以形助數(shù) 推算等式

浙江杭州市蕭山區(qū)賀知章學(xué)校（311203） 張芳蘋

一、研究緣起

圖形等式推算是解決問題的一種重要策略和方法。為了解學(xué)生對(duì)圖形等式推算的掌握情況，筆者對(duì)本校404 班全體學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，得到以下結(jié)果：

測(cè)試題1：35×□+300=720。該題是簡(jiǎn)單、明確的圖形等式，學(xué)生基本會(huì)運(yùn)算。

測(cè)試題2：15×□=12×（□+17）。該題屬于較復(fù)雜的圖形等式，不能簡(jiǎn)單地用四則運(yùn)算的關(guān)系解決，所以學(xué)生都束手無(wú)策。

測(cè)試題3：A、B 兩市相距180 千米，甲、乙兩車同時(shí)從兩市出發(fā)，相向而行。甲車每小時(shí)行35 千米，3 小時(shí)后兩車相遇。問乙車的速度是多少？對(duì)于該題，沒有學(xué)生用圖形等式解決。

產(chǎn)生以上現(xiàn)象的原因有三點(diǎn)。①認(rèn)識(shí)不深。學(xué)生對(duì)于圖形等式推算的重要性認(rèn)識(shí)不深，主動(dòng)運(yùn)用的意識(shí)更是薄弱。②審題不細(xì)。學(xué)生在搜集信息、處理信息、整合信息方面的能力較弱，包括讀題、分析數(shù)量關(guān)系等，沒有理解題意，就不會(huì)列圖形等式。③方法單一。圖形等式推算已成為學(xué)生的一種心理負(fù)擔(dān)，不少學(xué)生只會(huì)對(duì)兩步以內(nèi)、簡(jiǎn)單的圖形等式進(jìn)行逆運(yùn)算，碰到需要轉(zhuǎn)化、合并的圖形等式時(shí)，不知如何下手。因此，學(xué)生在解決問題時(shí)更不會(huì)選擇圖形等式推算這一方法。

筆者認(rèn)為，列圖形等式有助于學(xué)生厘清思路、分析數(shù)量關(guān)系、化抽象為形象，從而解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維。但在日常教學(xué)中，圖形等式推算這一方法沒有引起教師的足夠重視。

二、實(shí)踐研究

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是循序漸進(jìn)的：了解、理解、掌握、運(yùn)用。筆者遵循這一規(guī)律，在圖形等式推算的教學(xué)中，分四個(gè)步驟教學(xué)：認(rèn)識(shí)、學(xué)會(huì)、運(yùn)用、滲透。

1.思維引領(lǐng)，認(rèn)識(shí)圖形等式推算

含有圖形的等式推算在教材的各個(gè)年級(jí)都會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的思考題，如“3+■=5”“36÷■=4”“3×4+☆=24”，對(duì)于這樣簡(jiǎn)單的圖形等式，四年級(jí)學(xué)生一般能夠利用圖形和已知數(shù)的關(guān)系求出圖形的值。如果僅是將這類題當(dāng)作逆向思維習(xí)題訓(xùn)練，那么題目的其他價(jià)值就沒有體現(xiàn)出來(lái)。故教師需要串聯(lián)知識(shí)板塊，引領(lǐng)學(xué)生意識(shí)到圖形等式推算在解決實(shí)際問題時(shí)的獨(dú)特價(jià)值。

（1）深入挖掘舊知，認(rèn)識(shí)圖形等式推算

從低學(xué)段開始，學(xué)生已習(xí)慣直接得出結(jié)果的算式，不會(huì)列圖形等式，更沒有列圖形等式的意識(shí)。教師不僅要告訴學(xué)生，解決應(yīng)用題可以用圖形等式推算，還要教學(xué)方法的原理及應(yīng)用步驟。因此，筆者首先帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)圖形等式推算。

【案例1】認(rèn)識(shí)圖形等式推算

（教師出示“3+■=5”“36÷■=4”“3×4+☆=24”）

師：同學(xué)們見過它們嗎？它們有什么特點(diǎn)？

生1：都用符號(hào)代表數(shù)字。

師：很好，再找一找，還有什么共同點(diǎn)呢？

生2：都有等號(hào)。

師：這樣含有等號(hào)的式子叫等式。像這樣有圖形的等式，你們覺得應(yīng)該取個(gè)什么名字？

生（齊）：圖形等式。

師：接下來(lái)請(qǐng)大家算一算圖形等式里的圖形都代表數(shù)字幾。

（學(xué)生回答出分別是2、9、12）

師：我們把這樣求出圖形等式中圖形所表示的數(shù)的過程叫圖形等式推算。

讓學(xué)生在舊知的基礎(chǔ)上提煉本質(zhì)，明確圖形等式和圖形等式推算的概念，認(rèn)識(shí)到圖形等式推算就是求出圖形等式中圖形所表示的數(shù)的過程，在不斷進(jìn)行鞏固訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，加深學(xué)生對(duì)概念的理解。

（2）觀摩優(yōu)秀案例，打破學(xué)生思維定式

在圖形等式推算的練習(xí)中，部分學(xué)生覺得圖形等式推算換湯不換藥，無(wú)非就是求未知數(shù)。此時(shí)，利用優(yōu)秀的案例讓學(xué)生重新認(rèn)識(shí)圖形等式推算是十分必要的。

將常見的圖形等式推算運(yùn)用到行程問題中，是學(xué)生沒有嘗試過的，他們不免充滿了陌生感。這時(shí)，用簡(jiǎn)單易懂的案例介紹圖形等式推算的方法，鼓勵(lì)學(xué)生多接觸，學(xué)生對(duì)于圖形等式推算就不那么陌生了。而用稍復(fù)雜的案例能讓學(xué)生對(duì)圖形等式推算產(chǎn)生一定的興趣，當(dāng)用圖形等式推算解決了難題，一道難題被解決的喜悅往往能培養(yǎng)出學(xué)生對(duì)圖形等式推算的好感。

2.有效審題，學(xué)會(huì)圖形等式推算

盡管有的學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握得很好，但如果不會(huì)審題、看不懂題意，題目還是解不出來(lái)，更談不上什么教學(xué)效果。因此，認(rèn)真審題、能準(zhǔn)確把握題目中有價(jià)值的信息，顯得尤為重要。

審題步驟可分為初讀、細(xì)讀、精讀、復(fù)讀。筆者認(rèn)為這是對(duì)數(shù)學(xué)信息的搜集、整合、概括、再思考的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題中重點(diǎn)詞句理解題意、借助圖形與一定的方法輔助解決問題，從而學(xué)會(huì)圖形等式推算。

（1）理解重點(diǎn)詞句

課堂上，經(jīng)常能聽到教師問“你得到了哪些數(shù)學(xué)信息”后，學(xué)生僅是完整地將題目讀一遍。數(shù)學(xué)信息確實(shí)在題目中，但它們隱藏在重點(diǎn)詞句里，如行程問題中常見的相對(duì)、相向、相背、相遇、相差、同時(shí)、同向等詞語(yǔ)，抓住這些關(guān)鍵詞，往往能順勢(shì)把題意轉(zhuǎn)化成圖形等式。

【案例2】把題意轉(zhuǎn)化成圖形等式

出示題目：兩地相距270 千米，甲、乙兩車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，1 小時(shí)后相遇。已知甲車的速度是乙車的1.5 倍，求甲、乙兩車每小時(shí)各行多少千米？

師：同學(xué)們，讀完后，你劃出了哪些重點(diǎn)詞句來(lái)幫你理解題意？

生1：“同時(shí)”“相對(duì)”“相遇”。

生2：“甲車的速度是乙車的1.5倍”。

師：很好，我們來(lái)分析一下這句話。

（板書：如果乙車速度=每小時(shí)行□千米

甲車的速度是乙車的1.5倍

甲車的速度=□×1.5）

師：現(xiàn)在，甲乙兩車的速度都可以用含□的式子表示出來(lái)，那么怎么列等式呢？

生3：甲乙兩車行的路程加起來(lái)等于兩地間的距離，列式□+1.5×□=270。

師：解答得很棒，同學(xué)們，這就是我們列出來(lái)的圖形等式。

（2）培養(yǎng)畫圖意識(shí)

【案例3】認(rèn)識(shí)畫圖的重要性

題目：甲、乙兩車同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。已知甲每小時(shí)行45千米，乙每小時(shí)行32千米，相遇時(shí)甲車比乙車多行52千米，此時(shí)過了幾小時(shí)？

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)該怎么列圖形等式？

生1：假設(shè)過了★小時(shí)甲乙兩車相遇，由于甲車每小時(shí)比乙車多行45-32=13（千米），過了★小時(shí)甲車比乙車多行13×★千米，所以13×★=52。

（生1說(shuō)完后，很多學(xué)生搖頭表示不明白）

生2：老師，我知道了，我能把這句話表述清楚。先畫圖（如圖1），表示過了★小時(shí)甲乙相遇。等量關(guān)系：甲行的路程-乙行的路程=52 千米，即45×★-32×★=52。

圖1 甲乙兩車行程示意圖

培養(yǎng)學(xué)生畫圖意識(shí)，需要教師適時(shí)加以引導(dǎo)。講課中，教師要少畫圖，鼓勵(lì)學(xué)生自己動(dòng)手畫一畫、說(shuō)一說(shuō)，讓學(xué)生發(fā)自內(nèi)心體會(huì)到畫圖能將問題簡(jiǎn)單化，有助于理解題意、快速準(zhǔn)確地列出圖形等式。

（3）學(xué)會(huì)推算等式

一步到位的圖形等式，學(xué)生是容易完成的。故重點(diǎn)和難點(diǎn)是兩步甚至三步以上圖形等式推算。

【案例4】圖形等式推算方法

出示：35×□+300=720。

師：圖形等式中的運(yùn)算順序同一般數(shù)學(xué)算式，所以某一步中含有圖形的，需要看作一個(gè)整體。解這個(gè)算式，把35×□看作一個(gè)整體，想35×□等于幾？一個(gè)加數(shù)=和-另一個(gè)加數(shù)，得到35×□=420，

題目轉(zhuǎn)化為一步圖形推算。出示：120-◇×5=30。

生1：我把◇×5 當(dāng)成一個(gè)整體，減數(shù)=被減數(shù)-差，◇×5=90，◇=18。

出示：40×■+60×■=2400。

生2：利用乘法分配律，轉(zhuǎn)化成（40+60）×■=2400，就能很快算出■。

出示：2×★+1=★+3。

生3：這個(gè)圖形等式可以通過兩邊同時(shí)減1 轉(zhuǎn)化成2×★=★+2。

師：非常好，那現(xiàn)在怎么求★呢？

（生3搖搖頭，表示沒有辦法。）

師：一邊有圖形的要先合成一處，那兩邊有圖形的首先要轉(zhuǎn)化成只有一邊有圖形，兩邊同時(shí)減去一個(gè)★，得★=2。

師：那能解“2×★-3=★-1”嗎？

生4：等式兩邊都先同時(shí)加上3，轉(zhuǎn)化成“2×★=★+2”，就和前面那題一樣啦！

通過實(shí)踐讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到等式一邊有圖形的要先合成一處，等式兩邊都有圖形的需要轉(zhuǎn)化為只有一邊有圖形，利用四則運(yùn)算不斷求解二步以上的圖形等式。

3.舉一反三，運(yùn)用圖形等式推算

學(xué)習(xí)了圖形等式推算這一解題策略后，學(xué)生碰到各種行程問題，要第一時(shí)間辨別該題適不適合用圖形等式推算來(lái)解決，要根據(jù)等式選擇合適的方法。

（1）辨析題型

【案例5】討論圖形等式推算的題型特點(diǎn)

師：同學(xué)們，你們認(rèn)為哪些行程問題可以不用圖形等式推算來(lái)解？

生1：我認(rèn)為能直接求出來(lái)的題可以不用。

師：反之，不能直接求出來(lái)的題可以用圖形等式推算對(duì)嗎？還有沒有可以不用圖形等式推算來(lái)解的？

生2：簡(jiǎn)單的題可以不用。

師：你的意思是復(fù)雜的題可以用圖形等式推算，但是簡(jiǎn)單或復(fù)雜因人而異。其實(shí)“直接求出來(lái)”與“簡(jiǎn)單”是同一個(gè)意思。我們說(shuō)一步到位的題、正向思維運(yùn)算的題可以不用圖形等式推算。

出示案例3 的變式：甲、乙兩車同時(shí)從A、B 兩地出發(fā)，相向而行。已知甲車每小時(shí)行45 千米，乙車每小時(shí)行32 千米，相遇時(shí)甲車比乙車多行52 千米，問A、B兩地相距多少千米？

生3：這個(gè)題可以先用圖形等式推算，假設(shè)相遇時(shí)間為★小時(shí)后，求得★是4 小時(shí)，A、B 兩地的距離是45×4+32×4=308（千米）。

顯然，已有一部分學(xué)生意識(shí)到圖形等式推算在解決較復(fù)雜的行程問題時(shí)的重要性，會(huì)選擇圖形等式推算來(lái)解決。

（2）建構(gòu)模型

在一定的鞏固訓(xùn)練基礎(chǔ)上，學(xué)生對(duì)用圖形等式推算解決行程問題已有了經(jīng)驗(yàn)。此時(shí)，通過一類圖形等式推算總結(jié)出一類代數(shù)模型的求解方法（見表1），能為以后的方程學(xué)習(xí)做鋪墊。

表1 由圖形等式到方程

隨著圖形等式增多，代數(shù)模型呈現(xiàn)形式變得多樣，但在一系列轉(zhuǎn)化合并后仍會(huì)回到最基礎(chǔ)的代數(shù)模型。另外，教師還可鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生探究三步以上圖形等式的代數(shù)模型求解方法。

4.發(fā)散思維，滲透圖形等式推算

圖形等式推算作為一種解題策略，不僅能解決行程問題，還能解決其他類型的問題，如解決雞兔同籠問題、求長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬等。在教學(xué)中不要單純地就題論題，而要把學(xué)生已學(xué)的方法滲透到多種題型中去，一方面鞏固圖形等式推算的訓(xùn)練，另一方面使學(xué)生意識(shí)到要融會(huì)貫通新方法，發(fā)散思維地運(yùn)用它。

三、實(shí)踐反思

圖形等式推算在問題解決中具有十分重要的作用，它生動(dòng)形象地將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單明了。在實(shí)踐研究過程中，筆者看到學(xué)生運(yùn)用圖形等式推算解決問題的意識(shí)增強(qiáng)，對(duì)題目的辨析思考能力增強(qiáng)，學(xué)生運(yùn)用圖形等式推算解題，大大提高了他們的問題解決能力，同時(shí)也大大提高了課堂學(xué)習(xí)效率。然而，圖形等式推算作為解決問題的一種策略和方法，與五年級(jí)“等式性質(zhì)”不同，那么教師在教學(xué)中應(yīng)如何引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇這一策略方法？影響學(xué)生運(yùn)用這一策略的因素又有哪些？這一系列的問題都值得繼續(xù)思考。