朱禮佳

(上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院(集團(tuán))有限公司,200092,上海∥工程師)

軌道交通車輛經(jīng)過(guò)曲線段時(shí)會(huì)產(chǎn)生離心力。為了平衡離心力,提升乘坐舒適度,曲線段軌道需設(shè)置超高。曲線段軌道超高值(以下簡(jiǎn)稱“超高值”)一般在緩和曲線內(nèi)遞減,其超高順坡率不宜大于2‰。由于存在軌道超高,車輛會(huì)產(chǎn)生傾角,在盾構(gòu)區(qū)間內(nèi),車輛中心線就會(huì)偏離盾構(gòu)中心線,這種偏移即為盾心偏移。在設(shè)計(jì)過(guò)程中,可將該偏移量提前計(jì)入盾心坐標(biāo)中,使盾構(gòu)中心線與車輛中心線重合,從而提高盾構(gòu)掘進(jìn)準(zhǔn)確度,降低后期調(diào)線調(diào)坡難度。

超高順坡率恒定的緩和曲線盾心坐標(biāo)計(jì)算方法已相對(duì)成熟。然而,在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中,受城市建設(shè)條件的限制,常會(huì)遇到緩和曲線侵入站臺(tái)的情況。對(duì)此,設(shè)計(jì)規(guī)范明確要求:在車站站臺(tái)有效長(zhǎng)度范圍內(nèi),超高值不應(yīng)大于15 mm[1-2]。由此可知,當(dāng)站臺(tái)端處超高值超過(guò)15 mm時(shí),進(jìn)站前后的緩和曲線超高順坡率不同。對(duì)于超高順坡率變化的緩和曲線,常規(guī)的三次拋物線擬合曲線往往難以滿足設(shè)計(jì)精度要求。對(duì)此類緩和曲線的盾心坐標(biāo)計(jì)算及曲線的擬合分析也尚未有相關(guān)研究。本文利用構(gòu)建等效模型的方法得到超高順坡率變化的緩和曲線任意點(diǎn)盾心偏移平面坐標(biāo)的計(jì)算方法,通過(guò)優(yōu)化擬合模型提升盾心曲線擬合精度,得到軌道交通盾心曲線擬合優(yōu)度的判斷方法,以期為各類軌道交通設(shè)計(jì)及盾構(gòu)施工提供理論支撐。

1 順坡率固定的緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算

一般情況下,緩和曲線上的超高順坡率是固定值,在求得緩和曲線線路平面坐標(biāo)后,結(jié)合盾心偏移量,即可求出緩和曲線盾心平面坐標(biāo)。

1.1 盾心平面偏移量的計(jì)算

單圓盾構(gòu)盾心偏移斷面如圖1所示。由幾何關(guān)系可以求得盾心橫向偏移量e為:

圖1 單圓盾構(gòu)盾心偏移斷面示意圖

e=Hh/S

(1)

式中:

H——軌面至盾心距離;

h——軌道超高量;

S——軌距。

1.2 線路平面坐標(biāo)計(jì)算

為方便計(jì)算,以直緩點(diǎn)為原點(diǎn),建立絕對(duì)坐標(biāo)系。則絕對(duì)坐標(biāo)系下的緩和曲線盾心偏移如圖2所示。設(shè)曲線半徑為R,緩和曲線總長(zhǎng)度為L(zhǎng),緩和曲線上任意點(diǎn)λ的平面坐標(biāo)為(x,y),λ與直緩點(diǎn)間的緩和曲線長(zhǎng)度為l。

圖2 絕對(duì)坐標(biāo)系下緩和曲線盾心偏移示意圖

利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),并根據(jù)軌道交通設(shè)計(jì)精度要求取其前兩項(xiàng)后,得到點(diǎn)λ的線路平面坐標(biāo)(x,y)為[3]:

(2)

1.3 盾心平面坐標(biāo)計(jì)算

對(duì)于點(diǎn)λ對(duì)應(yīng)的橫向偏移量δ可由超高引起的橫向偏移量求得:

δ=el/L=Hhl/(SL)

(3)

設(shè)點(diǎn)λ處緩和曲線切線與X軸夾角為α,其中α=l2/(2RL)。將sinα及cosα進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并取其前兩位為有效精度值。那么超高順坡率固定情況下緩和曲線盾心平面坐標(biāo)(xa,ya)可以表示為:

(4)

2 順坡率變化的緩和曲線盾心計(jì)算

2.1 緩和曲線上任意點(diǎn)的超高

對(duì)于超高順坡率變化的緩和曲線,其平面線路坐標(biāo)與超高順坡率無(wú)關(guān),故線路平面坐標(biāo)計(jì)算方法與一般情況相同。

由式(1)可知,緩和曲線進(jìn)站前后超高不同,e也不同,故盾心坐標(biāo)會(huì)隨e的變化而變化。為便于計(jì)算,本文以直緩點(diǎn)為原點(diǎn),以l為自變量,超高為因變量,即可得到超高順坡率固定和超高順坡率變化時(shí)的緩和曲線h-l關(guān)系如圖3所示,其中ρ0為固定超高順坡率,ρ1為超高順坡率有效站臺(tái)外順坡率,ρ2為有效站臺(tái)內(nèi)順坡率,lx為有效站臺(tái)邊緣與直緩點(diǎn)間的緩和曲線長(zhǎng)度,hm為最大軌道超高值,h0為有效站臺(tái)邊緣處的軌道超高值,且有0≤h0≤15 mm。

圖3 緩和曲線h-l關(guān)系圖

2.2 構(gòu)建等效緩和曲線

本文采用構(gòu)建等效緩和曲線的方法計(jì)算lx—L段原緩和曲線的偏移盾心坐標(biāo)?？紤]到原緩和曲線平面上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲率不同,等效緩和曲線需保證原緩和曲線的平面參數(shù)不變。由于超高順坡率變化點(diǎn)位于站臺(tái)邊緣,不在直緩點(diǎn)上,其對(duì)應(yīng)的緩和曲線曲率非零,故不可將該段緩和曲線簡(jiǎn)單等效為順坡率為ρ1、緩長(zhǎng)為(L-lx)的緩和曲線。

將該段緩和曲線等效超高為hm+hb,緩長(zhǎng)為L(zhǎng),超高順坡率為ρ1的緩和曲線。等效緩和曲線的h-L關(guān)系如圖4所示。此時(shí)該段緩和曲線的盾心坐標(biāo)即為該等效模型中等效緩和曲線盾心坐標(biāo)減去由虛擬超高h(yuǎn)b產(chǎn)生的偏移量在x和y軸上的分量。

圖4 等效緩和曲線h-L關(guān)系圖

由圖4可求得,等效緩和曲線與橫軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)xb=(hmlx-h0L)/(hm-h0),則虛擬超高h(yuǎn)b=h0xb/(lx-xb),由hb產(chǎn)生的偏移量eb=Hhb/S,由(hm+hb)而產(chǎn)生的偏移量ec=H(hm+hb)/S。由此,對(duì)于等效緩和曲線上任意點(diǎn)λc,其對(duì)應(yīng)的橫向偏移量δc可以表示為:

δc=lec/L=Hl(hm+hb)/(LS),lx≤l≤L

(5)

由此可知,lx—L段緩和曲線上任意處的盾心平面坐標(biāo)(xc,yc)為:

(6)

3 超高順坡率變化的緩和曲線盾心擬合

對(duì)于超高順坡率固定的緩和曲線,通常采用三次拋物線來(lái)擬合盾心曲線;對(duì)于超高順坡率變化的緩和曲線,采用三次拋物線擬合一般會(huì)導(dǎo)致盾心擬合結(jié)果誤差較大。

3.1 盾心擬合曲線優(yōu)度評(píng)價(jià)

本文對(duì)盾心坐標(biāo)離散點(diǎn)進(jìn)行線性回歸擬合,并引入統(tǒng)計(jì)學(xué)決定系數(shù)R2來(lái)評(píng)價(jià)回歸模型的擬合優(yōu)度。R2可表示為[4]:

R2=sSR/sST=1-sSE/sST

(7)

式中:

sSR——回歸平方和;

sSE——?dú)埐钇椒胶?

sST——離差平方和。

一般情況下,R2越接近1,緩和曲線擬合的效果越好。但隨著離散點(diǎn)樣本量的增加,盾心擬合方程的R2必然隨之增加,另一方面,個(gè)別離散點(diǎn)產(chǎn)生的較大誤差不一定能夠準(zhǔn)確反饋至R2,兩者并不是正相關(guān)的。故利用R2無(wú)法真正定量說(shuō)明擬合方程的準(zhǔn)確程度,只能大概對(duì)擬合的好壞進(jìn)行定性分析。

(8)

若設(shè)計(jì)過(guò)程中的精度要求為擬合曲線與實(shí)際盾心坐標(biāo)的絕對(duì)誤差不大于Ea,那么由于四舍五入的關(guān)系,實(shí)際各點(diǎn)盾心坐標(biāo)與擬合曲線間的絕對(duì)誤差應(yīng)控制在Ea/2內(nèi)。假設(shè)對(duì)于任意滿足擬合誤差精度要求的緩和曲線,以Δl為步長(zhǎng)取得的所有離散點(diǎn)盾心坐標(biāo)與擬合曲線間的絕對(duì)誤差為ε,并分別取Ea/2、3Ea/8、Ea/4、Ea/8作為特征點(diǎn),建立誤差絕對(duì)值域權(quán)重集合φ={a,b,c,d},其中a、b、c和d分別為誤差絕對(duì)值于[3Ea/8,Ea/2)、[Ea/4,3Ea/8)、[Ea/8,Ea/4)和(0,Ea/8]內(nèi)的離散點(diǎn)占比,且有a+b+c+d=1。

對(duì)《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》[1]和《市域(郊)鐵路設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]中的各標(biāo)準(zhǔn)緩和曲線進(jìn)行擬合以分析誤差,其中地鐵以設(shè)計(jì)最高速度為80 km h的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算,市域鐵路以設(shè)計(jì)最高速度為160 km/h的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算,暫不考慮欠超高及過(guò)超高影響。設(shè)最大允許擬合誤差Ea為1 mm,并將步長(zhǎng)設(shè)置為1 m,取其中最大絕對(duì)誤差值大于Ea/8且小于等于Ea/2的緩和曲線進(jìn)行整理,并總結(jié)得到各離散點(diǎn)誤差絕對(duì)值域的權(quán)重,如表1—表2所示。

表1 地鐵擬合誤差較大緩和曲線參數(shù)表

表2 市域(郊)鐵路擬合誤差較大緩和曲線參數(shù)表

(9)

式中:

φm——地鐵的數(shù)據(jù)殘差權(quán)重;

φs——市域鐵路的數(shù)據(jù)殘差權(quán)重。

(10)

(11)

3.2 案例分析

本文以上海軌道交通市域線崇明線工程(以下簡(jiǎn)稱“崇明線”)中一處緩和曲線為例進(jìn)行分析。崇明線某處線路平面示意圖如圖5所示。該線為市域鐵路,最高設(shè)計(jì)時(shí)速為120 km,有效站臺(tái)范圍內(nèi)最大超高不大于15 mm。圖5中SJD11緩和曲線侵入車站有效站臺(tái)范圍內(nèi)的長(zhǎng)度lx約為31.173 m,其曲線半徑R為500 m,緩和曲線長(zhǎng)度L為115 m,超高值hm為135 mm,有效站臺(tái)內(nèi)順坡率ρ2為0.481,有效站臺(tái)外順坡率ρ1為1.432,軌面至盾構(gòu)中心距離H為2 150 mm,軌距S為1 500 mm。

圖5 崇明線某處平面線路示意圖截圖

3.2.1 擬合優(yōu)度判斷區(qū)間

3.2.2 三次拋物線擬合分析

根據(jù)已知的線路條件,由式(6)可以求得SJD11緩和曲線上任意點(diǎn)λc的盾心平面坐標(biāo)(xc,yc)為:

(12)

在該段緩和曲線上選取n個(gè)離散點(diǎn),以第k離散點(diǎn)與直緩點(diǎn)間的緩和曲線長(zhǎng)度lk構(gòu)成集合li={l1,l2,…,lk,…,ln}。由于31.173 m≤lk≤115.000 m,以1 m為步長(zhǎng)取值,即li={32,33,…,115}。根據(jù)式(12)的計(jì)算結(jié)果,求得li上各點(diǎn)相應(yīng)的盾心平面坐標(biāo),再通過(guò)最小二乘法對(duì)離散坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合。采用三次拋物線擬合,得到等效緩和曲線的擬合方程f3(xc):

f3(xc)=-0.053 095 9+2.659 16×10-3xc-

(13)

選取若干典型離散點(diǎn)坐標(biāo),與li={32,33,…,115}對(duì)應(yīng)的yc和f3(xc)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,進(jìn)而分析誤差。三次拋物線典型離散點(diǎn)誤差分析表如表3所示。由表3可見(jiàn),三次拋物線擬合后,局部離散點(diǎn)絕對(duì)誤差大于0.5 mm,不滿足設(shè)計(jì)要求。這與擬合優(yōu)度判斷結(jié)果一致。

表3 三次拋物線典型離散點(diǎn)誤差分析表

3.2.3 四次曲線擬合分析

將擬合函數(shù)優(yōu)化為四次曲線進(jìn)行計(jì)算分析。其等效緩和曲線擬合方程f4(xc)如式(14)所示。

f4(xc)=-0.036 032+0.001 563 26xc+

(14)

針對(duì)li={32,33,…,115}求出對(duì)應(yīng)的yc和f4(xc),選取擬合結(jié)果中誤差較大的典型離散點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行比對(duì)分析,得到四次曲線典型離散點(diǎn)誤差分析表如表4所示。增加擬合階數(shù)后,最大誤差由原三次拋物線的約0.6 mm降低至四次曲線的約0.1 mm,說(shuō)明該擬合曲線方程滿足設(shè)計(jì)要求。

表4 四次曲線典型離散點(diǎn)誤差分析表

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了超高順坡率變化的緩和曲線盾心平面坐標(biāo)計(jì)算方法及其盾心曲線擬合方法,對(duì)緩和曲線盾心坐標(biāo)計(jì)算方法進(jìn)行了完善。該盾心曲線擬合方法更適應(yīng)目前軌道交通的設(shè)計(jì)現(xiàn)狀。通過(guò)本文的等效緩和曲線法可準(zhǔn)確計(jì)算超高順坡率變化的緩和曲線盾心平面坐標(biāo)。本文基于盾心擬合曲線最大誤差,計(jì)算誤差絕對(duì)值域權(quán)重集合,進(jìn)而判斷擬合優(yōu)度,檢驗(yàn)盾心擬合曲線的校正決定系數(shù),對(duì)擬合精度是否滿足要求進(jìn)行定性判斷,以此決定是否需要優(yōu)化擬合模型,從而有效提高設(shè)計(jì)效率及設(shè)計(jì)質(zhì)量。