謝樂平　佘志強

摘 要：為了推進專業(yè)課程的課程思政，提升人才培養(yǎng)質(zhì)量和落實立德樹人的根本任務，提出了代數(shù)中求向量組的極大線性無關(guān)組的擴充法，探索了擴充法的廣泛應用，并以擴充法為例，結(jié)合當前的線上線下混合式教學模式，研究了如何融入課程思政元素并更好地組織和實施教學。

關(guān)鍵詞：擴充法；課程思政；混合式教學

2020年教育部印發(fā)《高等學校課程思政建設(shè)指導綱要》提出：課程思政建設(shè)要全面推進，課堂教學是構(gòu)建全員全程全方位育人大格局的“主渠道”，而專業(yè)課程教學是課程思政的最主要依托[1]。為此，考慮到代數(shù)是普通高等教育和繼續(xù)教育所有理工農(nóng)等學科各專業(yè)必修的課程，因此以代數(shù)課程中求向量組的極大線性無關(guān)組為例，對教學內(nèi)容進行了研究和處理，提出了一種基礎(chǔ)性、代表性的數(shù)學方法——擴充法，并以擴充法為例，探索了混合式教學模式下融入課程思政的教學實施。

一、代數(shù)中的擴充法

擴充的出處最早見于《孟子·公孫丑上》：“知皆擴而充之矣”。字典中擴充的意思是：擴大充實。通過查閱資料和初步調(diào)查，發(fā)現(xiàn)已有數(shù)系的擴充、數(shù)據(jù)的擴充，還有寫作文時的擴充方法（擴寫）等，但是數(shù)學及其他學科中還沒有“擴充法”的概念。

（一）求極大線性無關(guān)組的擴充法

向量組中的極大線性無關(guān)組是代數(shù)中一個重要的內(nèi)容。

定義1[2] 數(shù)域上有限個相同維數(shù)的向量組成一個向量組，一個向量組中如果存在個向量組成的部分向量組（簡稱為部分組）滿足以下兩個條件：

①這個向量組成的部分組線性無關(guān)；

②向量組中任意個向量都線性相關(guān)。

則稱該部分組為向量組的一個極大線性無關(guān)組。

定義1中，在滿足條件①的前提下，條件②等價于“向量組中任意向量都可以由該部分組線性表出”。

與極大線性無關(guān)組有關(guān)的線性組合、線性表出、線性相關(guān)性等概念及相關(guān)性質(zhì)，屬于《線性代數(shù)》和《高等代數(shù)》的基礎(chǔ)內(nèi)容，以下還不加證明地給出線性相關(guān)性的兩個性質(zhì)：

性質(zhì)1 單個非零向量構(gòu)成線性無關(guān)的向量組。

性質(zhì)2 如果向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可以由線性表出，并且表出方式唯一。

因為含有零向量的向量組一定是線性相關(guān)的，所以在算法開始前先排除向量組中的零向量，或者先標記所有的零向量。

以下給出一種求非零向量組的一個極大線性無關(guān)組的算法的步驟：

第一步，任取該向量組中的一個非零向量，記為，并且進行標記。由性質(zhì)1，部分組（）是線性無關(guān)的向量組。

第二步，選取該向量組中的一個未被標記的向量（如果存在的話），如果可以由部分組線性表出，則僅標記；否則，如果不能由向量組線性表出，由性質(zhì)2的逆否命題可得：向量組也線性無關(guān)，此時記，并對線性無關(guān)部分組進行擴充，得到新的線性無關(guān)的部分組依然記為，并標記；

不斷重復第二步，直到向量組中的向量都被標記，此時所得部分組就是原向量組的一個極大線性無關(guān)組。

我們稱以上求極大線性無關(guān)組的方法為擴充法。

說明：第一步的部分組中，如果在第二步中擴充一次，則下標逐一增加。

擴充法的思想：為了找到向量組中最多個數(shù)的線性無關(guān)的向量，首先選取單個的非零向量，構(gòu)成一個線性無關(guān)的部分組，然后一個個討論其余的（未標記的）向量，如果該向量可以由部分組線性表出，則僅標記該向量，如果該向量不能由部分組線性表出，則將其增加到部分組（部分組進行了擴充）并標記該向量，直到討論（標記）完向量組中的所有向量。

（二）擴充法的應用

擴充法在代數(shù)中除了應用于求向量組的一個極大線性無關(guān)組，還可以應用于求線性空間的一組基：先取線性空間中的一個非零元素構(gòu)成部分組，然后一個個討論其余的元素，將不能被部分組線性表出的元素逐個地擴充進部分組（擴充后仍稱為部分組，只是下一個元素的討論要在擴充的部分組的基礎(chǔ)上進行），最后得到的部分組就是線性空間的一組基。

類似地，還能應用擴充法求歐式空間的一組正交基或標準正交基，例如求一組標準正交基：先取歐式空間中的一個單位向量構(gòu)成部分組，然后一個個選取不能由部分組線性表出的向量，并將該向量與部分組施密特（Schmidt）正交化以后的結(jié)果再擴充進部分組，直到得到不能再擴充的部分組（此時部分組所含向量的個數(shù)等于空間的維數(shù)），就是歐式空間的一組標準正交基。

代數(shù)中求極大線性無關(guān)組除了擴充法，也可以利用矩陣的初等變換、或者行列式理論結(jié)合線性相關(guān)性的性質(zhì)等更專業(yè)的方法，但擴充法更大眾化、應用范圍更廣。

一般的，代數(shù)中的擴充法，是指在滿足線性無關(guān)的條件下，一步步擴充部分組（增加滿足條件的向量），從而求得向量組的一個極大線性無關(guān)組的數(shù)學方法。推廣以后，擴充法指滿足某個或某些條件（要求）下，按照某種法則一步步擴充（使增加），最終求得滿足條件的某種結(jié)果的方法。

在圖論中，求一個圖的最小生成樹的避圈法就是擴充法：在選取后其余的邊集中，在不構(gòu)成圈的條件下，再選權(quán)最小的邊擴充（增加）進來，直到得到一顆生成樹，即最小生成樹；在帶權(quán)圖的最短路問題中，Dijkstra標號法也是通過不斷擴充圖中的邊直到得到一條從起點出發(fā)的最短路，只是擴充的條件是所有路中距離最小，并且最終要通過反向追蹤來得到具體的最短路；在平面圖著色的五色定理的證明中，也可以借助擴充相鄰面的方法討論圖的面色數(shù)，等等。

在運籌學中，求運輸問題的最小元素法、閉回路法、Vogel法都是一種擴充的方法；在網(wǎng)絡系統(tǒng)中求解最大流問題實際上也是一種流量擴充的方法；從運籌學的角度來看，圖論中求最小生成樹的破圈法就是避圈法的一種“對偶”的算法，等等。

經(jīng)濟學中的邊際分析法也是一種擴充法；物理學中的控制變量法的本質(zhì)也是擴充；體育競賽中的淘汰賽還是一種擴充的方法，只是不斷擴充的是被淘汰的參賽者集合而已。在其余學科及社會實際中，擴充法的應用舉不勝舉。

二、擴充法的混合式教學

“翻轉(zhuǎn)課堂”于2007年左右起源于美國，最開始是老師錄制播放PPT和講課的聲音，并上傳到網(wǎng)絡上給需要的學生自主學習。到2014年，我國初步建成中國大學MOOC（慕課）和國家精品課程在線學習平臺。2020年，由于疫情爆發(fā)，推動我國教育的大變革，初等教育、中等教育、普通高等教育和繼續(xù)教育開始大范圍實施線上教學，教育部印發(fā)《關(guān)于在疫情防控期間做好普通高等學校在線教學組織與管理工作的指導意見》，依托互聯(lián)網(wǎng)學習平臺的各種在線授課資源蓬勃發(fā)展。疫情過去，線上教學模式繼續(xù)延續(xù)下來，并演化成線上線下混合式教學（OMO），當前教育專家一致認為：OMO代表著教育的未來，它超越單一的線上或線下教學，將成為未來教育教學的基本模式。

（一）混合式教學的優(yōu)勢

經(jīng)調(diào)查，當前所有普通高校已經(jīng)不再是單一的傳統(tǒng)的線下教學，不管是公共課，還是專業(yè)課，基本上都采用了線上線下混合式教學。對于繼續(xù)教育，教育部規(guī)定從2023年開始必須線下授課，且線下課時不低于總課時的20%，但是線上網(wǎng)絡教學平臺和信息化教學資源仍然是繼續(xù)教育學生學習的主陣地[3]。

很多專家認為，線上教學模式的優(yōu)點在混合式教學模式中都得到了保留，而且混合式教學模式還避免了線上教學的諸多不足：如線上缺乏師生現(xiàn)場的互動和氛圍，學習雖然可以有老師布置任務和要求，但只能主要靠學生的自覺來完成，從而無法有效管控學生的學習；由于沒有面對面的現(xiàn)場教學，授課教師無法及時、全面的掌握所有學生的學習情況和效果，也就不能即時調(diào)整教學的速度和進度等等。

相對于傳統(tǒng)教學模式，混合式教學也有諸多的優(yōu)勢：如突破了課時的限制，學生可以自主、自由地進行學習，主要的學習不再局限于課堂授課，學生能充分利用碎片化時間學習，對線上的分解以后的碎片化知識的學習也優(yōu)于傳統(tǒng)教學；線上和線下的教學能夠良好地互補，課前，能夠布置和完成線上的預習，平臺能及時將預習結(jié)果反饋給教師，幫助教師更好地掌握學情，以便更有效地組織課堂教學；課堂上，網(wǎng)絡教學平臺能夠參與和組織課堂的教學如簽到、隨機提問、練習討論等，能為教學提供更多預先準備好的資源，優(yōu)化教學時間等；課后，線上是課堂的延伸，教師通過準備學習資源能實現(xiàn)分層次的教學，做到更好地因材施教，讓學生選讀個人更感興趣的內(nèi)容，做到個性化發(fā)展，也給大部分學生提供了深入學習的空間和機會等等。

（二）擴充法融入課程思政元素

教育部《高等學校課程思政建設(shè)指導綱要》的“科學設(shè)計課程思政教學體系”中明確指出：要根據(jù)不同學科專業(yè)的特色和優(yōu)勢，深入研究不同專業(yè)的育人目標，深度挖掘提煉專業(yè)知識體系中所蘊含的思想價值和精神內(nèi)涵，科學合理拓展專業(yè)課程的廣度、深度和溫度，從課程所涉專業(yè)、行業(yè)、國家、國際、文化、歷史等角度，增加課程的知識性、人文性，提升引領(lǐng)性、時代性和開放性[1]。

擴充法本身就是一種常見的科學思維方法，也是一個重要的專業(yè)原理。在一定程度上，擴充法屬于方法論，而方法論體現(xiàn)和影響世界觀，所以擴充法的教學本身就是對學生認識和改造世界的世界觀的教育。

代數(shù)中的擴充法是一種典型的數(shù)學方法，能夠在該方法的演繹推理過程中充分展現(xiàn)數(shù)學之美——嚴謹和準確，使學生感悟在學習、工作中要腳踏實地，認真細致，進而培養(yǎng)嚴謹客觀的科學態(tài)度和勇于探索的鉆研精神。擴充法還可以更具體地展現(xiàn)數(shù)學之美：由于迭代法與擴充法在一定程度上是一致的，而迭代法在現(xiàn)實生活中有很多具體的體現(xiàn)，如描繪雪花的形狀（科克曲線）、現(xiàn)實生活中某些分形的圖像等，這些具體的、精致的圖片可以使學生感受到大自然的神奇和數(shù)學的美！

我國學者管梅谷1962年提出并解決了圖論中的中國郵路問題，該問題也屬于組合優(yōu)化的問題，是一類最短路問題，通過對管梅谷及中國郵路問題的介紹，使學生了解數(shù)學家數(shù)學史，激發(fā)追求真理、敢于創(chuàng)新、勇攀高峰的精神，也增強學生的人文素養(yǎng)和文化自信等。

前面提到擴充法有很多應用，它們也是擴充法的不同表現(xiàn)形式，但是，擴充法的本質(zhì)思想是確定的，該本質(zhì)思想不僅在認識和解決理論問題時具有重要的意義，還能夠應用于實際，例如當前國際形勢錯綜復雜、風云變幻，到底誰是我們的朋友？為什么民族團結(jié)是我們處理民族關(guān)系的一項準則？等等這些國際形勢、時事問題和社會主義偉大事業(yè)都可以從擴充法的角度給出部分答案。

當然，不同的教師對同一個教學內(nèi)容的課程思政是仁者見仁、智者見智的，這也是教育的獨特性的體現(xiàn)。對于擴充法融入的思政元素，可以從形成背景，發(fā)展歷程，現(xiàn)實應用，未來趨勢，國家重大成果，制度優(yōu)越，家國情懷，科學家人物事跡，學科專業(yè)原理，生活、教學、科技實踐等等方面去挖掘。

（三）擴充法的混合式教學

混合式教學中，線下和線上是教學馬車的雙輪，奔向的目標都是立德樹人，但是在教學內(nèi)容、教學方法上應該是各有側(cè)重、相互補充的。例如擴充法求極大線性無關(guān)組的教學，包括擴充過程的演繹推導、舉例說明，思想方法講解等應該是線下教學的重點，需要教師通過問題驅(qū)動、采用引導、啟發(fā)式等教學方法以線下課堂講授的形式進行；而擴充法在其他學科、社會問題等方面的應用，以及擴充法的深入繼續(xù)學習研究等則采用線上形式更適宜。再者由于課時的關(guān)系，線下教學應該以專業(yè)為主，課程思政要與專業(yè)教學深度融合，并講究精簡，與專業(yè)教學同向同行，而線上則可以實施全方位的、更充分的課程思政，做到廣撒網(wǎng)。

在擴充法的教學中，課前，以線上的形式為主，布置學生在線上教學平臺復習向量組的線性相關(guān)性等概念和基本性質(zhì)，預習極大線性無關(guān)組的概念和求法及例，并通過較簡單的練習題檢驗復習和預習的效果；布置學生閱讀線上資料，通過科克曲線（雪花圖像）的介紹和該曲線圖形、自然界存在的某些分形等使學生感受到自然的神奇和數(shù)學的美，了解專業(yè)知識的實踐性并提升學生的學習興趣。教師參考教學平臺自動收集的復習和預習結(jié)果了解學生的學情，并設(shè)計或調(diào)整課堂教學。

課堂中，因為擴充法是專業(yè)基礎(chǔ)理論知識，所以建議以線下講授的傳統(tǒng)教學方式為主，線上輔助線下教學，線上輔助包括諸如簽到、不便于板書內(nèi)容的演示或展示、課堂師生互動、練習及完成情況評估反饋、課堂小結(jié)及教學數(shù)據(jù)如效果情況分析等。

課后，我們以線上為主，也可以根據(jù)學習效果和具體需要設(shè)置線下課時，包括作業(yè)的布置、完成與批改，學生自行檢測學習效果等；還包括學生對擴充法的進一步深入了解、學習或研究等，如擴充法的拓展和應用：斐波那契數(shù)列對應的兔子繁殖問題能使學生更好地認識自然和世界；五色定理（進一步到四色定理）的證明對學生是具有挑戰(zhàn)性和吸引力的，讓學生探索和追求真理、攀登科學高峰；還可以設(shè)計與擴充法有關(guān)的、開放式的案例分析題，并組織線上的討論以鍛煉學生和實施課程思政，等等。如果學生作業(yè)情況表現(xiàn)不理想、或者大部分學生有某些共同的疑惑，則可以通過線下課堂來復習鞏固、釋疑解惑。

結(jié)束語：融入課程思政的擴充法的混合式教學只是我們在代數(shù)課程教學中的一個初步的探索和實踐，還有待繼續(xù)推進和完善。另外，不同學科專業(yè)的不同課程的混合式教學和課程思政的實施也是值得大家研究的問題。

參考文獻：

[1] 教育部關(guān)于印發(fā)《高等學校課程思政建設(shè)指導綱要》的通知[DB/OL].http：//www.moe.gov.cn/srcsite/A08/s7056/202006/t20200603_462437.html.

[2] 同濟大學數(shù)學系編.線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3] 熊艷清，謝樂平. 繼續(xù)教育課程思政的困難與對策研究[J].客聯(lián)， 2023，24（4）：68-69.

作者簡介：謝樂平（1976—），男，漢族，湖南寧鄉(xiāng)人，副教授，碩士研究生，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學及其應用研究。佘志強（1979—），男，漢族，湖南洪江人，碩士研究生，研究方向：微分幾何。

課題項目：湖南省普通高等學校教學改革研究項目（HNJG-2020-0871）；教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目“基于杰普公司校企共建雙創(chuàng)課程及實踐體系的數(shù)學專業(yè)雙創(chuàng)人才培養(yǎng)研究與實踐”（202002165055）， “基于杰普協(xié)同育人的創(chuàng)新型、應用型師資隊伍建設(shè)研究與實踐”（ 202101203009）