圖像表征，從“抽象”走向“形象”

江蘇省常州市新北區(qū)春江中心小學(xué) 王 紅

表征是認(rèn)知心理研究領(lǐng)域中的一個(gè)核心概念。“一般地，表征是指可反復(fù)指代某一事物的任何符號(hào)或符號(hào)集，它可以用某一種形式將一種事、物、想法、知識(shí)重新表現(xiàn)出來?！痹诮虒W(xué)中，我們常用的數(shù)學(xué)表征有圖像表征、動(dòng)作表征、符號(hào)表征等?！皥D像表征是學(xué)生運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，將腦中‘心里圖畫’用示意圖、草圖等圖式形式表現(xiàn)出來，是對(duì)動(dòng)手操作的糾正、補(bǔ)充、細(xì)化和深化，是對(duì)數(shù)學(xué)理解有意義的心智活動(dòng)?！倍W(xué)生因年齡因素，其心智發(fā)展還不成熟，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中較為抽象的知識(shí)對(duì)他們來說理解較為困難。圖像表征則是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要路徑，借助圖像表征可以幫助學(xué)生理解概念、厘清算理算法、優(yōu)化策略等，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的重要方式。學(xué)生可以借助圖像，用直觀的形式幫助理解，圖像表征讓數(shù)學(xué)知識(shí)從“抽象”走向“形象”。

一、圖像表征助力題意解析

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，正確理解題意是解決問題的基礎(chǔ)，學(xué)生需要從文字中獲取信息、分析信息，然后處理信息。學(xué)生在解決問題的過程中出錯(cuò)或者找不到解題思路，多是因?yàn)槠鋵?duì)題意的理解不到位，不能準(zhǔn)確獲取所需信息或分析信息。此時(shí)，學(xué)生如果能借助圖像表征把復(fù)雜的題目用圖像直觀形象地表現(xiàn)出來，就會(huì)有較為清晰的解題思路。蘇霍姆林斯基曾說，如果哪個(gè)孩子學(xué)會(huì)畫應(yīng)用題，可以有根據(jù)地說，他一定能學(xué)會(huì)解應(yīng)用題。由此可見，圖像表征在幫助學(xué)生理解題意方面起到了不可或缺的作用。例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”的例2 時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖像來表示大盒和小盒內(nèi)球的數(shù)量關(guān)系，從而順利解決問題。

【教學(xué)片段1】

出示例題：在1 個(gè)大盒和5 個(gè)同樣的小盒里裝滿球，正好是80 個(gè)。大盒比每個(gè)小盒多裝8 個(gè)，大盒里裝了多少個(gè)球？每個(gè)小盒呢？

師：經(jīng)過昨天例1 的學(xué)習(xí)，你有什么想法嗎？能說說你的解題思路嗎？

生：可以依據(jù)大、小兩個(gè)盒子容量之間的關(guān)系把兩種盒子假設(shè)成同一種盒子，再計(jì)算。

師：嗯，看來你已經(jīng)學(xué)會(huì)舉一反三了，那請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚢伞?/p>

出示學(xué)習(xí)要求：

①先自行在導(dǎo)學(xué)單上畫一畫，再獨(dú)立解答；

②小組交流，組長(zhǎng)組織交流，統(tǒng)計(jì)方法；

③全班交流。

呈現(xiàn)學(xué)生資源。（圖略）

該例題是一個(gè)稍復(fù)雜的實(shí)際問題，兩種大小不同的盒子且不滿足平均分，面對(duì)這類純文字的描述且數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的題目，部分學(xué)生無法厘清題中的關(guān)系并選擇正確的數(shù)量關(guān)系解題。此時(shí)帶領(lǐng)學(xué)生回顧例1 的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)其想到可以把兩個(gè)不同的量依據(jù)兩者之間的關(guān)系假設(shè)成同一種量，再借助圖像來分析題目，不管是盒子圖還是示意圖學(xué)生都能準(zhǔn)確地在圖中表示題意。借助圖像的直觀性，大多數(shù)學(xué)生都能找到正確的數(shù)量關(guān)系解題。

小學(xué)生對(duì)較為抽象的問題不能快速反應(yīng)，需要教師提供一定的輔助。圖像表征就可以發(fā)揮其作用，能夠幫助學(xué)生更好地理解題意、厘清關(guān)系。圖像表征在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用也比較廣泛，如解決長(zhǎng)方體和正方體的實(shí)際問題、行程問題中的相遇問題、追及問題等都可以借助圖像表征幫助學(xué)生理解，讓數(shù)學(xué)題目從“抽象”走向“形象?！?/p>

二、圖像表征助力算理掌握

小學(xué)階段，計(jì)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。而數(shù)學(xué)算式是數(shù)學(xué)問題的高度概括，是抽象化、形式化、符號(hào)化的語言，體現(xiàn)了簡(jiǎn)潔美。算式作為一種符號(hào)語言是較為抽象的，在教學(xué)中如果只是讓學(xué)生掌握算法而不理解算理是不恰當(dāng)?shù)?，教師要讓學(xué)生不僅知其然更要知其所以然，所以算理的掌握尤為重要。有效運(yùn)用圖像表征，把算式轉(zhuǎn)化為圖像，可讓學(xué)生在圖像中理解算理、掌握算理。例如，蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)除法”，分?jǐn)?shù)本身就較為抽象，且學(xué)生在平時(shí)的生活中較少運(yùn)用分?jǐn)?shù)，所以分?jǐn)?shù)的計(jì)算學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)就有難度。算法的應(yīng)用大多數(shù)學(xué)生都能掌握，但是分?jǐn)?shù)除法的算理理解卻不盡然，因此，在教學(xué)時(shí)可以借助圖像讓學(xué)生充分體驗(yàn)、表達(dá)，從而掌握算理。

【教學(xué)片段2】

師：你能根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式嗎？

高速公路橋梁是主要的承載結(jié)構(gòu)部分，必須要根據(jù)地形條件來確定結(jié)構(gòu)形式，綜合比較各個(gè)方面之后才能最終確定，要保證其安全性和穩(wěn)定性。

生3：為什么只需要分子除以2，而分母不除以2 呢？

生2：可以用第一位同學(xué)的方法驗(yàn)證，結(jié)果是正確的。

師：看來同學(xué)們都很會(huì)思考，為什么在計(jì)算分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的時(shí)候只要分子除以整數(shù)，而分母不用除以整數(shù)呢？你們能畫個(gè)圖來表示這個(gè)算式嗎？

學(xué)生嘗試畫圖，有些學(xué)生畫圓，也有些學(xué)生畫長(zhǎng)方形或者正方形，先畫出圖形的，再把圖形的平均分成兩份，每1 份則是圖形的。（見圖1）

圖1

師：你真會(huì)舉一反三，把分?jǐn)?shù)除法和已經(jīng)學(xué)過的分?jǐn)?shù)乘法聯(lián)系起來了。

生畫圖。（見圖2）

圖2

師（小結(jié)）：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)等于分?jǐn)?shù)乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

在上述教學(xué)片段中呈現(xiàn)的是一個(gè)較為簡(jiǎn)單的教學(xué)情境，學(xué)生都能在理解數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上列式，而掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理與算法是本節(jié)課的重點(diǎn)。本節(jié)課中把算式轉(zhuǎn)化為圖形，更加直觀形象地幫助學(xué)生理解了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)。在教學(xué)時(shí)，學(xué)生能從分?jǐn)?shù)的意義出發(fā)，也能借助圖形理解的意義，并且借助圖形勾連了分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法，初步感知到可以把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來計(jì)算。在探究的過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生再次借助圖形加以鞏固理解，并在此過程中優(yōu)化了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算方法。學(xué)生經(jīng)歷了把抽象的算式轉(zhuǎn)化為形象的圖形的過程，加深了對(duì)計(jì)算算理和算法的理解。

計(jì)算方法的掌握可以依靠練習(xí)，但算理的掌握才是計(jì)算教學(xué)的本質(zhì)，算理相較于算法更加抽象，教師若能借助形象的圖像幫助學(xué)生理解，相信能讓算理從“抽象”走向“形象”。

三、圖像表征助力策略內(nèi)化

華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)非常重要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透。在某種意義上，這里的“形”也是圖像表征的一種。例如，教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)的“解決問題的策略——轉(zhuǎn)化”時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)與計(jì)算的角度體會(huì)轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用過程和特點(diǎn)。學(xué)生在解決問題的過程中，初步領(lǐng)會(huì)轉(zhuǎn)化的過程和特點(diǎn)，體會(huì)轉(zhuǎn)化的作用，進(jìn)一步增強(qiáng)解決問題的策略意識(shí)。課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算一組分?jǐn)?shù)的和，運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略把較復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單計(jì)算，為了便于學(xué)生更加直觀地理解，設(shè)計(jì)了以下三次圖像表征活動(dòng)。

【教學(xué)片段3】

交流算式特征（每個(gè)加數(shù)分子都是1，后一個(gè)加數(shù)的分母是前一個(gè)加數(shù)分母的兩倍；后一個(gè)加數(shù)的大小是前一個(gè)加數(shù)的一半）。

學(xué)生上臺(tái)展示自己的方法（通分、化小數(shù)、畫圖）。

師（評(píng)價(jià)）：有的同學(xué)能想到畫圖的方法真是與眾不同，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中我們就發(fā)現(xiàn)借助圖形可以使一些信息更直觀。

學(xué)生畫圖、交流。

學(xué)生借助圖形（見圖3）講解思考過程：把圖形平均分， 就是整個(gè)圖形的一半， 就是剩下圖形的一半，依次類推，剩下的那部分就是，只要用單位1 減去就是最后的結(jié)果。

圖3

師（評(píng)價(jià)）：聽了你的講解真是讓人豁然開朗，除了可以畫正方形，還可以畫其他圖形來表示這個(gè)算式嗎？

生：還可以畫線段圖，更加簡(jiǎn)便。

師：你給了同學(xué)們一個(gè)很好的啟發(fā)，每位同學(xué)選擇一個(gè)自己喜歡的圖形來表示這個(gè)算式，再算一算，并和你的同桌說說你是怎么畫的、怎么想的。

學(xué)生交流。

小結(jié)規(guī)律：從圖形中可以看出最后剩下的一部分與最后一個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的大小相同，所以可以把這個(gè)復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化成，借助圖形更有助于我們理解。

小結(jié)：有些復(fù)雜的算式可以轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的算式，借助圖形還能幫我們找到轉(zhuǎn)化的方法，使計(jì)算更加簡(jiǎn)便。

此次教學(xué)在初步感悟中讓學(xué)生用不同方法解決問題，初步感知用畫圖的方法也可以解決這類問題，并且在對(duì)比的過程中感受通分和化小數(shù)方法的不足，優(yōu)化畫圖的方法。鞏固應(yīng)用中又讓每個(gè)學(xué)生嘗試用畫圖的方法解決，將圖像與算式中每一個(gè)分?jǐn)?shù)勾連，通過直觀的圖像，可以將復(fù)雜的算式轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的算式，找出其中的計(jì)算規(guī)律，更加有助于學(xué)生計(jì)算和理解。除了動(dòng)筆畫圖，動(dòng)腦想圖也是圖像表征的一種形式，動(dòng)腦想圖就是在腦子里畫圖，這種方式不僅提高了學(xué)生解決問題的效率，還促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提升。在拓展提升中讓學(xué)生借助腦中的圖像再次解決問題，是學(xué)生對(duì)規(guī)律、方法的再次鞏固與內(nèi)化。通過這一系列圖像表征活動(dòng)，找出其中所蘊(yùn)含的規(guī)律，把復(fù)雜的算式通過圖像轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的算式，學(xué)生經(jīng)歷了從抽象到形象的過程，進(jìn)行了深層次的思考，形成了深刻的、個(gè)性化的認(rèn)識(shí)并豐富了體驗(yàn)，進(jìn)一步加深了對(duì)轉(zhuǎn)化策略的理解。

圖像表征是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要方法，把抽象難懂的數(shù)學(xué)概念、算理算法、策略等與直觀形象的圖像相結(jié)合，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題形象化，從而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)上的發(fā)展，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠基。