楊克林

眾所周知，數(shù)學(xué)探究是一種尋求新知的過程，同時也一種教學(xué)模式，是一種在教師指導(dǎo)下學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程.數(shù)學(xué)探究教學(xué)在激發(fā)學(xué)習(xí)動機、豐富學(xué)生學(xué)習(xí)方式、增強學(xué)習(xí)效果、培養(yǎng)創(chuàng)新人才上具有其他教學(xué)方式不可替代的功能.但當(dāng)前的數(shù)學(xué)探究教學(xué)也存在形式化及無序性等弊端.例如，探究的問題要么過于簡單，使得探究過程流于形式，要么探究的問題過難，學(xué)生無處探究；在探究過程中，要么教師過度干預(yù)，探究成為了教師的“表演”，要么教師指導(dǎo)缺位，學(xué)生盲目探究.若要從根本上解決探究教學(xué)中存在的這些弊端，首先必須要讓學(xué)生明確探究的路徑，從而使得數(shù)學(xué)探究成為一種有序的學(xué)習(xí)活動.最近，筆者觀摩了一堂市級數(shù)學(xué)教學(xué)公開課，教學(xué)的課題是“線面垂直的性質(zhì)定理”.本文結(jié)合這堂課的教學(xué)過程，談?wù)剬?shù)學(xué)探究教學(xué)的一點認(rèn)知.

1 探究教學(xué)過程簡介

首先，教師讓學(xué)生回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，復(fù)習(xí)線面垂直的判斷定理，然后問學(xué)生，類比前面的學(xué)習(xí)順序，接下去要學(xué)習(xí)什么？學(xué)生自然想到應(yīng)該學(xué)習(xí)“性質(zhì)定理”，接著教師又問，是怎么樣的性質(zhì)定理？對于這個問題，學(xué)生眾說紛紜，有的認(rèn)為應(yīng)該研究線線垂直，有的則認(rèn)為面面垂直.看到回答內(nèi)容有些混亂，教師就直接給出了性質(zhì)定理“同垂直于同一平面的兩條直線平行”.

接下去就是定理的證明環(huán)節(jié)，首先教師讓學(xué)生把用文字語言描述的定理轉(zhuǎn)化為符號語言“已知直線a⊥平面α，直線b⊥平面α，則a//b”，然后就讓學(xué)生自主探究證明的過程.利用線面垂直的判斷定理，就很容易證明這個定理.最后，就進入了性質(zhì)定理的應(yīng)用環(huán)節(jié)，這也是本節(jié)課的重點強調(diào)，一節(jié)課中的三分之二時間都花在這個環(huán)節(jié)上.

筆者認(rèn)為，雖然本節(jié)課進行了所謂的“探究”教學(xué)，但實際上探究的過程只留于表層，或者說探究的層次非常的淺.首先，在判斷定理的猜想環(huán)節(jié)，學(xué)生處于一種“盲猜”狀態(tài)，因為大多學(xué)生根本不知道究竟什么是性質(zhì)，什么是性質(zhì)定理，最后教師只能自己給出定理的內(nèi)容；其次，定理證明環(huán)節(jié)，并不是學(xué)生獨立的探究發(fā)現(xiàn)過程，更多的是在教師引導(dǎo)下的一種常規(guī)證明；而且，本節(jié)課也沒有對性質(zhì)定理再進一步深入的探究，而是把大量的時間花在學(xué)生習(xí)題訓(xùn)練上.

2 探究教學(xué)路徑要義

數(shù)學(xué)探究目的就是引導(dǎo)學(xué)生以自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、展開和應(yīng)用的過程，在探究中感受數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，發(fā)展解決問題的策略.倘若沒有設(shè)計好探究路徑的指示牌，就會造成學(xué)生探究方向不明，探究效率低下，從而探究活動難以達到預(yù)期的效果.

對于數(shù)學(xué)探究，首先應(yīng)該明確開展數(shù)學(xué)探究教學(xué)本身的總路徑，即提出問題-猜測結(jié)論-制定方案-驗證（證明）結(jié)論-應(yīng)用結(jié)論.這是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)探究教學(xué)與常規(guī)教學(xué)的標(biāo)志，是確保數(shù)學(xué)探究課具備“探究”意義的關(guān)鍵.在大路徑明確的前提下，還要進一步明確針對不同數(shù)學(xué)對象如何開展探究的基本路徑.比如，數(shù)學(xué)概念構(gòu)建的路徑、推理證明的路徑、數(shù)學(xué)解題的路徑等.數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程是按照“背景—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”；解題探究的過程是按照“嘗試—碰撞-優(yōu)化-應(yīng)用”等過程.再進一步細(xì)化，還需要明確研究某一個知識模塊的路徑，比如，研究立體幾何的“直觀感知-操作確認(rèn)-思辨論證-度量計算”的路徑，研究向量運算的“運算背景-運算規(guī)則-運算性質(zhì)-運算定律”的路徑，研究解析幾何的“幾何問題代數(shù)化，代數(shù)式子坐標(biāo)化”的路徑等.繼續(xù)細(xì)化，還需明確探究某個知識點的路徑，比如，利用“圖像直觀”來研究函數(shù)性質(zhì)的路徑、利用“數(shù)形結(jié)合”來研究函數(shù)零點的路徑、利用“單位圓的對稱性”來研究三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的路徑.只有對研究路徑的不斷細(xì)化，數(shù)學(xué)探究的路徑才會逐步清晰，從而被納入學(xué)生的“已有經(jīng)驗”中，真正實現(xiàn)有序探究的目的.

3 探究教學(xué)改進建議

對于“線面垂直性質(zhì)定理”探究教學(xué)，其關(guān)鍵是必須明確三個問題.首先，何為性質(zhì)？所謂的性質(zhì)就是線面垂直的一個必要條件，即已知“直線與平面垂直”能推出什么樣的結(jié)論，但“性質(zhì)”有很多，到底哪個性質(zhì)才被稱為“定理”，要明確探究的第二個問題，也即“何為性質(zhì)定理”.一般地，立體幾何中，性質(zhì)定理的產(chǎn)生一般都基于兩個方面的需求.一是，解決實際問題的需求，比如，在證明線面平行時，需要在平面內(nèi)找到一個直線與平面外的直線平行，但有時平面內(nèi)的這條直線不好找，怎么辦？這可以從必要性的角度去分析，去找線索，即如果直線已經(jīng)與平面平行了，它會具備怎樣的性質(zhì)，而這個性質(zhì)剛好能夠幫助找到所需要的“平面內(nèi)”的直線.另一個需求就是數(shù)學(xué)知識自我完善的需求，例如，線面平行的判斷定理已經(jīng)解決了從“線線平行”到“線面平行”推理，那么能不能倒推呢？如果能夠倒推，就形成了邏輯推理的“閉環(huán)”.基于這兩個方面的思考，于是線面平行的性質(zhì)定理就是“已知直線平行平面，若過這條直線的平面與已知平面相交，那么這條直線與交線平行”，即從“線面平行”推出了“線線平行”.面面平行的性質(zhì)定理也是按照這樣的邏輯進行確定的，即從“面面平行”推出“線線平行”，這就形成了針對整個空間平行關(guān)系的推理閉環(huán).

線面垂直的性質(zhì)定理也可以類比空間平行關(guān)系的性質(zhì)定理的研究路徑來確定.因此，首先讓學(xué)生回顧線面平行、面面平行的判斷定理及性質(zhì)定理，在明確兩個定理的功能，進一步猜想線面垂直的性質(zhì)定理應(yīng)該是怎樣的.但線面垂直的性質(zhì)定理與前面的又有差異，因為根據(jù)線面垂直的定義，實現(xiàn)了由“線面垂直”到“線線垂直”的推導(dǎo)，根據(jù)線面垂直的判斷定理，又實現(xiàn)了由“線線垂直”到“線面垂直”的推導(dǎo)，垂直關(guān)系的推理閉環(huán)問題已經(jīng)解決，這就導(dǎo)致線面垂直的判斷定理的確定又陷入了迷茫之中.面對這個問題，教師不妨讓學(xué)生大膽的猜想：能否建立起空間垂直關(guān)系與平行關(guān)系的聯(lián)系？如果能夠建立起來，就實現(xiàn)了平行與垂直關(guān)系的之間推理，這樣的性質(zhì)定理也更具價值.這樣一來，線面垂直性質(zhì)定理的探究路徑明確了，即從“線面垂直”推出“線線平行”.

最后要解決的是第三個問題，即性質(zhì)定理的構(gòu)成要素，即條件是什么，結(jié)論是什么.現(xiàn)在條件很清楚了，即“已知直線與平面垂直”，結(jié)論是“直線與直線平行”，當(dāng)然這個命題的條件還不夠充分，需要再增加其它條件.那么應(yīng)該增加什么條件？通過分析空間平行關(guān)系的性質(zhì)定理的構(gòu)成要素，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成性質(zhì)定理還需要引入“新的幾何對象”并賦予“新的位置關(guān)系”.現(xiàn)在的結(jié)論涉及到“直線與直線平行”，因此引入的新的幾何對象肯定是“直線”，至于“這條新的直線”與已知直線、已知平面的位置關(guān)系可以通過枚舉的方法進行確定.不妨設(shè)已知的直線為a，已知的平面為α，新引入的直線為b.在直線a⊥平面α的前提下，如果b∥α，a∥b成立嗎？如果bα，a//b成立嗎？如果b⊥α，a∥b成立嗎？這樣性質(zhì)定理就很容易被確定出來了.按照這樣的思路，如果引入的其它幾何對象，比如平面，通過改變其位置關(guān)系，就可以獲得更多的性質(zhì)，然后讓學(xué)生判斷這些性質(zhì)的真假，并進行證明或說明.這樣一來，整節(jié)課探究意義就更加明顯了.

總之，凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢.數(shù)學(xué)探究的路徑要根據(jù)學(xué)習(xí)目標(biāo)進行精心預(yù)設(shè)，從而在確保探究活動自然發(fā)生的同時，發(fā)展學(xué)生是核心素養(yǎng)，實現(xiàn)學(xué)生從“學(xué)會”到“會學(xué)”的跨越.