學生對概念的真正理解。

因此

（二）橫向貫通策略

概念的知識點之間往往有縱向關(guān)系，概念還需要揭示知識之間的橫向關(guān)系。

對數(shù)學概念橫向貫通策略主要體現(xiàn)三個維度：

一是“概念核”的析取。在一個概念系統(tǒng)中，有一些概念處于核心位置，在“簡易方程”中“等量關(guān)系”就是概念核心，重視等量題組情境的變化，以等量關(guān)系作為建立方程概念的主要線索，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立等量關(guān)系，突出代數(shù)“還原”和“對消”的本質(zhì)，依據(jù)等式性質(zhì)擴展“兩邊含有未知數(shù)”的解方程技能，為列方程解決問題掃清障礙。二是“概念體”的結(jié)構(gòu)。概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性分析，其中包括概念系統(tǒng)的成分及其組織方式③。在簡易方程概念模式中，強化“用字母表示特定未知數(shù)”的意義理解，整體推進用字母表示一步運算和兩級運算的數(shù)量關(guān)系，進一步融入常見數(shù)量關(guān)系的代數(shù)式訓練。三是“概念域”的框架。利用概念域這種框架，對相互聯(lián)系的概念的獲得分別地進行研究，如用字母表示運算定律、平面圖形面積和周長公式，這樣處理不能很好地突出“用字母表示特定未知數(shù)”的教學重心；如一些學生列方程解決問題時不會設(shè)定未知數(shù)或設(shè)定未知數(shù)有困難，其根源就在于前期學習“用字母表示數(shù)”時缺乏對未知量識別必要訓練，將學生引入一定的概念框架中的某個節(jié)點。

四、相似模塊：以概念遷移為結(jié)果的單元學習評價

數(shù)學單元學習群的評價是長在教-學-評一致性的貫通鏈條上，單元學習群是否有成效，取決于評價的逆向設(shè)計，取決于是否讓兒童在數(shù)學學習中更好的形成自己認知的、方法的、思想的相似模塊，讓學習的概念系統(tǒng)能遷移、能舉一反三。數(shù)學素養(yǎng)評價框架可分為“內(nèi)容維度”“過程維度”“情境維度”，抓住課堂評價的關(guān)鍵因素是：課堂活動為介質(zhì)、目標達成檢驗為環(huán)節(jié)、在場性評價為方式，真正實現(xiàn)優(yōu)化學習的評價和促進學生學習的評價。

（一）情境維度：運用好“課堂活動”的評價介質(zhì)

在“簡易方程”單元目標的指引下，先進行目標分類，再來編擬評價指標體系，將目標導(dǎo)向的達成評價融入到課堂學習的全過程，讓整個教學不偏離“簡易方程”的單元目標，讓嵌入評價植入在兒童書序?qū)W習活動中。學習評價必須以目標作為參考，比較學生學習的實際效果、人格發(fā)展與目標之間一致性程度。通過思維導(dǎo)圖、單元知識整理、核心素養(yǎng)的量規(guī)設(shè)計，確立方程的思想觀念，并能在目標制定、探究活動、練習設(shè)計與反思整理中形成自己的學習方式以及學習作品成果展示等等。在單元學習群活動路徑的新序列中，比如在用字母表示數(shù)維度，研究班學生在用字母表示數(shù)維度具有更強地進行字母參與運算的能力、具有更強的借助字母探索、表征規(guī)律的能力，能有效提高學生綜合運用方程相關(guān)知識能力。

（二）內(nèi)容維度：把握好“素養(yǎng)目標”的檢驗指向

結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和遷移是大概念內(nèi)涵的本質(zhì)，單元學習群的評價尤其要強化對數(shù)學知識的本質(zhì)理解，提煉出能打通數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)揮核心作用的數(shù)學概念。由此確立合適的學習主題，我們對單元學習群學習與選取水平相當?shù)陌嗉壸鳛閰⒄?，參照班用原教學序列展開，研究班采用新的單元學習群的教學序列進行對照研究，簡易方程評價的主題內(nèi)容主要包括：用字母表示數(shù)中側(cè)重考查學生設(shè)定未知數(shù)、代入未知數(shù)并求值、以及字母參與運算等能力水平；解方程這一版塊中側(cè)重考查學生對等式性質(zhì)的理解以及運用等式性質(zhì)采用消元、對應(yīng)等方式靈活求解方程；用方程解決實際問題側(cè)重考查學生設(shè)定未知數(shù)、尋找等量關(guān)系、解方程、以及解決實際問題的能力。通過圍繞“方程”數(shù)學學習主題的素養(yǎng)評價量規(guī)，形成脈絡(luò)清晰，條理分明，相互聯(lián)系的數(shù)學知識體系，通過單元學習群，使學生形成簡化的、本質(zhì)的、內(nèi)在邏輯性較強的數(shù)學基礎(chǔ)知識結(jié)構(gòu)。

（三）過程維度：采用好“逆向設(shè)計”的評價方式

基于單元學習群的學習評價，需要設(shè)計指向關(guān)鍵能力的有意義的表現(xiàn)性評價任務(wù)，圍繞評價的目標要素貫穿在課堂評價的每一個環(huán)節(jié)，通過達成評價來觀察、分析、診斷、完善、優(yōu)化，尋找實證性證據(jù)，通過對過程中搜集的信息判斷是否達成預(yù)設(shè)目標。以學習結(jié)果開啟的逆向設(shè)計，首先確定學生在本單元需要達成的學習結(jié)果（即簡易方程的意義、價值以及作用等等），其次確定了證明兒童達成學習目標可以評估的要素、量規(guī)和方式（聚焦本單元的內(nèi)容為載體需要達成的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)設(shè)計）；第三是設(shè)計相應(yīng)的學習周期、情境活動和學習方法的設(shè)計；第四是通過學習記錄、思維可視化等方式呈現(xiàn)人人參與的表現(xiàn)性評價和結(jié)果性評價，最終指向的數(shù)學概念的可遷移性，實現(xiàn)概念性理解。

數(shù)學單元學習群的建構(gòu)，學習活動是探究式的，它要求學生能主動發(fā)現(xiàn)問題、主動探究、交流和討論，從而獲得對數(shù)學概念性理解。在這一過程中，學生的數(shù)學概念、探究能力、思維品質(zhì)、數(shù)學情感等的發(fā)展是同步的。讓兒童的數(shù)學學習從知識覆蓋到觀念統(tǒng)領(lǐng)，建立知識間的聯(lián)系促進新情境下的遷移。

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責任編輯：陳國慶