摘 要： 在多屬性大群體決策環(huán)境下，針對(duì)決策者給出關(guān)于決策方案兩兩比較且可能包含殘缺值的模糊偏好關(guān)系的決策問題，提出了一種基于相似度聚類的殘缺值模糊偏好關(guān)系大群體決策方法。此方法首先通過標(biāo)準(zhǔn)化殘缺值矩陣，然后定義判斷矩陣之間的相似度對(duì)大群體進(jìn)行聚類，再對(duì)各個(gè)屬性下的群體偏好進(jìn)行集結(jié)，通過偏差熵模型確定各個(gè)決策屬性的權(quán)重，集結(jié)所有決策屬性下的群體偏好，最后得到?jīng)Q策方案的排序結(jié)果。文章最后給出了一個(gè)算例分析以驗(yàn)證此方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 殘缺值；模糊偏好關(guān)系；聚類；多屬性決策；大群體決策

中圖分類號(hào)： C 934

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Multi-Attribute Large Group Decision Making Method Basedon Incomplete Fuzzy Preference Relation

FENG Xiaojing

（Institute of Western China Economic Research， Southwestern Universityof Finance and Economics， Chengdu 611130， China）

Abstract： In the environment of multi-attribute large group decision-making， aiming at the decision-making problem that the decision-maker gives the fuzzy preference relation of pairwise comparison of decision-making schemes and may contain residual value， a large group decision-making method based on similarity clustering of fuzzy preference relation of residual value is proposed. This method firstly standardizes the incomplete value matrix， then defines the similarity between judgment matrices to cluster large groups， and then aggregates the group preferences under each attribute; Next， it determines the weight of each decision attribute through the deviation entropy model， and aggregates all decisions Group preferences under attributes， and finally get the ranking results of decision-making schemes. A numerical example analysis is given to illustrate the effectiveness of the method developed.

Key words： incomplete value; fuzzy preference relations; clustering; multi-attribute decision making; large group decision making

0 引言

近年來，決策這一研究領(lǐng)域得到了廣泛關(guān)注和研究，眾多學(xué)者在決策領(lǐng)域提出了多種決策方法，并將它們應(yīng)用到管理科學(xué)的各個(gè)方面?，F(xiàn)有的決策方法主要集中在多屬性群決策、模糊數(shù)決策、語言信息決策、多階段決策等領(lǐng)域。群體決策一直都是決策領(lǐng)域研究的重要范疇，然而現(xiàn)有的群體決策方法卻局限在小群體范圍內(nèi)。隨著現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)信息的迅猛發(fā)展以及信息資源的暴增，決策問題變得越來越復(fù)雜，因此需要更多的不同領(lǐng)域的專家來參與決策。鑒于此，徐選華等學(xué)者對(duì)此類問題進(jìn)行了研究并提出了一些大群體決策方法，但是這些大群體決策方法卻局限在決策信息為實(shí)值的決策中。

由于人類認(rèn)識(shí)事物的主觀性以及客觀事物的復(fù)雜性，決策者往往更喜歡用模糊偏好來表達(dá)自己的決策信息，而模糊偏好關(guān)系正是模糊偏好的一種，由此徐選華進(jìn)一步提出了基于模糊偏好關(guān)系的大群體決策方法。但是，由于人類認(rèn)識(shí)事物的不確定性和局限性，決策者往往不可能對(duì)所有的決策方案都給出自己確切的決策偏好，鑒于此，徐澤水進(jìn)行了深入研究并提出了一些基于殘缺值的決策方法，但是這些基于殘缺值的決策方法卻沒有應(yīng)用到大群體決策上。同時(shí)，決策者在做決策時(shí)往往要考慮決策方案的多個(gè)屬性，從而做出準(zhǔn)確的決策。徐選華提出的模糊偏好關(guān)系大群體決策方法沒有考慮到?jīng)Q策問題的多屬性。本文將基于殘缺值的決策以及模糊偏好關(guān)系決策綜合考慮，放在多屬性大群體決策環(huán)境下進(jìn)行研究。先將各個(gè)屬性下的基于模糊偏好關(guān)系的殘缺值矩陣轉(zhuǎn)化為一般形式的模糊關(guān)系矩陣，再通過定義模糊偏好關(guān)系之間的相似度，構(gòu)造基于相似度的聚類算法對(duì)各個(gè)屬性下的大群體進(jìn)行聚類，通過聚集之間的權(quán)重對(duì)各個(gè)屬性下的聚集進(jìn)行集結(jié)，再通過偏差熵模型求出屬性的權(quán)重對(duì)多屬性進(jìn)行集結(jié)，最后通過一個(gè)算子得到?jīng)Q策方案的排序。

1 問題描述

本文研究的是模糊偏好關(guān)系決策，在這里先給出其定義如下：若矩陣A為模糊偏好關(guān)系對(duì)應(yīng)的判斷矩陣，則矩陣中元素aij表示決策方案i優(yōu)于決策方案j的程度。當(dāng)0.5

假設(shè)一個(gè)決策問題有P個(gè)決策方案，N個(gè)決策屬性，并且是一個(gè)有M（當(dāng)M≥20時(shí)，我們稱之為大群體）個(gè)決策者的大群體決策問題，在決策過程中，在每一個(gè)屬性下，每一個(gè)決策者都有一個(gè)關(guān)于決策方案兩兩比較的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣，則在第n個(gè)決策屬性下第m個(gè)決策者關(guān)于決策方案的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣如下：

Amn=（amij）P×P=amn11amn12…amn1P

amn21amn22…amn2P

…………

amnP1amnP2…amnPPP×P

其中，amij表示在第n個(gè)決策屬性下第m個(gè)決策者的決策方案i優(yōu)于決策方案j的程度。

同時(shí)，由于決策者自身關(guān)于決策問題的局限性以及不確定性，決策者無法判斷某兩個(gè)方案的優(yōu)劣程度，在這種情況下，決策者則不給出這兩個(gè)方案的比較值，即讓aij和aji為空。

現(xiàn)要由N個(gè)屬性下M個(gè)決策者做決策時(shí)得到的N×M個(gè)P維的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣，而這些判斷矩陣中的某些元素可能為空值，得到一個(gè)最后的決策排序結(jié)果。

2 方法原理

考慮到模糊偏好關(guān)系判斷矩陣中的某些元素為殘缺值（空值），將這些空值轉(zhuǎn)化為群體偏好從而使原判斷矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣；考慮到大群體決策環(huán)境下決策群體的復(fù)雜性，通過判斷矩陣相似度的定義，對(duì)各個(gè)屬性下的大群體偏好進(jìn)行聚類，形成各個(gè)決策屬性下的模糊偏好關(guān)系群體偏好；再通過偏差熵模型對(duì)各個(gè)決策屬性下的權(quán)重進(jìn)行求解，從而對(duì)群體偏好進(jìn)行集結(jié)，最后通過一個(gè)算子得到?jīng)Q策方案的排序結(jié)果。

2.1 判斷矩陣標(biāo)準(zhǔn)化

在決策過程中，如果決策者無法判斷某兩個(gè)決策方案的優(yōu)劣程度，則該決策者不給出這兩個(gè)方案的比較值，即讓aij和aji都為殘缺值，即空值。在這種情況下，我們就認(rèn)為該決策者關(guān)于這兩個(gè)決策方案的偏好程度和整個(gè)群體的偏好程度一致，則用群體的平均偏好替換空值。若anmij=anmji=Φ，則用a*nmji和a*nmij代替：

a*mnij 1Mnij∑Mm=1amnij，amnij≠Φ

a*mnji 1Mnji∑Mm=1amnji，amnji≠Φ（1）

其中，Mnij=Mnji為第n個(gè)屬性下各個(gè)決策者關(guān)于方案i和方案j的模糊偏好值，anmij≠Φ（anmji≠Φ）的個(gè)數(shù)。

將所有的殘缺值用群體平均偏好替代后，得到新的N×M個(gè)P維標(biāo)準(zhǔn)化的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣：

Bmn=（bmij）P×P=bmn11bmn12…bmn1P

bmn21bmn22…bmn2P

…………

bmnP1bmnP2…bmnPPP×P

其中，bmij表示替代殘缺值后第n個(gè)決策屬性下第m個(gè)決策者的決策方案i優(yōu)于決策方案j的程度。

2.2 基于相似度聚類的大群體偏好集結(jié)

由于大群體決策環(huán)境下各個(gè)決策成員之間的差異較大，為此考慮各個(gè)決策屬性下各個(gè)決策者關(guān)于方案偏好之間的相似度，基于相似度對(duì)決策成員進(jìn)行聚類從而對(duì)群體偏好進(jìn)行集結(jié)。有學(xué)者從范數(shù)的角度定義了兩個(gè)模糊偏好關(guān)系矩陣之間的相聚度沒有滿足自反性，即相同的兩個(gè)判斷矩陣之間的相聚度應(yīng)該為1。為了彌補(bǔ)這一缺陷，本文定義了如下的相似度：

定義1 兩個(gè)決策者m1和m2的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣之間的相似度定義如下：

rm1m2（Bm1，Bm2）=1-1P（P-1）∑Pi=1∑Pj=1｜bm1ij-bm2ij｜（2）

定義1定義的兩個(gè)模糊偏好關(guān)系判斷矩陣之間的沖突度滿足下列三個(gè)性質(zhì)：

（1）有界性：0≤rm1m2（Bm1，Bm2）≤1。

（2）對(duì)稱性：rm1m2（Bm1，Bm2）=rm2m1（Bm2，Bm1）。

（3）自反性：rmimi（Bmi，Bmi）=1。

證明：性質(zhì)（1）∵0≤｜bm1ij-bm2ij｜≤1，aii = 0.5；

∴0≤1P（P-1）∑Pi=1∑Pj=1｜bm1ij-bm2ij｜≤1；

∴0≤rm1m2（Bm1，Bm2）≤1。

性質(zhì)（2）、（3）顯然成立。

基于式（2）定義的相似度，借鑒的聚類方法，在每一個(gè)決策屬性下對(duì)每一個(gè)成員偏好都進(jìn)行聚類，對(duì)決策成員形成不超過M個(gè)聚集（M是決策成員的總數(shù)）。在聚類算法中引入閾值γ用來判斷兩個(gè)方案偏好關(guān)系判斷矩陣之間的相聚度，即判斷該成員是否歸類為其中某一個(gè)聚集，在本文中，取閾值γ=0.75。對(duì)一個(gè)已經(jīng)形成的初始聚集，從未被聚類的群體中選擇一個(gè)方案偏好關(guān)系判斷矩陣，如果這個(gè)矩陣與所有被選入該聚集的方案偏好關(guān)系判斷矩陣的集結(jié)矩陣間的相聚度大于或等于閾值γ，則將這個(gè)矩陣分配給該聚集。否則，這個(gè)方案偏好判斷矩陣將不分配給這個(gè)聚集，而把它分配給一個(gè)臨時(shí)集合。當(dāng)所有成員的方案偏好判斷矩陣都被分配到相應(yīng)的聚集中時(shí)，成員偏好聚類完畢。

對(duì)各個(gè)決策屬性下的標(biāo)準(zhǔn)化后的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣聚類后，形成K個(gè)聚集（每一個(gè)屬性下的K可能不同），nk為聚集Ck的成員個(gè)數(shù)，接下來需要對(duì)各個(gè)聚集內(nèi)的各個(gè)決策者的偏好進(jìn)行集結(jié)，借鑒文獻(xiàn)［17］聚集內(nèi)決策成員偏好的集結(jié)方法，認(rèn)為能夠聚類在同一個(gè)聚集內(nèi)，則這個(gè)聚集內(nèi)決策成員之間的差異不大，故賦予他們相同的權(quán)重。對(duì)于聚集Ck，利用加權(quán)幾何平均算子（WGAO： Weighted Geometric Averaging Operator）進(jìn)行集結(jié)得：

BnCK=bnCKijP×P，bnckij=1nk∑nmm=1，i，j=1，2，…，P； k=1，2，…，K（3）

對(duì)各個(gè)聚集內(nèi)的偏好進(jìn)行集結(jié)后，就需要對(duì)各個(gè)聚集的模糊偏好關(guān)系進(jìn)行集結(jié)。在這里，考慮各個(gè)聚集內(nèi)的決策成員個(gè)數(shù)，聚集內(nèi)決策成員個(gè)數(shù)越多，則認(rèn)為該聚集內(nèi)的成員能夠代表大多數(shù)決策者的意見，對(duì)達(dá)成最終的決策結(jié)果貢獻(xiàn)更大，因此應(yīng)該賦予更大的權(quán)重；反之，聚集內(nèi)決策成員個(gè)數(shù)越少，則賦予更小的權(quán)重。根據(jù)這一原則，第n個(gè)決策屬性下聚集k的權(quán)重wnk定義為：

wnk=nnkM，n=1，2，…，N； k=1，2，…，K（4）

其中，M為決策成員總個(gè)數(shù)，nnk為第n個(gè)屬性下的第k個(gè)聚集的決策成員個(gè)數(shù)。

用求出各個(gè)聚集權(quán)重，分別對(duì)n個(gè)屬性下的所有的聚集的偏好關(guān)系判斷矩陣BnCK利用WGAO進(jìn)行集結(jié)，得到第n個(gè)決策屬性下的群體模糊偏好關(guān)系判斷矩陣

BnG=bnGijP×P，

bnGij=∑Kk=1wnk·nCKij，i，j=1，2，…，P（5）

得到每一個(gè)決策屬性下的群體模糊偏好關(guān)系判斷矩陣后，為了得到各個(gè)決策屬性的權(quán)重，采用文獻(xiàn)［13］的方法，通過偏差熵模型進(jìn)行求解。熵原是熱力學(xué)中的一個(gè)概念，它是信息的一個(gè)度量指標(biāo)，可以用來度量獲取的數(shù)據(jù)所提供的有用信息量。熵權(quán)法也廣泛應(yīng)用于決策過程中，屬性的熵權(quán)越大，則對(duì)決策最終結(jié)果的貢獻(xiàn)就越大。構(gòu)建多屬性偏差熵模型如下：

max T=-∑Nn=1∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|∑Nn=1∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|×ln∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|∑Nn=1∑Pi=1∑Pj=1|bnGij-∑Nn=1ωn·bnGij|

s.t. ∑Nn=1ωn=1，0≤ωn≤1（6）

用求出的決策屬性熵權(quán)值，對(duì)所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關(guān)系判斷矩陣BnG利用WGAO進(jìn)行集結(jié)得到所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關(guān)系判斷矩陣

BG=（bGij）P×P，

bGij=∑Nn=1ωn·bnGij，i，j=1，2，…，P（7）

對(duì)求得的所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關(guān)系判斷矩陣B通過式（8）可以求得決策方案的排序向量：

Oi=1P（P-1）∑Pj=111+bij+P2-1（8）

求得方案排序向量O=（o1，o2，…，oP），即可獲得最終的方案排序結(jié)果。

2.3 基于相似度聚類的殘缺值多屬性大群體決策方案排序

基于上述討論結(jié)果，給出一種基于相似度的殘缺值多屬性模糊偏好關(guān)系大群體決策方法，步驟如下：

Step1：首先通過式（1）將各個(gè)決策屬性下的包含殘缺值的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)模糊關(guān)系判斷矩陣。

Step2：通過式（2）定義的相似度，對(duì)每個(gè)屬性下的模糊偏好關(guān)系進(jìn)行聚類，形成K個(gè)聚集。

Step3：利用式（3）集結(jié)每個(gè)屬性下各個(gè)聚集的方案模糊偏好關(guān)系。

Step4：利用式（4）求出各個(gè)決策屬性下每個(gè)聚集的權(quán)重，并利用式（5）集結(jié)每一個(gè)屬性下的群體方案模糊偏好關(guān)系。

Step5：利用式（6）的偏差熵模型求出各個(gè)決策屬性的熵權(quán)值，并利用式（7）集結(jié)所有決策屬性下的群體方案模糊偏好關(guān)系。

Step6：利用式（8）即可求得最終的方案排序。

3 算例分析

假設(shè)一個(gè)大群體決策問題有四個(gè)決策方案、三個(gè)決策屬性，由20個(gè)專家（DMi ， i=1，2，…，20）組成的決策小組對(duì)該決策問題共同進(jìn)行決策，每一個(gè)專家都采用模糊偏好關(guān)系判斷矩陣來表達(dá)自己的決策偏好，由于某些專家對(duì)某個(gè)決策方案的不確定性，該專家在做決策時(shí)則不賦予偏好（決策值為NaN），由此構(gòu)成的各個(gè)決策屬性下的包含殘缺值的模糊偏好判斷矩陣如圖1所示。

然后，通過式（1）對(duì)決策者1到?jīng)Q策者5的殘缺值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到其標(biāo)準(zhǔn)化模糊偏好關(guān)系判斷矩陣，如表1所示。

將標(biāo)準(zhǔn)化后的模糊偏好關(guān)系判斷矩陣替代原殘缺值矩陣后，對(duì)每個(gè)決策屬性下的決策者偏好進(jìn)行聚類，得到各個(gè)決策屬性下聚集如表2～4所示。

集結(jié)后得到三個(gè)決策屬性下的群體模糊偏好關(guān)系判斷矩陣如表5所示。

再利用偏差熵模型求得各個(gè)決策屬性的權(quán)重為ω=（0.4390，0.2147，0.3464）。利用屬性權(quán)重集結(jié)各個(gè)決策屬性下的群體模糊偏好關(guān)系判斷矩陣得

BG=0.50.45250.50050.5368

0.54750.50.50420.6154

0.49960.49620.50.5003

0.46690.41110.49970.5

最后利用式（8）求得決策方案的排序向量為O=（0.3060，0.2997，0.3057，0.3103），所以決策方案四為最優(yōu)方案。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)在多屬性大群體決策環(huán)境下，由于決策者自身的局限性和不確定性而給出關(guān)于決策方案的殘缺值的模糊偏好關(guān)系的決策問題，提出了一種基于殘缺值的模糊偏好關(guān)系的多屬性大群體決策方法。此方法考慮了大群體決策環(huán)境下的殘缺值決策以及多屬性決策問題，進(jìn)一步完善了大群體決策方法。然而，大群體決策問題本身就是一個(gè)復(fù)雜的問題，它涉及的決策群體規(guī)模龐大且復(fù)雜，因此決策群體成員之間必然存在沖突，而本文未考慮到大群體決策成員之間的沖突與協(xié)同。另外，大群體決策問題由于決策成員眾多，更加需要通過多階段交互式協(xié)商才能取得更加準(zhǔn)確的決策結(jié)果。在本文基礎(chǔ)之上，未來的多屬性大群體決策研究可以考慮決策群體成員之間的沖突消解，放在多階段交互式?jīng)Q策下進(jìn)行研究，也可考慮將該方法應(yīng)用在多樣的多屬性評(píng)價(jià)與決策環(huán)境之中。

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收稿日期：2023-05-15

基金項(xiàng)目：中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助（JBK22YJ11，JBK2304149）

作者簡介：馮曉靜（1989—），女，河南新鄭人，博士，副教授，研究方向：行為運(yùn)營管理。