一類憶阻型4D 保守混沌系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及其分析

夏國(guó)瑩,曾以成

(湘潭大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院,湖南 湘潭 411105)

憶阻器是Chua[1]在1971 年首次提出的定義電荷和磁通量之間關(guān)系的基本元件。憶阻器具有非線性和非易失性,在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2-3]、邏輯運(yùn)算[4]、人工智能[5-6]和圖像加密[7]等諸多領(lǐng)域都有應(yīng)用。其作為非線性元件,在混沌系統(tǒng)的構(gòu)造中起著重要作用。到目前為止,學(xué)者們研究了一系列具有多渦卷、多翼、自激和隱藏吸引子現(xiàn)象的憶阻耗散混沌系統(tǒng)[8-10]。然而,對(duì)憶阻保守混沌系統(tǒng)的研究相對(duì)較少。

一般來(lái)說(shuō)混沌系統(tǒng)可分為耗散系統(tǒng)和保守系統(tǒng)。如果系統(tǒng)散度也即系統(tǒng)雅可比矩陣(J)的跡tr(J)小于零,則為耗散系統(tǒng),而如果tr(J)等于零,則系統(tǒng)為保守系統(tǒng)。特別地,有一個(gè)保守系統(tǒng)的tr(J)隨時(shí)間變化的平均值為零[11]。因此,保守系統(tǒng)具有一些區(qū)別于耗散系統(tǒng)的特征,例如散度、相體積的時(shí)間變化率為零(或接近零)以及Lyapunov 指數(shù)之和為零。另一方面,根據(jù)哈密頓能量值,保守系統(tǒng)可以分為哈密頓系統(tǒng)和非哈密頓系統(tǒng)。如果一個(gè)保守系統(tǒng)的哈密頓能量變化率為零,則該系統(tǒng)為哈密頓保守系統(tǒng);否則,為非哈密頓的保守系統(tǒng)。耗散系統(tǒng)產(chǎn)生的吸引子類型有極限環(huán)、匯以及混沌吸引子等,但保守混沌系統(tǒng)中沒(méi)有吸引子,其運(yùn)動(dòng)軌跡統(tǒng)稱為“流”[11],或稱之為混沌海。與耗散系統(tǒng)相比,保守系統(tǒng)在圖像加密等應(yīng)用的安全性和抵抗攻擊性方面更具有優(yōu)勢(shì),是因?yàn)槠錄](méi)有吸引子和對(duì)初始條件極端敏感性的特殊性[12-13]。

因此,保守系統(tǒng)近年來(lái)受到了越來(lái)越多的關(guān)注。2018 年,Singh 和Roy[14]提出了五個(gè)具有保守自治性質(zhì)和平衡點(diǎn)為非雙曲平衡點(diǎn)的四維混沌系統(tǒng),并用Lyapunov 指數(shù)譜、Poincaré 映射、分岔圖等分析了其動(dòng)力學(xué)特性。同年,Wu 等[15]提出了一個(gè)體積保守且具有非雙曲不動(dòng)點(diǎn)的五維光滑自治超混沌系統(tǒng)。2020年,Deng 等[16]提出了一種含有憶阻器和電容的三維保守混沌電路。該系統(tǒng)對(duì)初始值和參數(shù)高度靈敏,還有共存軌道和瞬態(tài)現(xiàn)象等特征。同年,Jia 等[17]基于Sprott-A 系統(tǒng),通過(guò)能量的分析,提出一個(gè)四維具有共存隱藏吸引子的新哈密頓保守系統(tǒng)。2022 年,Du等[18]提出了一個(gè)基于憶阻的五維保守混沌系統(tǒng),該系統(tǒng)具有多種準(zhǔn)周期拓?fù)?并具有同態(tài)和異態(tài)的多穩(wěn)態(tài)特性。對(duì)于上述提出的保守混沌系統(tǒng)簡(jiǎn)單列了一個(gè)表格,詳細(xì)信息見表1。通過(guò)表1 可知,隨著對(duì)保守混沌系統(tǒng)的研究深入,保守系統(tǒng)具有的豐富的動(dòng)力學(xué)特性也大量被發(fā)現(xiàn),但憶阻型保守混沌系統(tǒng)非常少。

表1 不同的保守混沌系統(tǒng)Tab.1 Different conservative chaotic systems

本文提出一個(gè)憶阻型四維保守混沌系統(tǒng),根據(jù)理論分析該系統(tǒng)為相體積守恒、能量不守恒的非哈密頓保守系統(tǒng)。系統(tǒng)具有多種準(zhǔn)周期拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及混沌流和準(zhǔn)周期流共存等特性。根據(jù)系統(tǒng)方程,設(shè)計(jì)Multisim 仿真電路,驗(yàn)證該系統(tǒng)的可行性。

1 保守混沌系統(tǒng)構(gòu)建及其分析

1.1 憶阻型系統(tǒng)模型

經(jīng)典保守混沌Sprott-A 系統(tǒng)[19],其系統(tǒng)方程表達(dá)式如式(1)所示:

式中:x、y、z為狀態(tài)變量。

在該系統(tǒng)中引入憶導(dǎo)M(u)=ku2+b的磁控憶阻器,系統(tǒng)方程可修改為:

這里為了得到復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,修改系統(tǒng)狀態(tài)方程組的第一個(gè)方程為=a(y-u),u為系統(tǒng)變量。其中,三階磁控憶阻的表達(dá)式為:

式中:i為流過(guò)憶阻器的電流;v為憶阻器兩端電壓;φ為磁通量。

當(dāng)令參數(shù)a=0.1,k=0.1,b=1,系統(tǒng)初始值為(0.1,0.1,0.1,0.1) 時(shí),用ODE45 算法進(jìn)行Matlab 仿真,系統(tǒng)的y-z,x-u,x-z平面和x-y-z空間的相軌圖如圖1 所示,從空間和不同平面的相軌圖上可以看出復(fù)雜的拉伸和折疊。此時(shí)系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)分別為L(zhǎng)E1=0.0382,LE2=0.0008,LE3=-0.0008,LE4=-0.0382,其中最大Lyapunov 指數(shù)大于0,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。其計(jì)算收斂過(guò)程曲線如圖2(a)所示,Lyapunov 指數(shù)之和如圖2(b)所示,可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)經(jīng)過(guò)暫態(tài)后的Lyapunov 指數(shù)之和為0。

圖1 系統(tǒng)混沌流相圖Fig.1 Phase diagrams of the chaotic flow

圖2 系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)譜和Lyapunov 指數(shù)之和Fig.2 Lyapunov exponent spectra of system and sum of Lyapunov exponents

1.2 平衡點(diǎn)分析

根據(jù)平衡點(diǎn)計(jì)算的特征值如表2 所示。由表2 可知,計(jì)算得到的平衡點(diǎn)E1和E2的特征方程是一樣的,其中A為二次項(xiàng)系數(shù),A=ak+ab+2+a,因此特征值也是一樣的。特征值實(shí)部為零,表明都為非雙曲平衡點(diǎn)。

表2 平衡點(diǎn)雅可比矩陣特征值Tab.2 Characteristic value of equilibrium Jacobian matrix

1.3 對(duì)稱性分析

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行坐標(biāo)變換(-x,-y,z,-u)?(x,y,z,u),如式(5)所示。

可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)方程并未發(fā)生改變。因此,在空間中,系統(tǒng)(2)的每組解都圍繞z軸對(duì)稱。

1.4 保守性分析

該系統(tǒng)的散度計(jì)算如公式(6)所示,表明該系統(tǒng)的耗散性僅和z有關(guān)。如果z的平均值為零[20-21],則系統(tǒng)具有保守性。當(dāng)參數(shù)a=0.1,k=0.1,b=1時(shí),初始值為(0.1,0.1,0.1,0.1),系統(tǒng)散度隨時(shí)間變化的平均值如圖3 所示。從圖3 可知,忽略瞬態(tài)部分,系統(tǒng)散度隨時(shí)間變化的平均值為零。

圖3 隨時(shí)間變化的z 的平均值Fig.3 The average of z varying with time

假設(shè)相空間中體積V(t)的任意閉合曲面為S(t)。設(shè)體積V(t)在經(jīng)過(guò)無(wú)窮小時(shí)間dt的體積為V(t+dt),則相應(yīng)的曲面面積為S(t+dt),則可得到:

式中:A和n分別表示曲面S的表面積和曲面上從內(nèi)到外的單位法向量。式(7)也可寫成如下表達(dá)式:

根據(jù)散度定理,可表示為式(9)。

其中(?·F)即為F的散度,根據(jù)式(6)～(9)可得到:

從式(10)可以得到,z隨時(shí)間變化的平均值為零(見圖3),也即系統(tǒng)的空間相體積是恒定的,系統(tǒng)是體積保守的。

1.5 能量分析

1991 年,Arnol'd 等[22]提出用Kolmogorov 系統(tǒng)來(lái)描述耗散強(qiáng)迫動(dòng)力系統(tǒng)或流體動(dòng)力學(xué)的不穩(wěn)定性。Kolmogorov 型變換可以判斷系統(tǒng)的哈密頓能量是否保守[17]。Kolmogorov 型變換可描述為[17,23]:

式中:x∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)變量;J(x)∈Rn·n表示反對(duì)稱矩陣;H(x):Rn→R代表哈密頓能量;{x,H(x)} 對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的能量保守部分;Δx對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的耗散部分;f為系統(tǒng)的外加能量。當(dāng)方程(11)中沒(méi)有Δx和f時(shí),哈密頓能量是一個(gè)非零常數(shù)(哈密頓能量的變化率等于零),即哈密頓能量守恒系統(tǒng);否則是非哈密頓系統(tǒng)。為了實(shí)現(xiàn)這種變換,系統(tǒng)(2)必須滿足反對(duì)稱條件[23]。因此,假設(shè)X=hx,Y=y,Z=z和U=mu,其中h和m是兩個(gè)非零常數(shù),系統(tǒng)(2)可寫為式(12)的變換:

該系統(tǒng)的哈密頓能量部分為:

對(duì)式(15)進(jìn)行計(jì)算,系統(tǒng)的哈密頓能量變化率為:

很明顯該系統(tǒng)的哈密頓能量變化率不為零,即該系統(tǒng)為非哈密頓能量的體積保守混沌系統(tǒng)。

1.6 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響

隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,系統(tǒng)會(huì)處于不同的狀態(tài)。固定初始值(0.1,0.1,0.1,0.1),當(dāng)參數(shù)b=1,k=0.1 時(shí),參數(shù)a在[0,10]范圍內(nèi)的Lyapunov 指數(shù)譜如圖4(a)所示,狀態(tài)變量y隨參數(shù)a變化的分岔圖如圖4(c)所示?？梢缘玫?參數(shù)a在區(qū)間[0,1.56],[2.04,2.48],[2.58,2.72],[2.83,3.07],[3.60,4.02]處于混沌狀態(tài),在區(qū)間[1.57,2.03],[2.49,2.57],[2.73,2.82],[3.08,3.59],[4.03,10]處于準(zhǔn)周期狀態(tài)。當(dāng)參數(shù)a=0.1,k=0.1 時(shí),參數(shù)b在[0,10]范圍內(nèi)的Lyapunov 指數(shù)譜如圖4(b)所示,狀態(tài)變量y隨參數(shù)b變化的分岔圖如圖4(d)所示?？梢缘玫?參數(shù)b在區(qū)間[0,1.48],[3.09,3.75]處于混沌狀態(tài),在區(qū)間[1.49,3.08],[3.76,10]處于準(zhǔn)周期狀態(tài)。系統(tǒng)隨a、b參數(shù)變化的Lyapunov 指數(shù)之和分別如圖4(e)和(f)所示?？偟膩?lái)說(shuō),系統(tǒng)(2)從混沌狀態(tài)開始,隨著a、b參數(shù)的變化,系統(tǒng)存在混沌狀態(tài)和準(zhǔn)周期狀態(tài)的來(lái)回切換,最后穩(wěn)定在準(zhǔn)周期狀態(tài)。Lyapunov 指數(shù)譜具有關(guān)于水平x軸對(duì)稱的結(jié)構(gòu),系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)之和為零。此外,分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜也相對(duì)應(yīng)。

圖4 系統(tǒng)隨參數(shù)a、b 變化的Lyapunov 指數(shù)譜、分岔圖以及Lyapunov 指數(shù)之和Fig.4 Lyapunov exponent spectra,bifurcation diagrams and sum of Lyapunov exponent of the system varying with a, b

參數(shù)a、k和初始值同上,b取值準(zhǔn)周期狀態(tài)區(qū)間,隨b值的變化,系統(tǒng)(2)具有豐富的準(zhǔn)周期拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。b取不同值時(shí),x-z平面準(zhǔn)周期相軌圖如圖5 所示。

圖5 b 取不同值的準(zhǔn)周期拓?fù)湎嘬増DFig.5 Quasi-periodic topological phase diagrams with b in different values

從圖4(b)中可以得到,當(dāng)b=1 時(shí)為混沌狀態(tài),b=10 時(shí)為準(zhǔn)周期狀態(tài)。固定參數(shù)a=0.1,k=0.1,初始值(0.1,0.1,0.1,0.1),當(dāng)b=1 時(shí),y-z,xz,z-u平面的混沌流相圖(青綠色)如圖6(a),(c),(e)所示;當(dāng)b=10 時(shí),對(duì)應(yīng)平面的準(zhǔn)周期流相圖(青綠色)如圖6(b),(d),(f)。紅點(diǎn)則顯示了圖6 中yz,x-z,z-u各個(gè)切面上對(duì)應(yīng)的Poincaré 映射。根據(jù)系統(tǒng)不同平面上的Poincaré 映射,可得到驗(yàn)證: 準(zhǔn)周期的Poincaré 映射是一條閉合曲線或只有有限個(gè)點(diǎn),而混沌的Poincaré 映射是一些離散點(diǎn)。

圖6 系統(tǒng)混沌流和準(zhǔn)周期流相圖及其Poincaré 映射Fig.6 Phase diagrams of the chaotic flows and quasi-periodic flows and their Poincaré map

1.7 初始值對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)不變時(shí),不同初始值可能會(huì)產(chǎn)生具有多個(gè)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子(保守系統(tǒng)的混沌流或準(zhǔn)周期流)稱為多穩(wěn)態(tài)。系統(tǒng)(2)對(duì)初始值變化敏感,受初始值影響,可產(chǎn)生混沌流和準(zhǔn)周期流的狀態(tài)切換。參數(shù)a=0.1,k=0.1,b=1 保持不變時(shí),設(shè)初始值為(0.1,y(0),0.1,0.1) 或(0.1,0.1,z(0),0.1)。關(guān)于初始值y(0)和z(0)的Lyapunov 指數(shù)譜和相應(yīng)分岔圖如圖7 所示。從圖7 可知,所有Lyapunov指數(shù)譜也關(guān)于水平x軸對(duì)稱。根據(jù)圖7(a),當(dāng)y(0)在區(qū)間[-5,-1.3],[-0.64,0.5]和[1.52,5]系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),當(dāng)y(0) 在區(qū)間[-1.29,-0.65],[0.51,1.51]系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期狀態(tài)。從圖7(c)可得z(0)取值[-5,5],系統(tǒng)始終處于混沌狀態(tài)。

圖7 系統(tǒng)隨初始值y(0)、 z(0)變化的Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖Fig.7 Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagrams of the system varying with initial values y(0), z(0)

1.8 共存現(xiàn)象

固定參數(shù)值時(shí),系統(tǒng)(2)可以由不同的初始值產(chǎn)生無(wú)窮多個(gè)共存流。有趣的是,對(duì)于不同的初始值,該系統(tǒng)可產(chǎn)生混沌流和不同幅度周期流的非對(duì)稱共存。選取參數(shù)a=0.1,k=0.1,b=1 不變,如圖8(a)所示,可產(chǎn)生初始值為(0.1,0.01,0.1,0.1)的混沌流(藍(lán)色),(0.1,0.05,0.1,0.1)的混沌流(紅色),(0.1,0.8,0.1,0.1)的周期流(青綠色),(0.1,1,0.1,0.1)的周期流(玫紅色)共存現(xiàn)象。此外,固定參數(shù)a=0.1,k=0.1,b=10,改變系統(tǒng)初始值,還可得到準(zhǔn)周期共存流,如圖8(b)所示,初始值分別為(0.1,0.1,0.1,0.1) (紅色),(-0.1,-0.1,0.1,-0.1)(藍(lán)色),(0.1,0.1,0.1,-0.1)(青綠色)的準(zhǔn)周期流共存現(xiàn)象。

圖8 系統(tǒng)在不同初始值下的共存現(xiàn)象Fig.8 Coexistence of the system with different initial values

2 電路實(shí)現(xiàn)

本部分根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和電路理論設(shè)計(jì)系統(tǒng)(2)的等效模擬電路。選取參數(shù)a=0.1,k=0.1,b=1 設(shè)計(jì)系統(tǒng)電路,對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)方程進(jìn)行時(shí)間尺度變換,令t=δτ,δ為時(shí)間尺度變換因子,取δ=1000,如式(17)所示:

根據(jù)式(17)所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的電路原理圖如圖9 所示,相應(yīng)的電路方程為式(18)所示。

圖9 系統(tǒng)Multisim 仿真電路Fig.9 Multisim emulator circuit of the system

該電路采用線性電阻、電容、運(yùn)算放大器、模擬乘法器等電路元件。其中,運(yùn)算放大器所選擇的工作電壓為±15 V。計(jì)算所得的電容、電阻值如圖9 所示。Multisim 電路仿真結(jié)果如圖10 所示,與Matlab 的數(shù)值仿真結(jié)果對(duì)比,整體上是一致的,其結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。

圖10 Multisim 仿真相軌圖Fig.10 Phase diagrams by Multisim software simulation

3 結(jié)論

本文提出一類基于憶阻器的四維保守混沌系統(tǒng),通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)散度和對(duì)其進(jìn)行Kolmogorov 型變換分析了它的保守性,該系統(tǒng)散度隨時(shí)間變化的平均值為零,哈密頓能量變化率不為零,因此為相體積守恒、哈密頓能量不守恒的保守混沌系統(tǒng)。分析了系統(tǒng)隨參數(shù)和初始值變化的Lyapunov 指數(shù)譜和分岔圖,發(fā)現(xiàn)其具有Lyapunov 指數(shù)之和為零、Lyapunov 指數(shù)譜關(guān)于水平x軸對(duì)稱等特征;還具有多種準(zhǔn)周期拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),同態(tài)和異態(tài)共存的多穩(wěn)態(tài)特性。最后,通過(guò)模擬電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了相關(guān)的理論分析的正確性。保守系統(tǒng)比耗散系統(tǒng)在圖像加密方面的應(yīng)用更具優(yōu)勢(shì),該保守系統(tǒng)的提出為混沌在圖像加密方面的應(yīng)用提供性能優(yōu)良的備選系統(tǒng)。