妙用數(shù)學(xué)定理，解決生活問(wèn)題

康海芯

三角形內(nèi)角和定理及其外角性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)證明的重要內(nèi)容之一，揭示了三角形的內(nèi)角、外角數(shù)量關(guān)系。它在生活中有廣泛的應(yīng)用，下面我們舉例說(shuō)明。

一、善用三角形內(nèi)角和，計(jì)算視角度數(shù)

例1 如圖1，C島在A島的北偏東45°方向，C島在B島的北偏西25°方向，則從C島看A、B兩島的視角∠ACB的度數(shù)為_(kāi)_________°。

【解析】要求∠ACB的度數(shù)，可以考慮連接AB，構(gòu)造△ABC，先求出∠CAB與∠ABC的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解。

解：連接AB，如圖2。

∵C島在A島的北偏東45°方向，在B島的北偏西25°方向，

∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°。

∵∠ACB+∠CAB+∠ABC=180°，

∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°

-110°=70°。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形內(nèi)角和的應(yīng)用題，解答本題的關(guān)鍵是連接AB構(gòu)造三角形，利用三角形內(nèi)角和定理求解。

二、活用三角形內(nèi)角和，確定客機(jī)飛行角度

例2 如圖3，飛機(jī)要從A地飛往B地，因受大風(fēng)影響，一開(kāi)始就偏離航線（AB）18°飛到了C地（即∠A=18°），經(jīng)B地的導(dǎo)航站測(cè)得∠ABC=10°。此時(shí)，飛機(jī)必須沿某一方向飛行才能到達(dá)B地。那么，這一方向與水平方向的夾角∠BCD=____________。

【解析】要求∠BCD的度數(shù)，結(jié)合已知條件，根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”求解。因?yàn)椤螦=18°，∠ABC=10°，所以∠BCD=∠A+∠B=28°。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用題，解答本題的關(guān)鍵是抓住所求角度與已知角之間存在的數(shù)量關(guān)系，直接利用三角形的外角性質(zhì)求解。

三、巧用三角形外角性質(zhì)，檢驗(yàn)零件合格性

例3 一個(gè)零件的形狀如圖4所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠C應(yīng)分別是21°和32°。檢驗(yàn)工人量得某個(gè)零件∠BDC=148°，就斷定這個(gè)零件不合格。這是為什么？

【解析】本題只要求出合格零件的∠BDC的度數(shù)即可，可以適當(dāng)添加輔助線，如延長(zhǎng)CD，交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠DEB，再利用三角形外角性質(zhì)求得∠BDC。

解：如圖5，延長(zhǎng)CD，交AB于點(diǎn)E，

∵∠A=90°，∠C=32°，

∴∠DEB=∠A+∠C=90°+32°=122°。

∵∠B=21°，

∴∠BDC=∠DEB+∠B=122°+21°=143°。

∵工人量得這個(gè)零件的∠BDC=148°，

∴此零件不合格。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用題，解答關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形，兩次利用“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”進(jìn)行求解、驗(yàn)證。

四、妙用三角形內(nèi)角和，科學(xué)調(diào)整椅子角度

例4 圖6是折疊式沙發(fā)椅的示意圖，相關(guān)數(shù)據(jù)已經(jīng)標(biāo)注在圖中。AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A、∠B、∠E的大小保持不變。為更舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=120°，則圖6中∠D應(yīng)____________（填“增加”或“減少”）____________°。

【解析】如圖7，延長(zhǎng)EF，交CD于點(diǎn)G。先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB=75°，再利用“對(duì)頂角相等”可得∠GCE=∠ACB=75°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠FGD=105°，最后利用三角形的外角性質(zhì)，求出調(diào)整后∠D的度數(shù)為15°。所以∠D應(yīng)減少5°。

【點(diǎn)評(píng)】本題是一道考查三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造新的三角形，利用三角形的內(nèi)角和及外角性質(zhì)進(jìn)行求解。

（作者單位：廣東省深圳市龍華中學(xué)）