華興恒

平拋運動是高中物理力學(xué)中非常重要的內(nèi)容，也是各地高考的熱點之一.同學(xué)們要想學(xué)好平拋運動這部分知識，必須努力做到以下幾點.

一、熟知平拋運動的處理方法

平拋運動可以分解為兩種分運動：水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動.這樣處理的依據(jù)是：

1.假設(shè)法——利用假設(shè)法歸納出平拋運動確實是兩個分運動的合運動.

（1）假設(shè)物體剛拋出的瞬間不受重力的作用，則物體將會沿水平方向以初速度v 0做勻速直線運動.

（2）假設(shè)物體沒有初速度v 0，則物體將會在重力的作用下做自由落體運動.

事實上，上述兩方面的假設(shè)是不可能的，做平拋運動的物體既具有初速度v 0，又要在重力的作用下運動.因此做平拋運動的物體將參與兩個方面的運動.

2.通過觀察平拋演示儀演示平拋運動在豎直方向上確實是自由落體運動.

通過觀察演示得出A、B兩小球同時落地這一現(xiàn)象，說明小球A在拋出后與B球在豎直方向上是同規(guī)律的自由落體運動.

二、弄清楚軌跡上某點的速度方向與質(zhì)點所發(fā)生的位移方向不同

軌跡上某點的速度是指物體在此點的合速度，同理位移也是指合位移.求解它們的方法是矢量合成的平行四邊形法則.

【例1】 以拋出點為坐標原點O，以v 0方向為x軸正方向建立如圖1所示的直角坐標系.設(shè)物體從O點運動到A點的時間為t，初速度v 0已知.求圖1中A點的速度v的大小和方向及位移s的大小和方向.

解析： A點的速度v是v x= v 0及v y = gt的合速度，則v= v2 0+（gt）2 ，方向是沿A點的切線方向O′A.設(shè)O′A與x軸的夾角為α，則有 tan ?α = gt v 0

而A點的位移s是x = v 0t及y= 1 2 gt2的合位移，則

s= （v 0t）2+（ 1 2 gt2）2 ，方向從O→A.

設(shè)OA與x軸的夾角為β，則有 tan β= gt 2v 0 .

溫馨提示： 顯然α≠β，且有 tan β= 1 2 ?tan α.說明該點的速度方向與位移方向不一致，做題時千萬不能混淆，這也是試題設(shè)計中最為常見的“陷阱”之一.

三、掌握平拋運動中常求量的方法

1.求飛行時間的方法

（1）已知拋出點的高度h，可得t = ?2h g ?，由此說明t僅取決于拋出點的高度.

（2）已知軌跡上某點v的大小和方向求時間t.

通過上述分析不難求出t= v sin α g .

同理，已知軌跡上某點s的大小和方向，即可求出t= ?2s· sin β g ?.

2.求初速度 v ?0的方法

（1）已知拋出點，以拋出點為坐標原點建立坐標系，由軌跡方程y= g 2v2 0 ·x2，可得v 0 = ?g 2y ?·x.

（2）利用軌跡上某一點A的位移s的大小和方向求v 0.

方法： 利用三角關(guān)系轉(zhuǎn)換成橫、縱坐標： x=s· cos β，y=s· sin β. 將上式代入軌跡方程，可得v 0= ?g 2s· sin β ?·s· cos β.

【例2】 如圖2所示，傾角為θ、長為l的斜面，在其頂點A水平拋出一石子，它剛好落在斜面的底端B點，則拋出石子的初速度v 0為（ ?）

A.cos θ ?gl 2 sin θ

B.cos θ ?2gl ?sin θ

C.sin θ ?gl 2 cos θ

D.cos θ ?gl ?sin θ

按照上述方法很容易求解，請同學(xué)們完成，答案選 A .

（3）已知平拋物體落地時v的大小和方向，求v 0.

方法： 因v是合速度，可作平行四邊形如圖3所示，則由三角關(guān)系可得v 0=v cos θ，t= v sin θ g .

【例3】 物體以一定的初速度v 0沿水平方向拋出，飛出一段時間后，恰沿垂直于斜面方向撞擊在傾角為30°的斜面上，撞擊時速度大小為 20m/s ，不計空氣阻力，則該物體的初速度v 0及飛行時間t是多少？（g = ?10m/s2 ）

解析： 利用上述方法容易求得v 0=10 m/s2 ，t= 3 s.

（4）不知道拋出點，只知道軌跡的一部分，利用軌跡上至少三個已知點求初速度v 0.

【例4】 某一平拋運動軌跡如圖4所示，已知x 1 = x 2 = a，y 1= b，y 2 = c及g，求v 0.

方法： 設(shè)a到b，b到c的時間為T，豎直方向是自由落體運動，一定有y 2 - y 1 = g·T2.

水平方向是勻速直線運動，一定有x 1 = v 0T，x 2 = v 0T，代入已知量聯(lián)立可求得T= ?c－b g ?，v 0= a ??c－b g ??.

【例5】 在研究平拋運動的實驗中，用一張印有小方格的紙記錄軌跡，小方格的邊長l = 1 .25 cm .若小球在平拋運動途中的幾個位置如圖5中的a、b、c、d所示，則小球平拋的初速度的計算式為v 0 = ?????（用l、g表示），其值是 ?????（取g = 9 .8 m/s2 ）.

解析： 平拋運動的豎直分運動是自由落體運動，水平分運動是勻速直線運動.由ab、bc、cd等時隔點的距離容易看出豎直方向△s = l，水平位移s = 2l，則△s = aT2，即l = gT2，v 0= s T = 2l ??l g ??=2 gl ，代入已知數(shù)據(jù)可求得v 0= ?0 .70m/s.

【例6】 （2022全國甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔0 .05 s 發(fā)出一次閃光. 某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，

圖6 拍攝的照片編輯后如圖6所示.圖中的第一小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度s 1與s 2之比為3 ： 7.重力加速度大小取g=10 m/s 2，忽略空氣阻力.求拋出瞬間小球速度的大小.

解析：設(shè)s 1對應(yīng)的水平距離為x，對應(yīng)的豎直距離為y，則根據(jù)平拋運動的特點可知，s 2對應(yīng)的水平位移也為x，對應(yīng) 的豎直距離為3y.則有y = 1 2 g（4T）2 = 0. 2 m，s 1 = x2+y2 ， s 2 = x2+（3y）2 .

由 s 1 s 2 = 3 7 可解得x = 0 .032 ?m .

拋出瞬間小球的速度大小為v 0 = x 4T ，代入已知數(shù)據(jù)可解得v 0 = 0 .8 ?m/s .

3.綜合問題

【例7】 ?（2012課標全國卷）如圖7所示，x軸在水平面內(nèi)，y軸沿豎直方向.圖中畫出了從y軸上沿x軸正向拋出的三個 小球a、b和c的運動軌跡，其中b和c是從同一點拋出的.不計空氣阻力，則（ ?）

A . a的飛行時間比b的長

B . b與c的飛行時間相同

C .a的水平速度比b的小

D . b的初速度比c的大

解析： 小球做平拋運動，在豎直方向上滿足h= 1 2 gt2，則可得t = ?2h g ?，據(jù)此可知選項 A錯誤、選項B 正確；在水平方向上x = v 0t，即v 0 = x· ?g 2h ?，且由圖可知h b = h c > h a，x a > x b > x c，則選項 C錯誤、選項D正確.故應(yīng)選B、D.

點評： 求解平拋運動問題，須明確平拋運動的下述特點：（1） 飛行時間由高度決定，拋出點離地面越高，飛行時間越長；（2） 水平射程由高度和初速度共同決定，高度越高、初速度越大，水平射程越大.

【例8】 （2014新課標全國卷Ⅱ）取水平地面為重力勢能零點.一物塊從某一高度水平拋出，在拋出點其動能與重力勢能恰好相等.不計空氣阻力.該物塊落地時的速度方向與水平方向的夾角為（ ?）

A . ?π ?6

B . ?π ?4

C . ?π ?3

D. 5π ?12

解析： 設(shè)物塊的初速度為v 0、質(zhì)量為m，則根據(jù)題意有mgh = 1 2 mv2 0.設(shè)物塊落地瞬間水平速度分量為v x、豎直速度分量為v y，則根據(jù)平拋運動的規(guī)律可得v x = v 0、v y = 2gh ，即v x = v y = v 0，所以物塊落地時速度方向與水平方向夾角為 ?π ?4 ，則選項 B正確.故應(yīng)選B .

【例9】 （2015新課標全國卷Ⅰ）一帶有乒乓球發(fā)射機的乒乓球臺如圖9所示.水平臺面的長和寬分別為L 1和L 2，中間球網(wǎng)高度為h，

發(fā)射機安裝于臺面左側(cè)邊緣的中點，能以不同速率向右側(cè)不同方向水平發(fā)射乒乓球，發(fā)射點距臺面的高度為3h.不計空氣的作用，重力加速度大小為g，若乒乓球的發(fā)射速率v

在某范圍內(nèi)，通過選擇合適的方向，就能使乒乓球落到球網(wǎng)右側(cè)臺面上，則v的最大取值范圍是（ ?）

A . L 1 2 ??g 6h ?< v < L 1 ?g 6h

B . L 1 4 ??g h ?< v < ?（4L2 1+L2 2）g 6h

C . ?L 1 2 ??g 6h ?< v < 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h

D . L 1 4 ??g h ?< v < 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h

解析： 當(dāng)發(fā)射機對右側(cè)臺面發(fā)射，乒乓球恰好過網(wǎng)時，發(fā)射速度最小.由平拋運動規(guī)律有 L 1 2 = v 1t，2h = 1 2 gt2，聯(lián)

立解得v 1 = L 1 4 ??g h ?.

當(dāng)發(fā)射機正對右側(cè)臺面的某個拐角發(fā)射，乒乓球恰好到達拐角上時，發(fā)射速度最大.則由平拋運動規(guī)律有 L2 1+（ L 2 2 ）2 = v 2t′，3h = 1 2 gt′2，聯(lián)立解得v 2 = 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h ?，即速度v的最大取值范圍為 L 1 4 ??g h ?< v < 1 2 ??（4L2 1+L2 2）g 6h ?，則選項 D正確.故應(yīng)選D .

通過對以上考題的解析大家不難看出，求解有關(guān)平拋運動的問題，關(guān)鍵是要抓住平拋運動的特點，熟練地運用平拋運動的規(guī)律，則問題很容易獲解.

責(zé)任編輯 ?李平安