只能“平行于x軸”嗎？

1 問題呈現(xiàn)

題目 已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且過A（0，－2），B（32，－1）兩點(diǎn)．

（1）求E的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P（1，－2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足MT=TH．證明：直線HN過定點(diǎn)．

本題是2022年高考全國乙卷理科的第20題，也是文科的第21題（以下簡稱考題）．用待定系數(shù)法易得E的方程為x23+y24=1，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．第（2）問研究動(dòng)直線過定點(diǎn)問題，是解析幾何中的熱點(diǎn)問題，常考常新．

2 解法探究

命題4 如圖7，已知P為橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓C的切線，切點(diǎn)分別為Q，R，過點(diǎn)P的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于PR（PQ）的直線與線段RN（QN）交于點(diǎn)H，則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上．

（證明留給讀者自行完成）

通過以上的探究，可見考題是“命題2＋命題4”下的特殊狀態(tài)：點(diǎn)A與切點(diǎn)R重合于橢圓的下頂點(diǎn)，切線PA與x軸平行．而在一般的狀態(tài)下，切線PR與x軸不平行，平行線的不同作法，會造就不一樣的動(dòng)點(diǎn)T在定直線上和動(dòng)直線NH過定點(diǎn)，更顯解析幾何“動(dòng)中取靜”的精彩．

圓錐曲線的魅力就在于一個(gè)結(jié)論的精彩往往不只在一條曲線中綻放．在雙曲線、拋物線中同樣可探得如下的結(jié)論：

命題5 已知A為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的三條直線分別交雙曲線C于M，B，N三點(diǎn)（均異于點(diǎn)A），滿足1kAM+1kAN=2kAB．過M且平行于x軸的直線與直線AN交于點(diǎn)H，則線段MH的中點(diǎn)T在直線AB上．

命題6 已知P為雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線C的切線，切點(diǎn)分別為Q，R，過點(diǎn)P的直線交雙曲線C于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于PR（PQ）的直線與直線RN（QN）交于點(diǎn)H，則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上．

命題7 已知A為拋物線C：y2=2px（p＞0）上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的三條直線分別交拋物線C于M，B，N三點(diǎn)（均異于點(diǎn)A），滿足1kAM+1kAN=2kAB．過M且平行于x軸的直線與直線AN交于點(diǎn)H，則線段MH的中點(diǎn)T在直線AB上．

命題8 已知P為拋物線C：y2=2px（p＞0）外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的切線，切點(diǎn)分別為Q，R，過點(diǎn)P的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于PR（PQ）的直線與直線RN（QN）交于點(diǎn)H，則線段MH的中點(diǎn)T在直線RQ上．

參考文獻(xiàn)

［1］ 張培強(qiáng)．對一道解析幾何聯(lián)考試題的拓展探索［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)研究（上半月），2022（5）：32-35．

［2］ 張培強(qiáng)．九層之臺 起于累土——對一道解析幾何題的賞析［J］．中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2021（5）：50-53．

［3］ 張培強(qiáng)．幾何畫板助力橢圓中的蝴蝶翻飛——對橢圓中“斜率定商”的探索［J］．?dāng)?shù)學(xué)之友，2017（12）：80-84．