林鼎奇

［摘 要］特級(jí)教師吳正憲教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”一課時(shí)，先讓學(xué)生暴露已有經(jīng)驗(yàn)，初步感知此非彼；再打破學(xué)生的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生在總結(jié)中下定義；最后借助豎線模型，使學(xué)生能有序找出因數(shù)和倍數(shù)，并在辯論交流中總結(jié)出因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)：兩種數(shù)都是整數(shù)，結(jié)果是整數(shù)倍。

［關(guān)鍵詞］因數(shù)與倍數(shù)；認(rèn)知沖突；教學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）14-0045-03

“因數(shù)”的定義是a×b=c，a和b稱為乘數(shù)，乘數(shù)也稱為因數(shù)。“倍數(shù)”的定義是已知兩個(gè)數(shù)a，b（a是整數(shù)，b是正整數(shù)），要求兩個(gè)整數(shù)q，r，使q，r滿足以下條件：a=bq+r（0≤r＜b），a稱為被除數(shù)，b稱為除數(shù)，q稱為不完全商（簡(jiǎn)稱商），r稱為余數(shù)；當(dāng)r=0時(shí)，稱a被b整除，此時(shí)b為a的因數(shù)，a為b的倍數(shù)。

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》是由兩排飛機(jī)的數(shù)量引出乘法算式2×6=12，說明2和6是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)，再引出3×4=12，說明3和4也是12的因數(shù)，12是3和4的倍數(shù)，同時(shí)還補(bǔ)充說明“在研究因數(shù)和倍數(shù)的時(shí)候，我們所說的數(shù)指的是整數(shù)（一般不包括0）”。

《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》是通過讓學(xué)生觀察一組除法算式并分類，引導(dǎo)學(xué)生把除法算式根據(jù)商的結(jié)果分成整數(shù)和非整數(shù)這兩類，從而總結(jié)出“在整數(shù)除法中，如果商是整數(shù)且沒有余數(shù)，就說被除數(shù)是除數(shù)和商的倍數(shù)，除數(shù)和商是被除數(shù)的因數(shù)”，并以除法算式12÷2=6為例，說明12是2和6的倍數(shù)，2和6是12的因數(shù)。

因數(shù)和倍數(shù)的含義體現(xiàn)了兩者相互依存的關(guān)系。學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為乘法算式中的乘數(shù)叫因數(shù)，在除法算式中有誰是誰的幾倍，就認(rèn)為因數(shù)和倍數(shù)是單獨(dú)存在的。面對(duì)這種認(rèn)知沖突，教師在教學(xué)中如何幫助學(xué)生重新建立因數(shù)和倍數(shù)的概念？筆者在特級(jí)教師吳正憲的“因數(shù)與倍數(shù)”課堂中找到了答案。

一、課堂實(shí)錄與賞析

1.根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，初步感知此非彼

師：同學(xué)們，這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)“因數(shù)與倍數(shù)”。在過去的學(xué)習(xí)中，你們?cè)谀睦镆娺^因數(shù)和倍數(shù)？能舉個(gè)例子嗎？

生1：我們學(xué)乘法的時(shí)候，乘法算式里有因數(shù)，比如6×2=12，6和2都是因數(shù)。在除法算式里有倍數(shù)，比如12÷3=4，12是3的4倍。

師：這是你心目中的因數(shù)和倍數(shù)。我也來舉個(gè)例子，比如一本書6元，2本書多少錢？如果一本書2.5元，2本書多少錢？在這兩個(gè)乘法算式中，因數(shù)又是哪個(gè)呢？

生2：6×2=12，6和12是因數(shù)，2.5×2=5，2.5和2是因數(shù)。

師：今天我們對(duì)因數(shù)和倍數(shù)又有什么新的規(guī)定呢？這里有12人，我們用12顆磁鐵表示，你能將它們分組嗎？分的過程，我們一起用算式記錄下來。

生3：我把12人平均分成了4組，每組有3人，算式是12÷4=3（人）。我把12人平均分成了3組，每組有4人，算式是12÷3=4（人）。我把12人平均分成了2組，每組有6人，算式是12÷2=6（人）。我把12人平均分成了6組，每組有2人，算式是12÷6=2（人）。我把12人平均分成了12組，每組有1人，算式是12÷12=1（人）。我把12人分成1組，每組有12人，算式是12÷1=12（人）。

師：很好，一口氣說出了那么多算式。如果有12人，每組5人，可以分成幾組？用你學(xué)過的知識(shí)表示。

生4：12÷5=2……2，可以分成2組，還多2人。

【賞析】著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“每一個(gè)學(xué)生是一個(gè)完全脫俗的、獨(dú)一無二的世界?！睂W(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)課堂時(shí)不是一張白紙，而是帶著對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)獨(dú)特的感知。因此，教師不能把學(xué)生當(dāng)作知識(shí)的容器，往學(xué)生頭腦中灌輸各種知識(shí)。吳老師尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，她沒有回避學(xué)生對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的已有認(rèn)識(shí)，而是與學(xué)生聊天，充分了解學(xué)生的理解水平，一方面是為了幫助學(xué)生初步感知今天這節(jié)課學(xué)習(xí)的因數(shù)和倍數(shù)與以前學(xué)過的知識(shí)不一樣，另一方面是讓學(xué)生寫出更多除法算式，為建立因數(shù)和倍數(shù)的含義做好準(zhǔn)備。

2.打破已有認(rèn)知，在總結(jié)中下定義

師：比如12÷4=3，我們可以說12是4的倍數(shù)，4是12的因數(shù)，也可以說12是3的倍數(shù)，3是12的因數(shù)。比如2×6=12，我們可以說2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)，也可以說6是12的因數(shù)，12是6的倍數(shù)。接下來有幾個(gè)問題，什么是倍數(shù)，什么是因數(shù)？因數(shù)和倍數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？每個(gè)同學(xué)先獨(dú)立思考，想的時(shí)候可以借助算式，然后說一說你的想法。

沖突1：辨析乘除法中都有因數(shù)和倍數(shù)。

生1：我們小組認(rèn)為只有在除法中才有因數(shù)和倍數(shù)，比如 25÷5=5，25是5的倍數(shù)，5是25的因數(shù)。

生2：我不同意，我認(rèn)為在乘法中也有因數(shù)和倍數(shù)。比如5×7=35，7是35的因數(shù)，35是7的倍數(shù)，5是35的因數(shù)，35是5的倍數(shù)，它們也有因數(shù)與倍數(shù)。

生3：我覺得這樣是不對(duì)的，因?yàn)?是因數(shù)，7也是因數(shù)，它們乘起來就是積。

生4：剛才吳老師舉的例子，比如2×6=12，可以說2是12的因數(shù)，12是2的倍數(shù)，也可以說6是12的因數(shù)，12是6的倍數(shù)。這個(gè)算式不就是乘法嗎？為什么你認(rèn)為要在除法里才有因數(shù)和倍數(shù)？

師：在過去的經(jīng)驗(yàn)中，你認(rèn)為乘法里有因數(shù)，除法里有倍數(shù)。今天我們給倍數(shù)和因數(shù)新的規(guī)定，在乘法和除法里都有因數(shù)和倍數(shù)。

【賞析】吳老師通過呈現(xiàn)哪些算式里有因數(shù)和倍數(shù)關(guān)系，以及怎樣描述因數(shù)和倍數(shù)等，引導(dǎo)學(xué)生在比較中認(rèn)識(shí)因數(shù)和倍數(shù)的含義。當(dāng)學(xué)生面對(duì)因數(shù)和倍數(shù)的新定義時(shí)，他們產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，有的學(xué)生還是認(rèn)為乘法中有因數(shù)，除法中有倍數(shù)。為了讓學(xué)生體會(huì)到乘除法中都有因數(shù)和倍數(shù)，吳老師組織學(xué)生進(jìn)行說理辯論，讓他們?cè)谟欣碛袚?jù)地爭(zhēng)論中打破舊認(rèn)知，重建新認(rèn)識(shí)。

沖突2：辨析因數(shù)和倍數(shù)必須是整數(shù)。

生5：我們小組認(rèn)為，如果除法算式里有余數(shù)和小數(shù)，就沒有因數(shù)和倍數(shù)，商必須是整數(shù)且沒有余數(shù)的才有因數(shù)和倍數(shù)。

生6：我有不同意見。如果是小數(shù)除以一個(gè)整數(shù)，比如10.5÷5=2.1，我想說明有小數(shù)的除法也可以算出倍數(shù)。

生7：剛才吳老師說像2.5×2=5中是沒有因數(shù)和倍數(shù)的，你的算式里有小數(shù)，怎么說它有因數(shù)和倍數(shù)呢？

師：因數(shù)和倍數(shù)必須是什么樣的數(shù)？

生8：整數(shù)。

【賞析】吳老師在舉例時(shí)明確告知學(xué)生2.5×2=5這樣的算式是沒有因數(shù)和倍數(shù)的。不過有學(xué)生沒有建立因數(shù)和倍數(shù)的新認(rèn)知，認(rèn)為小數(shù)除法中是有因數(shù)和倍數(shù)的。吳老師組織學(xué)生展開辯論，最終讓學(xué)生深刻體會(huì)到因數(shù)和倍數(shù)必須是整數(shù)。

沖突3：辨析因數(shù)和倍數(shù)結(jié)果是整數(shù)倍。

生9：我來舉個(gè)例子，5÷2=2.5，5和2雖然都是整數(shù)，但是它們沒有倍數(shù)關(guān)系。

師：為什么？

生9：比如2×6=12，12是2的6倍。5÷2=2.5，雖然5和2是整數(shù)，但是2.5是小數(shù)，所以它們沒有倍數(shù)關(guān)系。

師：不管乘法還是除法里，一個(gè)數(shù)都要是另一個(gè)數(shù)的……

生10：整數(shù)倍。

師：誰能再來舉幾個(gè)例子？

生11：比如2×8=16，8和16都是整數(shù)，16是8的2倍，可以說16是8的倍數(shù)，8是16的因數(shù)。

師：老師也來舉個(gè)例子，因?yàn)?.2÷0.6=2，所以1.2是0.6的2倍，對(duì)嗎？

生12：不對(duì)，1.2和0.6不是整數(shù)。

【賞析】學(xué)生的思考是逐步深入的，他們?cè)诓粩啻蚱圃姓J(rèn)知，重建因數(shù)和倍數(shù)的新定義。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)從上一環(huán)節(jié)關(guān)注兩個(gè)數(shù)必須是整數(shù)，轉(zhuǎn)移到關(guān)注兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。一開始，學(xué)生認(rèn)為除法算式的結(jié)果不能有余數(shù)，隨著吳老師的追問，他們想出了整數(shù)倍，即乘法和除法的結(jié)果必須是整數(shù)，不能是小數(shù)。

沖突4：辨析因數(shù)和倍數(shù)是相互依存的。

師：12是倍數(shù)，這樣的說法對(duì)嗎？

生13：不對(duì)，要說12是誰的倍數(shù)，比如12是6的倍數(shù)，12是4的倍數(shù)……

師：因數(shù)和倍數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的。

【賞析】數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不僅要通過正向的舉例，讓學(xué)生看到成立的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系，還要通過反向的舉例，讓學(xué)生看到不成立的因數(shù)和倍數(shù)的關(guān)系。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，吳老師巧妙地通過判斷“12是不是倍數(shù)”，讓學(xué)生感受到因數(shù)和倍數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，它們相互依存，不能單獨(dú)存在。

3.借助豎線模型，有序找出因數(shù)

師：同學(xué)們，請(qǐng)找一找36的因數(shù)。

（有的學(xué)生找了4個(gè)，即12、4、3、9；有的學(xué)生找了7個(gè)，即3、36、1、9、6、4、12；有的學(xué)生找到了6、9、12、3、2、18、36、1、4）

師：同學(xué)們寫得有點(diǎn)亂。這樣，我借助一條豎線，豎線左邊寫1，右邊36，接下來該怎么寫？

生14：2和18，3和12，4和9，6和6。

師：我們一起找36的倍數(shù)，36的1倍是36，2倍是72……它的倍數(shù)越來越大，它的倍數(shù)找不全，但是因數(shù)的個(gè)數(shù)能找全。這個(gè)例子告訴我們什么？

生15：一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，它的倍數(shù)個(gè)數(shù)卻是無限的。一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。

師：我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要學(xué)會(huì)有序思考。

【賞析】在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生嘗試找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，剛開始他們都在無序地找，出現(xiàn)了找不全的局面。這時(shí)，吳老師借助豎線，不僅帶領(lǐng)學(xué)生體會(huì)了有序思考的魅力，還讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)了因數(shù)和倍數(shù)的奧秘。

二、對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論中的觀點(diǎn)是，個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展是在認(rèn)知不平衡時(shí)通過同化或順應(yīng)來達(dá)到認(rèn)知平衡，認(rèn)知不平衡有助于學(xué)生構(gòu)建自己的知識(shí)體系。吳老師在教學(xué)“因數(shù)與倍數(shù)”一課中利用當(dāng)前知識(shí)與學(xué)生已有認(rèn)知之間的矛盾，讓學(xué)生經(jīng)歷了“認(rèn)知沖突—打破已有認(rèn)知—建立新的認(rèn)知”的過程，建立了因數(shù)和倍數(shù)的含義，并運(yùn)用概念探究找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法。

其實(shí)，許多數(shù)學(xué)概念的教學(xué)都可以像吳老師那樣充分利用課堂中學(xué)生的認(rèn)知沖突。比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)“萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，他們發(fā)現(xiàn)數(shù)到9999就不能再數(shù)了，這時(shí)教師要在認(rèn)知沖突中引導(dǎo)學(xué)生利用十進(jìn)制創(chuàng)造新的計(jì)數(shù)單位。又如，在學(xué)習(xí)“軸對(duì)稱圖形”一課時(shí)，有的學(xué)生在“平行四邊形是否是軸對(duì)稱圖形”這一問題上產(chǎn)生了分歧，此時(shí)教師要把全班學(xué)生分成“贊同派”和“反對(duì)派”，讓學(xué)生在舉例說理中深刻理解軸對(duì)稱圖形的本質(zhì)，并判斷一個(gè)平面圖形是否是軸對(duì)稱圖形。又如，在學(xué)習(xí)“加法交換律”后，有的學(xué)生猜想在減法、乘法和除法中是否有交換律，也有的學(xué)生聯(lián)想到三個(gè)加數(shù)、四個(gè)加數(shù)，甚至更多個(gè)加數(shù)相加是否都能用加法交換律計(jì)算，此時(shí)，教師就要讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中展開驗(yàn)證活動(dòng)。

總之，教師在開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)充分利用教育學(xué)和心理學(xué)中的原理，結(jié)合數(shù)學(xué)教材和學(xué)生學(xué)情，才能讓學(xué)生在思考和理解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，讓學(xué)生把數(shù)學(xué)想明白、做出來，從而掌握數(shù)學(xué)思維方法。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 葉柳君.善問于學(xué)，讓數(shù)學(xué)思維真實(shí)發(fā)生：“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（28）：38-40.

[2] 宋煜陽.開啟單元知識(shí)探究，指向推理意識(shí)進(jìn)階：“因數(shù)與倍數(shù)”（第一課時(shí)）教學(xué)思考與實(shí)踐[J].教育視界，2022（29）：39-42.

[3] 顧美華.寓教于樂? 寓思于玩：“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)片段及賞析[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（4）：58.

（責(zé)編 黃 露）