計(jì)入齒圈螺栓約束的行星齒輪箱振動(dòng)模型研究

楊秋平，李志強(qiáng)

(1.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南新鄉(xiāng) 453000；2.鄭州大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南鄭州 450001)

0 前言

行星齒輪箱在機(jī)械傳動(dòng)過程中具有傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、風(fēng)力發(fā)電等領(lǐng)域[1-2]。一般來說，太陽齒輪和行星架分別為輸入和輸出元件，齒圈固定在底座上，行星齒輪隨行星架轉(zhuǎn)動(dòng)，各行星齒輪與太陽齒輪和齒圈齒輪同時(shí)嚙合，分別形成外嚙合齒輪副和內(nèi)嚙合齒輪副。

行星齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)復(fù)雜，為了更好地理解齒輪箱的振動(dòng)機(jī)制，國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)齒輪箱振動(dòng)模型進(jìn)行了大量的研究。MOSHREFZADEH、FASANA[3]在動(dòng)態(tài)模型中加入了故障軸承模型，研究表明集總參數(shù)模型在考慮影響振動(dòng)響應(yīng)的非線性因素方面具有一定的優(yōu)勢(shì)。XUE、HOWARD[4]建立了行星齒輪箱多自由度扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型，結(jié)果表明該模型可以作為行星齒輪箱故障診斷的有效工具。楊占力等[5]通過集總參數(shù)模型研究了動(dòng)態(tài)參數(shù)對(duì)行星齒輪箱的振動(dòng)影響，比較了不同負(fù)載和轉(zhuǎn)速下的行星齒輪箱振動(dòng)特性。吳守軍等[6]建立了計(jì)入嚙合線方向的行星齒輪系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)模型，分析了嚙合線相對(duì)位移及頻譜特性，該模型能有效提取行星齒輪系統(tǒng)的嚙合頻率和故障頻率，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提模型的合理性。王成龍等[7]建立了計(jì)入部件平移-扭轉(zhuǎn)的行星齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過該模型研究了不同初始條件下內(nèi)齒圈的振動(dòng)特性。魏靜等人[8]建立了計(jì)入時(shí)變嚙合剛度等因素的行星齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了不同時(shí)變位姿參數(shù)對(duì)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響，該模型能夠?yàn)榭煽啃栽O(shè)計(jì)提供一定的數(shù)據(jù)支撐。林祖勝、張紹輝[9]建立了行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型，仿真了內(nèi)齒圈振動(dòng)特性，并對(duì)比了實(shí)驗(yàn)過程中的模態(tài)特性，結(jié)果表明所建立的仿真模型具有一定合理性。王二化等[10]通過建立多傳感器信號(hào)模型，解決了單一傳感器振動(dòng)信號(hào)的不穩(wěn)定性問題，通過小波分解的方法實(shí)現(xiàn)了各頻段能量的提取，分析了不同載荷等因素對(duì)頻道能量的影響，該方法能夠?yàn)辇X輪箱結(jié)構(gòu)的合理性設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

本文作者在前人研究基礎(chǔ)上，提出一種基于齒輪箱結(jié)構(gòu)參數(shù)的新方法，該方法在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，利用振動(dòng)位移計(jì)算內(nèi)齒輪副的嚙合力。根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，計(jì)算齒圈在嚙合力作用下的振動(dòng)信號(hào)。該模型考慮齒圈的螺栓約束，且建模方法不需要考慮窗函數(shù)、振動(dòng)分量的貢獻(xiàn)等，可以有效地避免主觀性問題。

1 齒輪箱振動(dòng)嚙合特性

齒輪箱振動(dòng)主要是由齒輪副嚙合、齒輪和軸承失效、軸不對(duì)中等引起。振動(dòng)信號(hào)通過不同傳輸路徑將不同振動(dòng)源傳輸?shù)酵粋鞲衅?。因此，傳感器信?hào)中不同分量的貢獻(xiàn)不同。由于傳感器一般安裝在齒圈上，內(nèi)齒輪副(行星齒圈副)的嚙合力Frpn(n=1，2，…，N)可以通過式(1)得到：

Frpn=krpn·δrpn

(1)

式中：krpn和δrpn分別為第n個(gè)內(nèi)齒輪副的嚙合剛度和變形量，可根據(jù)勢(shì)能法和集中參數(shù)模型求解。

為了探討Frpn(n=1，2，…，N)，首先研究了齒輪箱齒輪副的嚙合剛度kspn和krpn。以3個(gè)行星齒輪變速箱為例，其基本參數(shù)如表1所示。由于3個(gè)行星齒輪與太陽齒輪和環(huán)齒輪同時(shí)嚙合，齒輪箱總共包含6個(gè)齒輪副，其剛度曲線和嚙合相位分別如圖1和表2所示，圖中綠色的點(diǎn)表示齒輪副的節(jié)點(diǎn)，每條剛度曲線在一個(gè)嚙合周期內(nèi)出現(xiàn)兩次突變。由于相位因素，這些突變不會(huì)同時(shí)發(fā)生。

圖1 外齒輪副(a)和內(nèi)齒輪副(b)的嚙合剛度曲線

表1 行星齒輪箱物理參數(shù)

表2 行星齒輪箱嚙合相位

剛度的突變是一種內(nèi)部激勵(lì)，影響齒輪副的嚙合力。以嚙合力Frp1為例，其曲線如圖2所示，可以看出：曲線以Tm為周期，一個(gè)嚙合周期存在很多衰減振蕩信號(hào)。對(duì)比圖2和圖1可以發(fā)現(xiàn)：這些衰減信號(hào)對(duì)應(yīng)于內(nèi)外齒輪副的突變，且內(nèi)齒輪副產(chǎn)生的沖擊幅值高于外齒輪副。

圖2 第一內(nèi)齒輪副嚙合力Frp1

圖2(c)為太陽齒根處出現(xiàn)2 mm深度齒裂紋時(shí)的力Frp1曲線，與圖2(a)相比，出現(xiàn)了一系列與裂紋有關(guān)的斷層，即盡管失效發(fā)生在太陽齒輪(形成外齒輪副)，但仍然影響內(nèi)齒輪副的嚙合力。因此每個(gè)振動(dòng)部分的振動(dòng)信息相互重疊。

2 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)模型

2.1 基于歐拉-伯努利梁理論的振動(dòng)模型

由于行星架的轉(zhuǎn)動(dòng)，行星齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)具有明顯的幅度調(diào)制，采用Hanning或Hamming窗對(duì)其進(jìn)行模擬[11]。這些窗口函數(shù)的參數(shù)都是人為選擇的，與變速箱的基本結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)，振動(dòng)信號(hào)的幅值會(huì)隨著被測(cè)位置的變化而變化。以圖3中的齒輪箱為例，環(huán)形齒輪通過8個(gè)螺栓與兩側(cè)的底座連接，這些螺栓將環(huán)形齒輪劃分為多個(gè)區(qū)域。當(dāng)振動(dòng)源和傳感器位于不同區(qū)域時(shí)，螺栓可能會(huì)影響振動(dòng)信號(hào)的有效傳遞，因此此研究在建立傳感器信號(hào)模型時(shí)將考慮這些螺栓，以螺栓為邊界，將環(huán)齒輪分為8個(gè)部分。齒輪箱頂部安裝振動(dòng)加速度傳感器，與A零件相對(duì)應(yīng)，最靠近螺栓8的行星齒輪設(shè)置為行星齒輪1，后續(xù)將研究行星齒輪1隨行星架順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)周期時(shí)傳感器的振動(dòng)加速度信號(hào)。

圖3 行星變速箱結(jié)構(gòu)模型

齒圈齒的幾何形狀主要影響齒輪副的嚙合剛度，反映在嚙合力上如圖2所示。將A部分的齒圈簡(jiǎn)化為兩端有支撐的歐拉-伯努利梁，如圖4所示。以8號(hào)螺栓為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系Oxy。長(zhǎng)度l表示螺栓8和螺栓1之間的齒圈弧長(zhǎng)。假設(shè)行星架的旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針，可以認(rèn)為嚙合力的方向Frp1恒定，嚙合點(diǎn)以v=ωc·rr的速度沿著x方向從螺栓8移動(dòng)到螺栓1，其中ωc為行星架的轉(zhuǎn)速，rr為齒圈的節(jié)圓半徑。此外，嚙合力Frp1在切向和徑向上可分解為Frp1x和Frp1y，其中Frp1y=Frp1·sinα，α為齒圈在節(jié)圓上的壓力角。此研究在理論建模中只考慮徑向力Frp1y。采用力密度函數(shù)f(x，t)表示t時(shí)刻的嚙合力Frp1y，其中在x截面處有x=v·t，則有：

圖4 齒圈截面受力示意簡(jiǎn)圖

f(x，t)=Frp1y·δ(x-v·t)

(2)

其中：δ為狄拉克函數(shù)。簡(jiǎn)化后的齒圈截面如圖4所示，b和h分別為齒圈的寬度和高度。在位置x的齒圈厚度h(x)受齒輪齒幾何形狀的影響，當(dāng)h(x)為非均勻時(shí)，x位置處截面的截面面積A(x)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(x)等將發(fā)生變化。這些變量可以看作是內(nèi)部激勵(lì)，會(huì)影響x位置的振動(dòng)幅值，從而增加了齒圈振動(dòng)信號(hào)的復(fù)雜性，但振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)趨勢(shì)不會(huì)發(fā)生明顯變化。因此，為了簡(jiǎn)化，此研究提出采用常數(shù)h代替不均勻厚度h(x)，并選擇齒圈最薄部分的厚度。齒圈的測(cè)量結(jié)果表明，齒圈的有效厚度h=9.4 mm，寬度b=53 mm。

在圖4中，K和Kt分別為A部分受2個(gè)螺栓約束后的徑向支撐剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。此研究螺栓的徑向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度應(yīng)與簡(jiǎn)化歐拉-伯努利梁的軸向剛度和彎曲剛度一致，設(shè)置剛度K=E·A和Kt=E·I來模擬梁在這2個(gè)螺栓處的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)。圖4顯示了齒圈的力的微小段dx的示意，沿y方向運(yùn)動(dòng)的微分方程表示為

(3)

其中：Q為剪切力；M為彎矩；ρ為齒圈的材料密度；A為截面面積。從而可以計(jì)算出t時(shí)刻齒圈零件x位置的加速度信號(hào)，如式(4)所示：

(4)

其中：i為振動(dòng)模態(tài)的階數(shù)，文中取前3個(gè)階數(shù)。當(dāng)不考慮齒圈與傳感器之間的傳輸衰減時(shí)，x位置齒圈的振動(dòng)信號(hào)可以表示傳感器安裝在該位置時(shí)的傳感器信號(hào)。由式(4)可知，位置x處的信號(hào)模型可以考慮影響傳感器信號(hào)的各種因素，A部分齒圈截面的基本參數(shù)如表3所示。

表3 截面A齒圈基本參數(shù)

當(dāng)行星齒輪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，嚙合點(diǎn)將通過螺栓1進(jìn)入B部分區(qū)域，部分嚙合點(diǎn)在B部分的環(huán)形齒輪簡(jiǎn)化如圖5所示。

圖5 嚙合力在區(qū)域B時(shí)齒圈的簡(jiǎn)化示意

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論，可以得到環(huán)齒任意一點(diǎn)的振動(dòng)，式(5)(6)分別表示任意位置的廣義力和振動(dòng)加速度：

(5)

d4·cosh(0.5βil)]·{cos(ωit)·[d0sin(βix)+d2cos(βix)+d3sinh(βix)+d4cosh(βix)]}

(6)

根據(jù)式(4)(6)，行星齒輪1通過A、B部分時(shí)模擬的傳感器信號(hào)如圖6所示，可以看出：由于螺栓的作用，在兩端和第10齒附近的振動(dòng)信號(hào)波動(dòng)較大，幅度相對(duì)較小。振動(dòng)加速度幅值在第10個(gè)齒后處于較低水平。A部分和B部分的振動(dòng)信號(hào)最大幅值分別為Apart A=0.172 m/s2，Apart B=0.056 9 m/s2，這進(jìn)一步證明了環(huán)形齒輪螺栓對(duì)振動(dòng)信號(hào)有明顯的抑制作用。

圖6 嚙合點(diǎn)從螺栓8移動(dòng)到螺栓2時(shí)的模擬傳感器信號(hào)

當(dāng)行星齒輪1的嚙合點(diǎn)通過更多的螺栓時(shí)，傳感器采集到的振動(dòng)信號(hào)振幅進(jìn)一步降低到小于0.056 9 m/s2。通常齒輪箱中的幾個(gè)行星齒輪等距，當(dāng)前一個(gè)行星齒輪的嚙合點(diǎn)遠(yuǎn)離傳感器時(shí)，后一個(gè)行星齒輪的嚙合點(diǎn)接近傳感器。因此，行星齒輪1在此期間產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)可視為噪聲?？紤]到行星齒輪的重復(fù)性，其他行星齒輪產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)也可根據(jù)式(4)(6)計(jì)算，這些行星齒輪之間的相位差為Zr/N，它們產(chǎn)生的信號(hào)可以疊加，從而得到多行星齒輪齒輪箱的仿真振動(dòng)信號(hào)。

2.2 變速箱振動(dòng)信號(hào)模型

一般多個(gè)齒輪的加速度信號(hào)是在基于集中參數(shù)模型的微分方程求解后選擇的，并對(duì)它們給出不同的貢獻(xiàn)來建立最終的振動(dòng)信號(hào)，此研究采用權(quán)重來反映各個(gè)齒輪的整體傳輸路徑效應(yīng)，如式(7)所示：

(7)

太陽齒輪、行星齒輪和環(huán)形齒輪的整體傳動(dòng)路徑效應(yīng)可以分別用式(8)[12]表示：

(8)

為了模擬載波的調(diào)幅效果，與傳統(tǒng)方法不同，此研究在建立齒圈振動(dòng)信號(hào)時(shí)選擇了旋轉(zhuǎn)部件的振動(dòng)變形而不是振動(dòng)加速度，傳統(tǒng)方法和新方法的流程如圖7所示，可以看出：該方法避免了振動(dòng)分量權(quán)重、窗函數(shù)等主觀步驟。

圖7 新方法和傳統(tǒng)方法的流程

圖8分別是基于傳統(tǒng)方法[12]和此研究提出的新方法得到的齒輪箱振動(dòng)曲線。圖中紅色曲線是振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)線，可以看到2種方法得到的振動(dòng)信號(hào)都表現(xiàn)出明顯的幅度調(diào)制現(xiàn)象。在一個(gè)行星架旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)，信號(hào)波動(dòng)3次。但在這2種情況下，產(chǎn)生波動(dòng)調(diào)制現(xiàn)象的原因不同。在圖8(a)中，直接由Hanning窗生成，在圖8(b)中，采用考慮螺栓約束的方程計(jì)算?？梢钥闯鰣D8(b)中的紅色包絡(luò)曲線比Hanning窗或Hamming窗更能反映行星架引起的調(diào)幅效果。

圖8 行星架一圈內(nèi)的振動(dòng)信號(hào)

此外，這些波動(dòng)之間還出現(xiàn)了文獻(xiàn)[13]中提到的重疊現(xiàn)象，如圖8(b)所示。圖9所示為圖8(b)振動(dòng)信號(hào)在噪聲情況下的包絡(luò)階譜。振幅較大的階數(shù)出現(xiàn)在低頻、嚙合階數(shù)及其諧波階數(shù)等處，振動(dòng)信號(hào)的主要頻率成分與文獻(xiàn)[12]中的模擬和實(shí)驗(yàn)信號(hào)一致。調(diào)制頻率是行星架旋轉(zhuǎn)頻率的N倍(N=3)，嚙合階(Zr=62)的幅值為0，較大的幅值對(duì)應(yīng)于第60階(Zr-2)和第63階(Zr+1)，與嚙合階相鄰。這是因?yàn)榄h(huán)形齒輪的齒數(shù)Zr不是行星齒輪數(shù)N的倍數(shù)，導(dǎo)致嚙合頻率由行星架的旋轉(zhuǎn)頻率調(diào)制[14]?；谏鲜鰰r(shí)域和頻域分析，文中提出的齒輪箱振動(dòng)信號(hào)模型是正確的。

圖9 含噪聲振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)階譜

3 齒輪箱振動(dòng)信號(hào)特征分析

3.1 振動(dòng)路徑傳輸機(jī)制

由于行星齒輪箱結(jié)構(gòu)復(fù)雜，振動(dòng)信號(hào)的路徑可以分為2種：齒輪箱內(nèi)部的路徑和沿齒輪箱的路徑，如圖10(a)所示。傳感器直接安裝在齒圈上時(shí)，沿齒輪箱的路徑主要是傳遞齒圈副產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)，這些信號(hào)在傳輸過程中可能會(huì)有很大的衰減，且這些路徑的長(zhǎng)度是時(shí)變的。

圖10 傳輸路徑

考慮到來自齒輪箱內(nèi)部部件的振動(dòng)信號(hào)可能會(huì)使傳感器信號(hào)冗余，此研究不考慮圖10(a)中的傳動(dòng)路徑，只分析沿變速箱的路徑。以圖10(b)中嚙合點(diǎn)A的振動(dòng)信號(hào)為例，將齒圈傳動(dòng)路徑分為路徑1(順時(shí)針方向，粉色箭頭表示)和路徑2(逆時(shí)針方向，藍(lán)色箭頭表示)。

以圖11中行星齒輪箱的嚙合狀態(tài)為例，當(dāng)振動(dòng)源位于傳感器的左側(cè)，路徑1比路徑2短，路徑1貢獻(xiàn)更多，如圖11(a)所示。相反，路徑2的貢獻(xiàn)較大，如圖11(c)所示。當(dāng)兩條路徑的長(zhǎng)度相等時(shí)，兩條路徑的貢獻(xiàn)相同，如圖11 (b)所示。由于螺栓錨桿對(duì)振動(dòng)信號(hào)的傳輸有明顯的抑制作用，因此，此時(shí)圖(a)中路徑2、圖(c)中路徑1、圖(b)中路徑1、2不能有效傳輸振動(dòng)信號(hào)。

圖11 傳動(dòng)路徑

3.2 螺栓約束效應(yīng)

傳感器采集到的振動(dòng)信號(hào)的幅值受到許多因素的影響，如工作速度、負(fù)載、健康狀況和變速箱的尺寸等。下面將通過改變螺栓與傳感器之間的距離，以及改變螺栓的數(shù)量來研究螺栓對(duì)信號(hào)的影響。

3.2.1 螺栓與傳感器之間的距離

為了模擬傳感器與螺栓之間不同距離，此研究將傳感器的安裝位置改變3次。選取圖3中齒圈的第1、第3、第5這3個(gè)齒位置，傳感器安裝示意如圖12所示。這3個(gè)位置分別標(biāo)記為a1、a3、a5，如圖13(a)所示，圖中橫坐標(biāo)范圍為62Tm，表示行星架旋轉(zhuǎn)一圈。圖中這些曲線都顯示了3個(gè)顯著的幅度調(diào)制。這是因?yàn)樵谛行羌艿囊粋€(gè)旋轉(zhuǎn)周期中，3個(gè)行星齒輪依次靠近和離開傳感器。

圖12 三個(gè)傳感器在齒圈上的安裝位置

圖13 傳感器安裝在不同位置時(shí)的

如圖13(b)所示為振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)曲線Ei(i=1，3，5)和最大幅值A(chǔ)i(i=1，3，5)，可以看出：這些曲線的形狀相似，但最大幅值和幅值位置不同。離8號(hào)螺栓最遠(yuǎn)的第5齒的振動(dòng)信號(hào)幅值A(chǔ)5最大，離8號(hào)螺栓最近的第1齒的振動(dòng)信號(hào)幅值A(chǔ)1最小。3條曲線最大振幅對(duì)應(yīng)的位置靠近右側(cè)，從而可以看出振動(dòng)信號(hào)的幅值隨著傳感器與螺栓之間距離的減小而減小。因此，為了得到振幅較大的振動(dòng)信號(hào)，傳感器應(yīng)盡可能遠(yuǎn)離齒圈的螺栓。

圖14所示為圖13(b)虛線矩形框中曲線的部分放大圖，表示振動(dòng)信號(hào)的重疊區(qū)域。這3種情況下重疊區(qū)域的振幅和長(zhǎng)度也不同，但差異并不顯著。原因是雖然傳感器的位置發(fā)生了變化，但螺栓8和1之間的齒圈的弧長(zhǎng)保持不變。由此可見，齒圈螺栓與傳感器之間的距離對(duì)振動(dòng)信號(hào)的調(diào)幅影響較大，但對(duì)重疊區(qū)域的信號(hào)影響較小。

圖14 包絡(luò)曲線重疊區(qū)域的比較

3.2.2 螺栓約束數(shù)量

為了進(jìn)一步驗(yàn)證螺栓約束對(duì)振動(dòng)信號(hào)的影響，此研究改變了圖3中齒圈的螺栓數(shù)量，并將傳感器保持在A部分的中部。初始狀態(tài)記為Case 1，且全部螺栓工作；拆下螺栓1，狀態(tài)變成Case 2；當(dāng)螺栓1和8都被拆除時(shí)，狀態(tài)變成Case 3。螺栓約束的3種狀態(tài)如圖15所示，改變螺栓約束后，圖4中簡(jiǎn)化的齒圈弧長(zhǎng)l發(fā)生變化，即lCase1≈10×Tm，lCase2≈15×Tm，lCase3≈20×Tm。

圖15 螺栓約束的3種狀態(tài)

3種情況的振動(dòng)加速度曲線及其包絡(luò)曲線如圖16所示。可以看出：隨著螺栓數(shù)量的移除，振幅依次增大(ACase 3>ACase 2>ACase 1)，如表4所示，這種變化是由于拆卸螺栓引起的。拆除部分螺栓后，兩行星齒輪之間的夾角(φ=2π/N)可能小于相鄰兩螺栓之間弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的夾角，導(dǎo)致螺栓原本抑制的振動(dòng)被釋放。此外，在Case 1和Case 3中出現(xiàn)最大振幅的位置重合，并且Case 2向右傾斜。這是因?yàn)槁菟ㄏ鄬?duì)于Case 1和Case 3中的傳感器是對(duì)稱的，而在Case 2中，傳感器更靠近左側(cè)的螺栓，這與之前螺栓與傳感器之間的距離對(duì)振動(dòng)信號(hào)的影響的結(jié)論一致。從這些模擬結(jié)果可以看出，螺栓約束的數(shù)量會(huì)影響振動(dòng)信號(hào)的振幅調(diào)制。

圖16 不同螺栓約束下振動(dòng)信號(hào)(a)

表4 不同螺栓約束下的振幅和長(zhǎng)度

虛線矩形框的部分放大視圖如圖17所示，從表4可以看出：這3種情況下重疊區(qū)域的長(zhǎng)度和振幅都不相同，最大重疊長(zhǎng)度LCase 1和最小重疊長(zhǎng)度LCase 3分別對(duì)應(yīng)Case 1和Case 3，這種變化也是由螺栓的拆除引起。任意2個(gè)行星齒輪之間的齒圈弧長(zhǎng)為L(zhǎng)PP≈21×Tm。當(dāng)齒輪箱約束狀態(tài)為Case 1時(shí)，螺栓8與螺栓1之間的弧長(zhǎng)為L(zhǎng)Case 1≈10×Tm，因此重疊區(qū)域的長(zhǎng)度為L(zhǎng)Case 1≈11×Tm。同樣當(dāng)齒輪箱在Case 2和Case 3時(shí)，可以得到重疊區(qū)域的長(zhǎng)度分別為6×Tm和1×Tm。但重疊區(qū)域的振幅BCase i(i=1，2，3)的趨勢(shì)與長(zhǎng)度的趨勢(shì)相反，這些變化也是由拆除螺栓引起的。但由于實(shí)際振動(dòng)信號(hào)不可避免地包含噪聲，重疊區(qū)域可能會(huì)被其他干擾成分覆蓋。

圖17 不同螺栓約束下重疊區(qū)域的比較

通過以上分析可以看出，螺栓約束對(duì)振動(dòng)信號(hào)的幅值調(diào)制和重疊具有不可忽視的影響。因此，對(duì)于齒輪箱的設(shè)計(jì)者來說，增加螺栓的數(shù)量可以有效地降低齒輪箱的振動(dòng)幅度，從而提高傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度和使用壽命。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

此研究通過2個(gè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的加速度信號(hào)模型的有效性，實(shí)驗(yàn)裝置及齒輪箱基本參數(shù)如圖18和表1所示，傳感器安裝在齒圈的頂部，變速箱的輸入速度為420 r/min。在第一次實(shí)驗(yàn)中，螺栓的約束狀態(tài)對(duì)應(yīng)Case 1。齒輪箱實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)如圖19所示，橫坐標(biāo)為嚙合周期，圖中振動(dòng)曲線顯示出明顯的沖擊特性，主要是由齒輪副的嚙合引起的。

圖18 行星變速箱試驗(yàn)裝置

圖19 螺栓約束處于Case 1時(shí)實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)和包絡(luò)曲線

此外，振動(dòng)信號(hào)表明在一個(gè)行星架旋轉(zhuǎn)周期Tc中出現(xiàn)3個(gè)調(diào)幅波動(dòng)，且波動(dòng)之間存在重疊區(qū)域。紅色曲線表示振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)線，包絡(luò)曲線的形狀與圖8中考慮螺栓約束的振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)曲線相似。重疊區(qū)域的長(zhǎng)度約為11×Tm，與表4中的理論分析結(jié)果一致。由此可以得出結(jié)論：圖8中的模擬信號(hào)與圖19中的實(shí)驗(yàn)信號(hào)是一致的。

齒輪箱振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)階譜如圖20所示，由于齒輪箱的制造、安裝等一些因素，在頻譜中出現(xiàn)了大量的干擾成分。除低頻區(qū)段的階數(shù)外，主要的頻率分量主要集中在嚙合階數(shù)及其諧波上。圖中分別顯示了低階和圍繞嚙合順序的部分放大圖，低階區(qū)域的階譜表明，振動(dòng)信號(hào)的主調(diào)制階分別是行星架旋轉(zhuǎn)階的3倍和6倍。從部分放大圖可以看出：對(duì)應(yīng)嚙合階次(Zr=62)的幅值較低，而在第60階和63階的幅值較大。通過對(duì)振動(dòng)信號(hào)在時(shí)頻域的分析，可以看出：實(shí)驗(yàn)結(jié)果與圖9中的仿真結(jié)果是一致的，結(jié)果表明此研究所建立的加速度信號(hào)模型在時(shí)域和頻域上是合理的。

圖20 振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)譜

為了進(jìn)一步研究螺栓對(duì)振動(dòng)信號(hào)的影響，在不停止齒輪系統(tǒng)的情況下，通過拆除齒圈2個(gè)螺栓(螺栓1和螺栓8)，直接將螺栓約束狀態(tài)從Case 1改變?yōu)镃ase 3，振動(dòng)加速度信號(hào)及其包絡(luò)曲線如圖21所示。與圖18中案例1的結(jié)果相比，包絡(luò)曲線的波動(dòng)變得平緩，振動(dòng)幅值變大。這是由于2個(gè)螺栓是去除，釋放先前抑制的振動(dòng)信號(hào)。另外，拆下螺栓后，變速箱的工作狀態(tài)發(fā)生了變化，振動(dòng)信號(hào)中出現(xiàn)高幅值的嚙合沖擊。對(duì)于重疊區(qū)域，Case 3的長(zhǎng)度比Case 1短。根據(jù)表4中的理論分析，Case 3對(duì)應(yīng)的重疊區(qū)域的長(zhǎng)度為1×Tm，因此圖中重疊區(qū)域的長(zhǎng)度不明顯。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了改變螺栓數(shù)模擬結(jié)果的正確性。

圖21 螺栓約束處于Case 3時(shí)實(shí)驗(yàn)振動(dòng)信號(hào)和包絡(luò)曲線

5 結(jié)論

基于集總參數(shù)模型和歐拉-伯努利梁理論，建立了考慮齒圈螺栓約束的行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)模型?；谠撃Ｐ?，研究了振動(dòng)信號(hào)的傳遞機(jī)制、振幅調(diào)制和重疊現(xiàn)象以及螺栓約束對(duì)信號(hào)的影響。主要結(jié)論如下：

(1)由于齒輪箱中各部件之間的相互作用，當(dāng)一個(gè)部件發(fā)生改變時(shí)，其他部件也受到影響。由于傳感器靠近齒圈，選擇齒圈的振動(dòng)研究齒輪箱的振動(dòng)機(jī)制合理。

(2)基于集總參數(shù)模型，求解了各部件的振動(dòng)位移，計(jì)算了內(nèi)齒輪副的嚙合力，然后將帶螺栓約束的齒圈簡(jiǎn)化為歐拉-伯努利梁，通過求解梁的振動(dòng)建立齒圈上任意點(diǎn)的振動(dòng)信號(hào)。仿真結(jié)果表明：螺栓對(duì)振動(dòng)信號(hào)有明顯的抑制作用，仿真信號(hào)與真實(shí)傳感器信號(hào)具有較高的相似性。

(3)與傳統(tǒng)的基于集總參數(shù)模型的方法相比，該模型考慮了傳感器安裝位置和齒圈螺栓約束的數(shù)量對(duì)振動(dòng)信號(hào)的影響，結(jié)果表明這2個(gè)因素對(duì)信號(hào)的幅度調(diào)制和重疊現(xiàn)象有本質(zhì)的影響。