新課標(biāo)『圖形與幾何』結(jié)構(gòu)化分析與教學(xué)建議

文|徐斌（特級(jí)教師）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在前言中提出了本輪課程標(biāo)準(zhǔn)修訂對(duì)于課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化的總體要求，在課程理念部分提出了“設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”這一全新理念[1]，并分別從課程內(nèi)容選擇、課程內(nèi)容組織、課程內(nèi)容呈現(xiàn)三個(gè)角度進(jìn)行了具體闡述，這啟示我們要加強(qiáng)對(duì)新課標(biāo)的課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化調(diào)整的深入研究與教學(xué)實(shí)踐。

與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2011年版課標(biāo)”）相比，新課標(biāo)在課程內(nèi)容四個(gè)領(lǐng)域的名稱方面并沒(méi)有發(fā)生變化，依然是數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等四個(gè)內(nèi)容領(lǐng)域，但每個(gè)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)主題、具體內(nèi)容和相關(guān)要求都作了結(jié)構(gòu)化整合。本文試從“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化分析出發(fā)，提出新課標(biāo)理念下的針對(duì)性教學(xué)建議。

一、“圖形與幾何”內(nèi)容結(jié)構(gòu)化特征分析

1.調(diào)整了小學(xué)各學(xué)段的領(lǐng)域內(nèi)容主題

自2001年啟動(dòng)本輪新課程改革以來(lái)，“圖形與幾何”一直是義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域（2001年版課標(biāo)的內(nèi)容領(lǐng)域名稱為“空間與圖形”，2011年版課標(biāo)調(diào)整為“圖形與幾何”，新課標(biāo)繼續(xù)沿用這一名稱）。2011年版課標(biāo)把小學(xué)階段的“圖形與幾何”領(lǐng)域分解為四個(gè)方面的內(nèi)容主題：圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置。新課標(biāo)則作了結(jié)構(gòu)化調(diào)整，把“圖形的認(rèn)識(shí)”和“測(cè)量”合并為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題，把“圖形的運(yùn)動(dòng)”和“圖形與位置”合并為“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”主題，把認(rèn)識(shí)方向和繪制平面圖等內(nèi)容調(diào)整至“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域[2]。這樣，新課標(biāo)的“圖形與幾何”內(nèi)容領(lǐng)域只有兩個(gè)主題：圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)。

圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量主題包括如下內(nèi)容：立體圖形和平面圖形的認(rèn)識(shí)，線段長(zhǎng)度的測(cè)量，角度的測(cè)量，以及圖形的周長(zhǎng)、面積和體積的計(jì)算。圖形的認(rèn)識(shí)主要是讓學(xué)生感悟圖形的抽象過(guò)程，而圖形的測(cè)量主要是讓學(xué)生學(xué)會(huì)確定圖形的大小。圖形的認(rèn)識(shí)與圖形的測(cè)量之間具有內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量教學(xué)，可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、量感和推理意識(shí)。

圖形的位置與運(yùn)動(dòng)主題包括確定點(diǎn)的位置，認(rèn)識(shí)圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱三種基本運(yùn)動(dòng)。通過(guò)學(xué)習(xí)圖形的位置和運(yùn)動(dòng)，可以增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念、幾何直觀、推理意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

2.強(qiáng)調(diào)了尺規(guī)作圖的教學(xué)要求

長(zhǎng)期以來(lái)，尺規(guī)作圖一直是初中幾何教學(xué)的基本要求。為什么要在小學(xué)增加尺規(guī)作圖內(nèi)容？尺規(guī)作圖的價(jià)值和意義是什么？馬云鵬教授指出“在小學(xué)階段增加尺規(guī)作圖內(nèi)容，重要的是讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性”“引入尺規(guī)作圖，則可以極大地減少作圖過(guò)程中產(chǎn)生的誤差”[3]。

新課標(biāo)在第二學(xué)段的內(nèi)容要求中指出“會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”[1]，在相應(yīng)的學(xué)業(yè)要求中提出“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫(huà)到一條直線上的過(guò)程，直觀感受三角形的周長(zhǎng)，知道什么是圖形的周長(zhǎng)”[1]，在教學(xué)提示中進(jìn)一步指出“在認(rèn)識(shí)線段的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長(zhǎng)線段，感知線段長(zhǎng)度與兩點(diǎn)間距離的關(guān)系，增強(qiáng)幾何直觀”“圖形的周長(zhǎng)教學(xué)可以借助用直尺和圓規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生自主探索三角形的周長(zhǎng)，感知線段長(zhǎng)度的可加性，理解三角形的周長(zhǎng)，歸納出長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算公式”[1]。

在第三學(xué)段的教學(xué)提示中指出“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫(huà)三角形的過(guò)程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊”[1]。

新課標(biāo)在第四學(xué)段的課程目標(biāo)部分提出了“通過(guò)尺規(guī)作圖（是指用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖）等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系”[1]，在課程內(nèi)容部分提出了“經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過(guò)尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力”的學(xué)業(yè)要求[1]。

由此可見(jiàn)，新課標(biāo)內(nèi)容調(diào)整后，尺規(guī)作圖不僅是初中學(xué)段的學(xué)習(xí)要求，也是小學(xué)學(xué)段的重要內(nèi)容，而且是從第二學(xué)段就需要加強(qiáng)的幾何教學(xué)內(nèi)容。因此，我們不僅要認(rèn)識(shí)到新課標(biāo)這種結(jié)構(gòu)化調(diào)整的重要價(jià)值和教學(xué)意義，還要按照課標(biāo)要求具體實(shí)踐，進(jìn)而更大程度地發(fā)揮尺規(guī)作圖的育人功能，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

3.注重了統(tǒng)一度量單位的教學(xué)

史寧中教授指出：度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來(lái)的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具。度量的本質(zhì)在于對(duì)事物的某些指標(biāo)進(jìn)行量化，以及對(duì)量化順序的感知[4]。

新課標(biāo)在闡述小學(xué)階段的核心素養(yǎng)表現(xiàn)及其內(nèi)涵里面新增了核心詞“量感”，并指出其內(nèi)涵首先是要讓學(xué)生知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；還要讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的具體過(guò)程，感受統(tǒng)一度量單位的實(shí)際意義，并能夠基于度量單位來(lái)理解圖形的長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積和體積等。

量感的形成在幾何度量中十分重要。在第一學(xué)段的圖形測(cè)量教學(xué)中，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要“結(jié)合生活實(shí)際，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性”“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過(guò)程，創(chuàng)設(shè)測(cè)量課桌長(zhǎng)度等生活情境，借助拃的長(zhǎng)度、鉛筆的長(zhǎng)度等不同的方式測(cè)量，經(jīng)歷測(cè)量的過(guò)程，比較測(cè)量的結(jié)果，感受統(tǒng)一長(zhǎng)度單位的意義；引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位（米、厘米）測(cè)量物體長(zhǎng)度的過(guò)程，如重新測(cè)量課桌長(zhǎng)度，加深對(duì)長(zhǎng)度單位的理解”[1]。

此外，在綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，新課標(biāo)專門(mén)編排了一個(gè)主題學(xué)習(xí)活動(dòng)案例“度量衡的故事”，讓學(xué)生初步了解中國(guó)在秦朝便統(tǒng)一了度量衡，結(jié)合教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生查閱資料，對(duì)度量衡的意義深度理解，懂得度量的本質(zhì)其實(shí)就是表示量的多與少，了解度量單位都是規(guī)定性的，進(jìn)而知道有關(guān)計(jì)量單位的發(fā)展史，了解科學(xué)發(fā)展與精確度量的關(guān)系，進(jìn)一步豐富和發(fā)展學(xué)生的量感素養(yǎng)。

二、“圖形與幾何”領(lǐng)域修訂的教學(xué)建議

1.圖形的認(rèn)識(shí)教學(xué)

新課標(biāo)在小學(xué)階段的三個(gè)學(xué)段都分別安排了圖形認(rèn)識(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，各學(xué)段主要內(nèi)容如下：

第一學(xué)段：通過(guò)具體實(shí)物和模型能夠辨認(rèn)平面圖形（長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓）以及簡(jiǎn)單的立體圖形（長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和球），能對(duì)這些圖形進(jìn)行分類，會(huì)用簡(jiǎn)單的圖形進(jìn)行拼圖。

第二學(xué)段：結(jié)合生活實(shí)例認(rèn)識(shí)線段、射線和直線，結(jié)合生活情境認(rèn)識(shí)角，認(rèn)識(shí)三角形及四邊形的有關(guān)特征并能夠進(jìn)行分類；能根據(jù)具體事物、照片或者直觀圖來(lái)辨認(rèn)從不同角度觀察到的簡(jiǎn)單物體。

第三學(xué)段：了解三角形的三邊關(guān)系，認(rèn)識(shí)平面圖形（圓和扇形）和立體圖形（長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐）的特征；在觀察物體的活動(dòng)中，能夠辨認(rèn)出不同方向（前面、上面和側(cè)面）的形狀圖。

與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)“圖形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容有了如下主要變化：

第一學(xué)段新增了有關(guān)簡(jiǎn)單的圖形拼圖要求，特別指出“能在組合圖形中說(shuō)出各組成部分圖形的名稱，能說(shuō)出立體圖形中某一個(gè)面對(duì)應(yīng)的平面圖形”[1]。

第二學(xué)段新增了尺規(guī)作圖的要求，指出“會(huì)用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”“經(jīng)歷用直尺和圓規(guī)將三角形的三條邊畫(huà)到一條直線上的過(guò)程，直觀感受三角形的周長(zhǎng)”[1]。

第三學(xué)段新增了運(yùn)用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出三角形，由此探索三角形任意兩邊之和大于第三邊，以及根據(jù)“兩點(diǎn)間線段最短”的這一基本事實(shí)來(lái)說(shuō)明三角形的三邊關(guān)系規(guī)律。

針對(duì)新課標(biāo)“圖形的認(rèn)識(shí)”部分內(nèi)容的分析，筆者提出如下教學(xué)建議：首先要精心選用學(xué)生身邊熟悉的鮮活素材，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手操作與自主探索，引導(dǎo)學(xué)生不斷經(jīng)歷圖形抽象的過(guò)程，形成幾何圖形的概念，增強(qiáng)幾何直觀；其次要通過(guò)平面圖形之間、立體圖形之間、平面圖形和立體圖形之間的內(nèi)在關(guān)系探索，以及從不同方位觀察同一物體的圖像與方位對(duì)應(yīng)等學(xué)習(xí)活動(dòng)，發(fā)展空間觀念、想象能力和推理意識(shí)。

2.圖形的測(cè)量教學(xué)

新課標(biāo)在小學(xué)階段的三個(gè)學(xué)段都分別安排了圖形測(cè)量的學(xué)習(xí)內(nèi)容，各學(xué)段主要內(nèi)容如下：

第一學(xué)段：結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的必要性，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位米和厘米，能夠估測(cè)一些常見(jiàn)物體的長(zhǎng)度。

第二學(xué)段：會(huì)用量角器進(jìn)行量角和畫(huà)角，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位千米、分米和毫米，認(rèn)識(shí)面積單位平方厘米、平方分米和平方米，能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算；結(jié)合具體實(shí)例認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)、面積的意義，探索并初步掌握長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)、面積的計(jì)算公式。

第三學(xué)段：了解三角形的內(nèi)角和，了解較大的面積單位平方千米和公頃，能夠探索并初步掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式，能夠探索圓的周長(zhǎng)、面積的計(jì)算公式；通過(guò)具體實(shí)例知道體積和容積的意義，了解體積和容積度量單位，能夠進(jìn)行單位之間的簡(jiǎn)單換算，能夠探索并掌握長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積和表面積的計(jì)算公式，了解圓錐的體積計(jì)算公式。

與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)“圖形的測(cè)量”內(nèi)容有了如下主要變化：

第一學(xué)段：強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生感悟統(tǒng)一單位的必要性。

第二學(xué)段：強(qiáng)調(diào)在真實(shí)情境中學(xué)習(xí)度量長(zhǎng)度及面積，能夠選擇合適的度量單位；新增用尺規(guī)作圖的方式幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)，感悟線段長(zhǎng)度的可加性，進(jìn)而歸納出三角形、長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)的計(jì)算公式；新增了采用類比方法感悟圖形面積的可加性。

第三學(xué)段：強(qiáng)調(diào)會(huì)估計(jì)出不規(guī)則圖形的面積，體驗(yàn)不規(guī)則物體體積測(cè)量的方法；新增從度量的角度認(rèn)識(shí)立體圖形的特征，理解長(zhǎng)度、面積和體積都是相應(yīng)度量單位累加的結(jié)果，并通過(guò)平面圖形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)說(shuō)理的過(guò)程。

針對(duì)新課標(biāo)“圖形的測(cè)量”部分的內(nèi)容分析，筆者提出如下教學(xué)建議：首先要結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，讓學(xué)生深刻體會(huì)到統(tǒng)一度量單位的必要性；其次要通過(guò)具體的測(cè)量活動(dòng)，幫助學(xué)生建立長(zhǎng)度、角度、周長(zhǎng)、面積和體積的實(shí)際觀念；然后要通過(guò)豐富的測(cè)量與實(shí)踐活動(dòng)，恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的度量單位，并能夠進(jìn)行度量單位之間的簡(jiǎn)單換算，同時(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中積累測(cè)量活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成量感和幾何直觀。

3.圖形的位置與運(yùn)動(dòng)教學(xué)

在第二、第三學(xué)段都分別安排了圖形的位置與運(yùn)動(dòng)內(nèi)容，主要內(nèi)容要求如下：

第二學(xué)段：結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)例，感受平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱現(xiàn)象。

第三學(xué)段：能根據(jù)參照點(diǎn)的方向和距離確定物體的位置，會(huì)在實(shí)際情境中描述簡(jiǎn)單的路線圖；能用有序數(shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置；知道比例尺的含義，能在方格紙上按比例將簡(jiǎn)單圖形進(jìn)行放大或縮小；能在方格紙上進(jìn)行簡(jiǎn)單圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形及對(duì)稱軸，能在方格紙上補(bǔ)全簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形。

與2011年版課標(biāo)相比，新課標(biāo)“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”內(nèi)容有如下主要變化：

第二學(xué)段：精簡(jiǎn)了內(nèi)容要求，將有關(guān)認(rèn)識(shí)方向的內(nèi)容要求調(diào)整到綜合與實(shí)踐領(lǐng)域，只學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱三種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

第三學(xué)段：強(qiáng)調(diào)了能用有序數(shù)對(duì)（限于自然數(shù)）表示點(diǎn)的位置，強(qiáng)調(diào)了能利用方格紙將簡(jiǎn)單圖形放大或縮小以及平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱；新增了引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形位置的表達(dá)，理解坐標(biāo)的意義，能夠體會(huì)到坐標(biāo)表達(dá)的重要，為今后學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合打下基礎(chǔ)。

針對(duì)新課標(biāo)“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”部分的內(nèi)容分析，筆者提出如下教學(xué)建議：首先，結(jié)合學(xué)生的生活情境學(xué)會(huì)判斷和表達(dá)物體的位置，能夠辨認(rèn)、感知和解釋生活中的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱等圖形運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象；其次，要通過(guò)組織有趣的學(xué)習(xí)活動(dòng)和設(shè)計(jì)需要較長(zhǎng)時(shí)間完成的“長(zhǎng)作業(yè)”[1]，幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的抽象過(guò)程；再次，結(jié)合圖形的位置和運(yùn)動(dòng)教學(xué)，以及實(shí)際應(yīng)用和問(wèn)題解決過(guò)程滲透國(guó)防教育、愛(ài)國(guó)教育等，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞自然和生活之中的數(shù)學(xué)美，了解中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強(qiáng)學(xué)生的空間觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

（本文系徐斌老師義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)深度解讀系列文章之二）