徐少輝 李波 王連衛(wèi)

摘? ?要：以“物理光學(xué)”課程為例，基于計(jì)算電磁學(xué)的有限時(shí)域差分法和MATLAB軟件圖像顯示功能，動(dòng)態(tài)地展示光學(xué)波動(dòng)圖像，形象化設(shè)計(jì)課程教學(xué)環(huán)節(jié)。利用MATLAB軟件用戶操作界面（GUI）功能，讓學(xué)生自己動(dòng)手完成結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，獲得波動(dòng)光學(xué)數(shù)據(jù)和圖像。學(xué)生通過觀察動(dòng)態(tài)光波傳播過程并分析光學(xué)圖像，提升了對(duì)物理光學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的興趣，有利于深入理解物理機(jī)制并提升實(shí)踐操作能力。

關(guān)鍵詞：教學(xué)方法；麥克斯韋方程；時(shí)域有限差分法（FDTD）；MATLAB

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）8-0069-4

高等教育正經(jīng)歷著從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育、從單一的知識(shí)教育向知識(shí)能力全面教育的轉(zhuǎn)變。因此，可以通過“學(xué)”和“做”相結(jié)合的方式讓工科學(xué)生掌握?qǐng)?jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，并訓(xùn)練其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓そ尘瘢郏保玻?。“學(xué)”和“做”是學(xué)習(xí)過程中的一對(duì)辯證統(tǒng)一體，古代就有“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”的教育，給出的解決方法就是“學(xué)而時(shí)習(xí)之，不亦說乎”，這里的“習(xí)”字就包含實(shí)踐的意思。教師可以在教學(xué)工作中給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，讓其在“做”中探索，在“做”中體驗(yàn)求知的無窮樂趣，以不斷獲得學(xué)習(xí)動(dòng)力和新的發(fā)展。因此，以“物理光學(xué)”這門課的計(jì)算仿真為切入點(diǎn)，通過一系列教學(xué)模式和教學(xué)方法的改革和創(chuàng)新，來提升和轉(zhuǎn)變工科的基礎(chǔ)教學(xué)方法，此新教學(xué)方式也能夠拓展到其他基礎(chǔ)學(xué)科［３－４］。

光學(xué)是物理學(xué)專業(yè)、電子信息和技術(shù)專業(yè)開設(shè)的必修基礎(chǔ)課，要求學(xué)生在掌握基本光學(xué)理論的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)他們運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決具體光學(xué)問題的能力［５－６］。在光學(xué)發(fā)展過程中，只有很好地掌握物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，才能更好地拓展光學(xué)專業(yè)的應(yīng)用探索，并理解最新的科研發(fā)展，這是一個(gè)漫長(zhǎng)的學(xué)習(xí)過程。光學(xué)的基礎(chǔ)理論可以追溯到１９世紀(jì)的麥克斯韋（Ｍａｘｗｅｌｌ）方程組，它是由四個(gè)一階微分方程組成，需要學(xué)習(xí)大量的物理基礎(chǔ)知識(shí)和高深的數(shù)學(xué)才能很好地理解。這些基礎(chǔ)知識(shí)的限制使得學(xué)生很難把握光學(xué)知識(shí)，感覺其與現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)很遙遠(yuǎn)。因此，可以利用最新電磁學(xué)發(fā)展成果反哺教學(xué)，利用編制好的計(jì)算機(jī)程序展示“物理光學(xué)”中的具體物理圖像。借助這些圖像，讓學(xué)生嘗試自己解決一些光學(xué)問題，使其逐漸走向最新光學(xué)科技前沿。國(guó)外的課程中也有類似的構(gòu)思，如美國(guó)麻省理工學(xué)院（ＭＩＴ）的電磁學(xué)公開課中就有利用電磁計(jì)算直觀地展示波的傳輸特性的案例。澳大利亞悉尼大學(xué)的Ｉａｎ Ｃｏｏｐｅｒ教授完成了一系列的電磁計(jì)算案例，直觀地展示了光波的傳輸特性，并應(yīng)用于光學(xué)課程教學(xué)。而國(guó)內(nèi)的四川大學(xué)、華僑大學(xué)［７］、國(guó)防科技大學(xué)［８］等高校也都嘗試基于計(jì)算電磁學(xué)去提升光學(xué)課程教育。因此，把計(jì)算電磁學(xué)的最新科研進(jìn)展應(yīng)用于教學(xué)，精心設(shè)計(jì)光學(xué)物理圖像的動(dòng)態(tài)展示，可以激發(fā)學(xué)生不斷探索的欲望。另外，讓學(xué)生在創(chuàng)設(shè)的物理情境中主動(dòng)學(xué)習(xí)，能不斷獲得新的學(xué)習(xí)動(dòng)力，并提升創(chuàng)新能力。

1? ? 計(jì)算方法簡(jiǎn)介

隨著計(jì)算機(jī)性能的提升，計(jì)算電磁學(xué)得到了快速發(fā)展。從１９６６ 年Ｙｅｅ在解決電磁散射問題中提出最初思想到現(xiàn)在，時(shí)域有限差分算法（Ｆｉｎｉｔｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｔｉｍｅ Ｄｏｍａｉｎ，簡(jiǎn)稱ＦＤＴＤ）已經(jīng)歷了五十多年的發(fā)展［９－１０］。ＦＤＴＤ能夠計(jì)算Ｍａｘｗｅｌｌ電磁波方程，得到各種結(jié)構(gòu)的電磁波傳輸特性，并可以模擬出各個(gè)時(shí)刻的電磁場(chǎng)分布。另外，ＦＤＴＤ的方便性和準(zhǔn)確性也得到了理論和實(shí)驗(yàn)上的檢驗(yàn)。實(shí)現(xiàn)ＦＤＴＤ計(jì)算方法的三大關(guān)鍵要素分別為差分格式（包括解的穩(wěn)定性）、激勵(lì)源和吸收邊界條件。

1．１? ? 差分格式

基于Ｙｅｅ 元胞圖，每一個(gè)磁場(chǎng)分量有四個(gè)電場(chǎng)分量環(huán)繞。同樣，每一個(gè)電場(chǎng)分量也由四個(gè)磁場(chǎng)分量環(huán)繞。這種電磁場(chǎng)分量的空間取樣方式符合法拉第定律和安培環(huán)路定律的自然結(jié)構(gòu)，電磁場(chǎng)各分量的空間相對(duì)位置也適合于Ｍａｘｗｅｌｌ的差分計(jì)算，能夠恰當(dāng)?shù)孛枋鲭姶艌?chǎng)的傳播特性。因此，給定相應(yīng)電磁問題的初始值及邊界條件后，利用 ＦＤＴＤ 方法就可以逐步求得各個(gè)時(shí)刻的空間電磁場(chǎng)分布。

1．２? ? 激勵(lì)源

1．３? ? 吸收邊界條件

ＦＤＴＤ計(jì)算過程中，往往只能選擇有限的空間范圍，只對(duì)計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的網(wǎng)格上的電磁場(chǎng)數(shù)值有效。電磁波到達(dá)邊界時(shí)，理論上應(yīng)該繼續(xù)向外界傳播。實(shí)際上，電磁波將在邊界上發(fā)生強(qiáng)烈反射，反射回來的電磁波與計(jì)算區(qū)域中的電磁波發(fā)生重疊，導(dǎo)致假的計(jì)算圖像和錯(cuò)誤的計(jì)算信息。因此，需要引入吸收邊界條件，使得計(jì)算區(qū)域的邊界上，電磁波如同在自由空間一樣無反射地傳播。人們已經(jīng)發(fā)展出了各種吸收邊界條件，如Ｍｕｒ、Ｌｉａｏ和人為構(gòu)造的ＰＭＬ（Ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ Ｍａｔｃｈｅｄ Ｌａｙｅｒｓ）等。

利用ＭＡＴＬＡＢ軟件的用戶交互式（ＧＵＩ）功能，學(xué)生自己動(dòng)手修改參數(shù)，并基于ＦＤＴＤ獲得光波傳輸圖像，讓學(xué)生在“做”中探索，在“做”中體驗(yàn)求知的樂趣。

2? ? 教學(xué)思路和過程

由于“物理光學(xué)”課程主要針對(duì)大學(xué)二年級(jí)學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)計(jì)算能力、計(jì)算機(jī)編程能力和工程訓(xùn)練都較弱?；诖?，分兩步完成教學(xué)任務(wù)。

第一步，通過編制好的計(jì)算電磁學(xué)程序，利用ＦＤＴＤ求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程，得到光波傳輸數(shù)據(jù)和動(dòng)態(tài)圖像（可以錄制為電影模式）。讓學(xué)生通過觀察動(dòng)態(tài)圖像的方式理解光學(xué)物理現(xiàn)象，也能給學(xué)生展示光學(xué)科研領(lǐng)域的最新進(jìn)展，讓其打開眼界和思路。

第二步，學(xué)生利用ＧＵＩ功能操作計(jì)算程序、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)、改變計(jì)算仿真參數(shù)。通過觀察光學(xué)圖片和動(dòng)畫，討論各個(gè)參數(shù)對(duì)物理性質(zhì)的影響，從而培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新能力。

2．１? ? 光學(xué)物理圖像的展示部分

做一個(gè)表格，把“物理光學(xué)”課程中主要物理問題列出?；冢疲模裕姆椒ㄗ龀鲆幌盗姓故境绦?，并整理成一個(gè)應(yīng)用程序集，用于演示平面波、球面波（柱面波）、介質(zhì)界面的反射和折射、光波的全反射、光的干涉、光的衍射和光柵衍射等。在教學(xué)過程中，利用ＭＡＴＬＡＢ平臺(tái)運(yùn)行ＦＤＴＤ程序，讓學(xué)生直觀地感受電磁波的演變過程和物理圖像。

顯示界面（圖１）列出了不同的物理過程，選擇感興趣的物理過程，點(diǎn)擊Ｓｔａｒｔ 按鈕，就可以觀察到物理圖像隨時(shí)間的動(dòng)態(tài)演變過程。圖２是實(shí)例中展示的光學(xué)圖像，分別是平面波的傳輸、球面波的傳輸、雙縫干涉和單縫衍射過程。學(xué)生觀察電磁波的演變過程后，可以很好地理解電磁波的傳輸特性。這是一個(gè)開放式展示程序，能逐步把新開發(fā)出來的應(yīng)用程序加入其中，使教學(xué)內(nèi)容更加豐富。

2．２? ? 實(shí)踐操作部分

二年級(jí)學(xué)生不易掌握模擬計(jì)算的源程序和相關(guān)算法，讓他們修改源程序來實(shí)現(xiàn)不同的物理過程還很困難。因此，使用更友好的ＧＵＩ來實(shí)現(xiàn)物理過程的設(shè)計(jì)以及物理圖像的模擬計(jì)算，會(huì)更加容易。讓學(xué)生觀察計(jì)算得到的圖片和動(dòng)畫，討論各個(gè)參數(shù)對(duì)光學(xué)性質(zhì)的影響，可以深入地理解物理機(jī)理，也可以鍛煉他們的數(shù)據(jù)分析能力和創(chuàng)新能力。

2．２．１? ? 反射和折射的仿真實(shí)驗(yàn)

不同介質(zhì)界面處光的反射和折射過程是常見的自然現(xiàn)象，雖然中學(xué)時(shí)就學(xué)了反射和折射定律，但直到“物理光學(xué)”課上，才獲得了反射率和折射率的定量關(guān)系（菲涅耳公式）。因此，基于時(shí)域有限差分法，利用ＧＵＩ功能開發(fā)了介質(zhì)界面反射和折射的仿真程序（圖３），以波動(dòng)方式理解光的反射和折射現(xiàn)象。具體操作包括：

（１）結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)界面：選擇或修改參數(shù)，包括入射波長(zhǎng)（５ μm～２０ μm）、入射介質(zhì)和出射介質(zhì)的折射率、入射角度（０°～９０°）以及計(jì)算時(shí)間等。然后，點(diǎn)擊操作按鈕可獲得不同的物理圖像。

（２）選擇Ｒｕｎ按鈕，可以獲得由菲涅耳公式計(jì)算得到的介質(zhì)界面的反射率和透射率結(jié)果，并標(biāo)記布儒斯特角（對(duì)于Ｐ光，或者ＴＭ模式）和全反射臨界角，如圖３（ａ）所示。

（３）輸入入射波長(zhǎng)（５ μm～２０ μm），入射角度（０°～９０°）和計(jì)算時(shí)間，選擇Ｓｈｏｗ按鈕，基于ＦＤＴＤ方法求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程，確定不同入射角度時(shí)反射和折射的波動(dòng)圖像。

在玻璃（折射率１．５）／空氣（折射率１．０）界面處，計(jì)算得到的反射率和透射率結(jié)果如圖３（ａ）所示。同時(shí)，也可以得到布儒斯特角（對(duì)于Ｐ光，或者ＴＭ模式）為３３．８０°，全反射臨界角為４１．８１°。小角度（入射角２５°）入射情況，如圖３（ｂ）所示，光波以折射現(xiàn)象為主，大部分電磁波通過界面進(jìn)入空氣中，顯示出較大的折射角。也可以從波動(dòng)圖形中觀察到弱的反射率（約５％），其主要表現(xiàn)為光強(qiáng)度的明暗變化，對(duì)應(yīng)光波的干涉圖樣。這是由于入射波和反射波滿足干涉條件，在此區(qū)域相遇時(shí)發(fā)生干涉現(xiàn)象。對(duì)于大角度（入射角５５°）入射情況，如圖３（ｃ）所示，光波以反射現(xiàn)象為主，大部分電磁波被反射進(jìn)玻璃中。由于入射光線和反射光線的偏移，導(dǎo)致全反射過程中的古斯－哈恩斯（Ｇｏｏｓ－Ｈａｎｃｈｅｎ）位移現(xiàn)象［５－６］。反射光與入射光的疊加區(qū)域也出現(xiàn)了明顯的干涉現(xiàn)象。同時(shí)，要注意到折射光并沒有完全消除，透射進(jìn)入空氣中的光波強(qiáng)度以指數(shù)衰減，這就是全反射現(xiàn)象中的隱失波特性。學(xué)生通過自己動(dòng)手實(shí)踐操作，可以深入理解介質(zhì)界面的反射和折射現(xiàn)象。

2．２．２? ? 光學(xué)干涉和衍射仿真實(shí)驗(yàn)

光波的干涉和衍射現(xiàn)象是“物理光學(xué)”的重要內(nèi)容，因此，基于時(shí)域有限差分法并利用ＧＵＩ設(shè)計(jì)了干涉和衍射現(xiàn)象的操作界面（圖４），以波動(dòng)方式形象化地展示光的干涉和衍射現(xiàn)象。具體操作如下：

（１）結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)界面。輸入?yún)?shù)（狹縫數(shù)，狹縫大小，狹縫間距）后，右端顯示結(jié)構(gòu)圖形（按Ｓｈｏｗｐｉｃｔｕｒｅ鍵）。

（２）確定光波的波長(zhǎng)并運(yùn)行程序。輸入光波的波長(zhǎng)，選擇平面（２Ｄ）或者立體（３Ｄ）顯示，運(yùn)行計(jì)算程序（按Ｒｕｎ鍵）。

（３）觀察計(jì)算結(jié)果。觀察計(jì)算得到的動(dòng)態(tài)干涉（或者衍射）圖形（圖５），以及不同位置光波干涉強(qiáng)度分布圖（圖６）。

以計(jì)算結(jié)果為例，在空氣（折射率１．０）中設(shè)置狹縫寬度為４ μm、間距為１０ μm，按Ｓｈｏｗｐｉｃｔｕｒｅ鍵可得到圖４所示的楊氏雙縫結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)光波波長(zhǎng)為５ μm時(shí)，按Ｒｕｎ鍵可得到雙縫干涉圖形，如圖５所示?？梢杂^察到明顯的光波強(qiáng)弱變化，三個(gè)干涉峰向外傳播。用三維圖像顯示是為了方便觀察光強(qiáng)的變化?？紤]到ＦＤＴＤ計(jì)算范圍有限，在光學(xué)近場(chǎng)范圍內(nèi)（菲涅耳衍射），隨著通過狹縫的兩束光波向外傳播，干涉峰強(qiáng)度發(fā)生明顯變化。首先，顯示為兩個(gè)明顯的峰，即兩個(gè)光源還處于相互獨(dú)立的狀態(tài)，如圖６（ａ）所示。隨著傳播距離的增加，兩個(gè)光源的光波發(fā)生重疊，得到中間強(qiáng)度最大的光波分布圖，如圖６（ｂ）（ｃ）所示。隨著傳播距離的增加，中間區(qū)域出現(xiàn)三個(gè)峰，如圖６（ｄ）所示。

可以對(duì)此干涉和衍射仿真程序進(jìn)行拓展研究。例如，研究單縫衍射現(xiàn)象和光柵衍射現(xiàn)象（３到７個(gè)狹縫）。對(duì)于雙狹縫結(jié)構(gòu)，還可以改變狹縫大小、狹縫間距和入射波波長(zhǎng)等參數(shù)，定量研究這些參數(shù)對(duì)干涉圖形的影響。干涉和衍射圖形的展示和數(shù)據(jù)分析過程，非常考驗(yàn)學(xué)生的光學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，有助于他們對(duì)“物理光學(xué)”課程基礎(chǔ)知識(shí)的理解。另外，此仿真實(shí)驗(yàn)程序非常適合作為開放性仿真實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以基于此程序自主設(shè)計(jì)新結(jié)構(gòu)，獨(dú)立操作創(chuàng)新型仿真實(shí)驗(yàn)，獲得不同結(jié)構(gòu)下的干涉和衍射圖像。

3? ? 結(jié)? 論

針對(duì)求解Ｍａｘｗｅｌｌ電磁波方程的難點(diǎn)，通過ＭＡＴＬＡＢ平臺(tái)運(yùn)行求解Ｍａｘｗｅｌｌ方程的ＦＤＴＤ程序，計(jì)算不同環(huán)境下的電磁學(xué)問題。模擬完成“物理光學(xué)”中的光學(xué)部分，形象地展示了電磁波圖像和最新的光學(xué)科研進(jìn)展，讓學(xué)生直觀感受光學(xué)的演變過程和物理圖像，提升其學(xué)習(xí)興趣。利用ＧＵＩ功能建立電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)仿真平臺(tái)，在教學(xué)過程中進(jìn)行多參數(shù)光學(xué)仿真實(shí)驗(yàn)，為設(shè)計(jì)型和研究型仿真實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造條件。也能把動(dòng)態(tài)光學(xué)演變過程展示給學(xué)生，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力。此思路雖然是在高校教學(xué)中發(fā)展而來，但可以很方便地拓展到中學(xué)物理教學(xué)中。

參考文獻(xiàn)：

［１］史峰． 高等教育中現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用研究［Ｊ］． 課程教育研究，２０１７（２７）：６１－６２．

［２］顧培蒂． 可視化技術(shù)在教育中的應(yīng)用［Ｄ］． 北京：北京師范大學(xué)，２００８．

［３］徐寧． “物理光學(xué)”研究型教學(xué)模式探索與實(shí)踐［Ｊ］.電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，２０１２，３４（３）：１０３－１０５．

［４］黃元申，李柏承，徐邦聯(lián)，等． 物理光學(xué)本科教學(xué)體會(huì)［Ｊ］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），２０１４，３６（３）：２９３－２９６．

［５］梁銓廷． 物理光學(xué)（第５版）［Ｍ］.北京：電子工業(yè)出版社，２０１８．

［６］鐘錫華． 現(xiàn)代光學(xué)基礎(chǔ)（第２版）［Ｍ］.北京：北京大學(xué)出版社，２０１２．

［７］周權(quán)． ＦＤＴＤ方法在波動(dòng)光學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探索［Ｊ］.物理通報(bào)，２０１９（４）：１２－１６．

［８］林志立，陳子陽，陳旭東，等． 基于ＦＤＴＤ和ＭＡＴＬＡＢ的光學(xué)理論課程可視化輔助教學(xué)研究［Ｊ］． 教育現(xiàn)代化，２０１９，６（８２）：１７３－１７５．

［９］Ｙｅｅ Ｋ Ｓ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｉｔｉａｌ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ Ｍａｘｗｅｌｌｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｉｓｏｔｒｏｐｉｃ ｍｅｄｉａ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｎｔｅｎｎａｓ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ，１９６６，１４（３）： ３０２－３０７．

［１０］Ｔａｆｌｏｖｅ Ａ，Ｈａｇｎｅｓｓ Ｓ． Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ：Ｔｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ－Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ Ｔｉｍｅ Ｄｏｍａｉｎ Ｍｅｔｈｏｄ，３ｅｄ ［Ｍ］.Norwood，MA： Ａｒｔｅｃｈ Ｈｏｕｓｅ，２００５．

（欄目編輯? ? 賈偉堯）