馬洪博

平面向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.具體設計高考命題時，可從幾何角度來設置，也可從代數(shù)角度來設置，借助平面向量的相關概念、公式及其變形、定理性質、運算等來創(chuàng)設情境，綜合相關知識與數(shù)學思想方法，考查相關的數(shù)學核心素養(yǎng)等；平面向量還可設計運動變化的情境，即運動的點、運動的向量、變化的角等，這樣可將向量與最值、定值問題相關聯(lián)，利用函數(shù)、基本不等式、三角函數(shù)等工具，探究相關的最值問題.這類問題融基礎性、綜合性、創(chuàng)新性于一體，較為全面地考查考生數(shù)學運算素養(yǎng)、數(shù)學抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)等，考查學生的邏輯思維能力.

1.注重平面向量概念，考查數(shù)學基礎知識

點評：圍繞平面向量所對應的平面幾何圖形實質，構建對應的平面幾何圖形，串聯(lián)起平面向量的數(shù)量積、線性運算與對應的平面幾何圖形中的長度、角度等之間的聯(lián)系，從而有效實現(xiàn)平面向量向幾何、代數(shù)的巧妙結合與合理轉化.

5.注重思想方法應用，考查解決問題能力

平面向量問題中，結合對應的幾何或代數(shù)特征，可以很好滲透數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想、一般與特殊思想等思想方法方面的應用，很好落實解決問題的能力與應用.

例5 （2022年全國甲卷理·13）設向量a→，b→的夾角的余弦值為13，且|a→|=1，|b→|=3，則（2a→+b→）·b→=＿＿＿.

分析：結合題設條件，從一般與特殊思想入手，巧妙構建特殊平面幾何圖形——直角三角形，綜合相關信息，合理直觀形象地構建起對應的數(shù)學模型，利用數(shù)學模型的直觀來轉化與處理.

解析：依題意，構建如圖2所示的Rt△OAB，OA=a→，OB=b→，cos∠AOB=13，

結合平面向量的投影，可知a→·b→=|a→|2=1，

則有（2a→+b→）·b→=2a→·b→+b→·b→=2×1+32=11，故填11.

點評：圍繞一般與特殊思維，借助與之相關的元素（涉及函數(shù)、向量、圖形等，這里是特殊圖形）構建，合理數(shù)學建模，巧妙綜合應用.這里利用特殊平面幾何圖形，“數(shù)”與“形”相結合，直觀形象分析，減少數(shù)學運算，優(yōu)化邏輯推理.

平面向量試題注重數(shù)學基礎知識和基本技能的考查，主要考查平面向量運算及其幾何意義、用平面向量的數(shù)量積判斷兩個向量的垂直關系，以及平面向量與其他知識、思想方法相關聯(lián)的問題等，能充分體現(xiàn)考生對解題經(jīng)驗與技巧方法的積累程度，以及數(shù)學運算與直觀想象核心素養(yǎng)的水平.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2017.

［2］韓文美.平面向量的數(shù)量積的解題策略［J］.中學生數(shù)理化（高一數(shù)學），2018，No.731（05）：8-9.