梳理命題內(nèi)涵，掌握證明術(shù)語

徐菊萍

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿諾爾德說過：“證明之于數(shù)學(xué)，猶如拼寫之于詩歌。如同詩歌由字符組成一樣，數(shù)學(xué)工作是由證明組成的?！睌?shù)學(xué)在定義、公理基礎(chǔ)上，通過推理、證明得到一系列定理，從而組成邏輯體系。證明常常會涉及“定理”“公理”“推理”等名詞，有的同學(xué)往往因為不能辨析這些名詞，影響了下一步的學(xué)習(xí)。下面，讓我們一起來梳理這些名詞的內(nèi)涵和關(guān)系。

一、命題的概念

判斷一件事情的句子叫作命題。我們從現(xiàn)代漢語語法角度來理解，命題通常是一個陳述句，不是短語。疑問句、祈使句、感嘆句等句子也都不是命題。

例1 下面的句子中，是命題的有__________。

（1）小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)；（2）教室里的學(xué)生；（3）你吃飯了嗎？（4）內(nèi)錯角相等；（5）延長線段AB；（6）今天的天氣真好?。。?）若[a]＞[b]，則a＞b；（8）對頂角相等；（9）兩直線平行，同位角相等；（10）同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫作平行線。

【解析】（2）是短語；（3）是疑問句；（5）是祈使句；（6）是感嘆句。它們都不是命題。而（1）（4）（7）（8）（9）（10）都在做判斷，是命題。故答案為：（1）（4）（7）（8）（9）（10）。

判斷一個語句是不是命題，不要與判斷結(jié)果的對錯混淆。（1）（4）（7）都是判斷錯誤的語句，它們是假命題，也是命題。

二、命題的組成

命題由條件（題設(shè)）和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題?？梢詫懗伞叭绻敲础钡男问?。其中，“如果”之后的部分是條件，“那么”之后的部分是結(jié)論。

我們同樣可以利用現(xiàn)代漢語語法，來幫助我們改寫命題的形式。首先，找到句子中的主語，再確定其條件和結(jié)論。其中，條件和結(jié)論的主語是一致的。

如例1（1）中，“小數(shù)”說明主語是“數(shù)”，“小”是定語，用來修飾“數(shù)”。而后面的“化成分?jǐn)?shù)”是“謂語+賓語”結(jié)構(gòu)，是判斷的結(jié)論。因此，該命題可以改寫為：如果一個數(shù)是小數(shù)，那么這個數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)。

（4）中，主語是“角”，“內(nèi)錯”是定語，“相等”是謂語。表明主語怎么樣，是判斷的結(jié)論。因此，該命題可以改寫為：如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等。

例1中還有3個命題，請大家嘗試模仿上述方法來改寫。

三、命題的真假

既然命題是可以判斷的，就必然會產(chǎn)生“對和錯”兩種結(jié)果。根據(jù)判斷的結(jié)果對錯，命題又分為真命題和假命題。真命題是正確的命題，即如果命題的題設(shè)成立，那么結(jié)論成立。常見的真命題有哪些呢？

1.定義。定義是揭示一個事物區(qū)別于其他事物特征的句子，如例1中的（10）。定義的結(jié)構(gòu)常常為“A叫作B”，其中B是名詞。

2.公理。公理是人們在長期實踐中總結(jié)出來的正確的命題。公理的正確性是在實踐中得以證實的，被大家公認(rèn)的，不再需要證明，并且它可以作為證明其他真命題的依據(jù)。蘇科版教材也稱公理為基本事實，比如例1中的（9）。

3.定理。經(jīng)過證明的真命題稱為定理。比如，由例1中的（9），可以證明得到定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”。

4.推論。由一個定理直接推出的正確結(jié)論，叫作這個定理的推論。比如，由三角形內(nèi)角和定理，推出的推論為“多邊形的外角和為360°”。

例1中，（8）（9）（10）都是真命題。其中，公理和定義不需要證明，也不能證明，而定理、推論和其他的真命題則需要證明。假命題是錯誤的命題，即如果一個命題的題設(shè)成立，不能保證結(jié)論一定成立。

四、命題的互逆

如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論與條件，那么這兩個命題稱為互逆命題。其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。由于每個命題都由條件和結(jié)論組成，只要把一個命題的條件和結(jié)論互換，就得到它的逆命題，因此每個命題都有逆命題。

比如，例1中（9）的逆命題是“同位角相等，兩直線平行”。

那么（4）的逆命題是什么呢？對于這樣的不能明顯看出條件和結(jié)論的命題，我們可以先將命題改寫成“如果A，那么B”的形式，先找到條件和結(jié)論，然后把A和B對調(diào)。比如（4）改寫為：如果兩個角是內(nèi)錯角（A），那么這兩個角相等（B）。交換A和B的位置，可得逆命題：如果兩個角相等（B），那么這兩個角是內(nèi)錯角（A）。

值得注意的是，原命題的真假與逆命題的真假無關(guān)，比如，（9）是真命題，但其逆命題是假命題。

五、命題的證明

根據(jù)已知的真命題，確定某個命題真實性的過程叫作證明。真假命題的證明方法不一樣。

假命題的證明方法：舉反例，即舉出一個符合命題的條件，但命題結(jié)論不成立的例子來說明命題是假命題。

比如，例1中（1）的條件是“一個數(shù)是小數(shù)”，結(jié)論是“這個數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)”，要證明這個命題是假的，我們只要找到一個不能化成分?jǐn)?shù)的小數(shù)即可。因此，我們可以找任何一個無限不循環(huán)小數(shù)。它符合條件，是小數(shù)；但不符合結(jié)論，它是無理數(shù)，不能化成分?jǐn)?shù)。這就是舉反例。

真命題的證明方法：我們學(xué)習(xí)的主要是符號命題的證明，直接推理即可。與圖形有關(guān)的文字命題的證明是同學(xué)們的薄弱之處，我們可以通過數(shù)學(xué)三種語言的“翻譯”，轉(zhuǎn)化來理解（如圖1）。

例2 證明命題“三角形不共頂點的三個外角的和等于360°”是真命題。

【解析】首先，我們要分析命題的條件和結(jié)論，將其分別“翻譯”成包含“已知”和“求證”的符號語言，并畫出圖形。本題的條件是“有三個角是三角形不共頂點的外角”，結(jié)論是“這三個角的和等于360°”。由于本題涉及一個三角形及其三個不共頂點的外角，故我們可畫出圖2，結(jié)合圖形，將條件翻譯成“已知”，將結(jié)論翻譯成“求證”，然后完成推理過程。

已知：如圖2，∠1、∠2、∠3分別是△ABC的三個外角。求證：∠1+∠2+∠3=360°。

本題證明方法有多種，我們選擇一種證明如下。

證明：∵∠1+∠BAC=180°，∠2+∠ABC=180°，∠3+∠ACB=180°（平角定義），

且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角形內(nèi)角和定理），

∴∠1+∠2+∠3=180°×3-180°=360°（等式性質(zhì)），

即∠1+∠2+∠3=360°。

答：命題“三角形不共頂點的三個外角的和等于360°”是真命題。

推理能力主要指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。其中，利用直覺、聯(lián)想、觀察、實驗、歸納、類比等方法進行的推理是合情推理，可以幫助我們得出猜想或結(jié)論，而例2屬于演繹推理，是對猜想和結(jié)論進行的邏輯推理。

幾何知識的抽象性比較強，作為初中階段的我們，要梳理圖形和相關(guān)概念的關(guān)系，養(yǎng)成推理意識，借用其他學(xué)科的知識，學(xué)會嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龇椒ê屯评矸椒?，形成推理能力?/p>

（作者單位：江蘇省蘇州市吳中區(qū)獨墅湖中學(xué)）