朱海峰　楊麗萍

【摘要】本文闡述探究性學(xué)習(xí)選題的原則和分類(lèi)方式，深入挖掘教材中的探究性學(xué)習(xí)材料，結(jié)合案例分析函數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計(jì)三個(gè)方面的選題并說(shuō)明探究性學(xué)習(xí)的選題操作方法，論述促進(jìn)高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)順利開(kāi)展的三條途徑，旨在促進(jìn)新課程、新教材、新高考改革走向深入。

【關(guān)鍵詞】探究性學(xué)習(xí) 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)實(shí)踐

【中圖分類(lèi)號(hào)】G63 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2023）20-0080-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）提出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類(lèi)綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，必修課程的主題五、選擇性必修課程的主題四以及選修課程中，都有數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，且以課題研究的形式開(kāi)展，要求學(xué)生在每個(gè)課程段完成其中的一個(gè)課題研究。數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)是指圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究或合作研究最終解決問(wèn)題的過(guò)程，具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論。探究性學(xué)習(xí)是新課改以來(lái)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)方式方法，也是學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方式。自2021年秋季學(xué)期起，廣西正式啟動(dòng)實(shí)施普通高中新課程、新教材改革，高一年級(jí)啟用新教材。然而，在啟用新教材一年多的時(shí)間里，由于培訓(xùn)不到位以及教師對(duì)新課程認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)并沒(méi)有得到有效開(kāi)展。

因此，本文首先闡述探究性學(xué)習(xí)選題的原則和分類(lèi)方式，讓讀者熟悉探究性學(xué)習(xí)；其次，筆者通過(guò)研究教材，挖掘教材中的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)素材，主要從函數(shù)、幾何和概率統(tǒng)計(jì)等三個(gè)方面進(jìn)行選題，結(jié)合案例說(shuō)明探究性學(xué)習(xí)的選題操作方法；最后，筆者根據(jù)日常的教學(xué)活動(dòng)，總結(jié)促進(jìn)高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)順利開(kāi)展的三條途徑，拋磚引玉，給教師提供一些參考。

一、探究性學(xué)習(xí)選題原則和分類(lèi)方式

（一）探究性學(xué)習(xí)選題原則

根據(jù)新課程“以人為本”的教育理念，筆者認(rèn)為探究性學(xué)習(xí)選題應(yīng)當(dāng)遵循微型化原則、可操作性原則以及生活化原則等三個(gè)原則。

微型化原則指的是選題宜小不宜大、宜精不宜泛。選擇能夠在一節(jié)課或者半個(gè)小時(shí)左右完成的“微課題”，比如探究橢圓的第二定義、探究復(fù)數(shù)的三角表示、探究正方體的側(cè)面展開(kāi)等，既能吸引學(xué)生的注意力，提高學(xué)生的課堂參與度，又容易達(dá)成探究的目的。

可操作性原則是指選擇的課題具備一定的可操作性，具有起點(diǎn)低、爬坡緩、落點(diǎn)高等特點(diǎn)。選擇的課題應(yīng)符合學(xué)生的能力水平和認(rèn)知水平，學(xué)生“跳一跳”能解決或者通過(guò)查閱資料、運(yùn)用信息技術(shù)能夠解決，使學(xué)生充滿自信。比如游客增長(zhǎng)模型、拋硬幣實(shí)驗(yàn)等。

生活化原則是指選題要突出數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又應(yīng)用于生活的特點(diǎn)?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，指導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)中，以體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用價(jià)值。學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力，自然就會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣。比如摩天輪運(yùn)動(dòng)模型、用猜價(jià)格游戲引入零點(diǎn)和二分法、動(dòng)手制作常見(jiàn)幾何體模型等。

（二）探究性學(xué)習(xí)分類(lèi)

根據(jù)不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，探究性學(xué)習(xí)可以劃分為不同類(lèi)型。

從探究?jī)?nèi)容來(lái)源分析，可以將探究性學(xué)習(xí)分為“知識(shí)（定理）來(lái)源探究”和“知識(shí)（定理）延伸探究”，例如探究函數(shù)概念的歷史發(fā)展、笛卡爾與解析幾何等就是知識(shí)（定理）來(lái)源探究，探究橢圓的第二定義、祖暅原理等是知識(shí)（定理）延伸探究。

從探究的自主程度分析，在教師引導(dǎo)下進(jìn)行的探究稱(chēng)為“引導(dǎo)式探究”，課堂教學(xué)中的探究基本上屬于“引導(dǎo)式探究”，具有時(shí)間短、見(jiàn)效快、適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)；學(xué)生獨(dú)立自主進(jìn)行的探究稱(chēng)為“自主式探究”，例如測(cè)量建筑物的高度、某形狀物體的體積等。

從探究過(guò)程中使用的工具分析，不需要借助信息技術(shù)的探究稱(chēng)為“傳統(tǒng)式探究”，例如用向量法研究三角形的性質(zhì)，這一探究性學(xué)習(xí)用紙與筆基本上就能完成，探究抽簽是否公平也可以不借助信息技術(shù)完成；需要信息技術(shù)輔助的稱(chēng)為“信息技術(shù)探究”，例如立體幾何截面、均勻隨機(jī)數(shù)的生成、陌生函數(shù)的圖象和性質(zhì)等，這些都是可以借助信息技術(shù)完成的探究。

二、依托教材開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)案例分析

筆者對(duì)新教材設(shè)置的欄目進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，新教材必修和選擇性必修五本教材中，共安排了“探究與發(fā)現(xiàn)”13處、“閱讀與思考”25處、“數(shù)學(xué)探究”2處、“數(shù)學(xué)建?！?處、“信息技術(shù)應(yīng)用”7處、“拓廣探索”題目185道。按照高中數(shù)學(xué)四大主線內(nèi)容統(tǒng)計(jì)，函數(shù)主線素材有18份、代數(shù)與幾何素材有23份、概率與統(tǒng)計(jì)素材有9份、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)素材有4份。下面，本文從函數(shù)、代數(shù)與幾何、概率與統(tǒng)計(jì)三個(gè)方面各選一案例進(jìn)行分析，供各位同仁參考。

（一）案例1：等差數(shù)列與等比數(shù)列的類(lèi)比（選擇性必修第二冊(cè)第四章第56頁(yè)）

類(lèi)比即類(lèi)同、比類(lèi)、推類(lèi)，與“從無(wú)到有產(chǎn)生數(shù)學(xué)”的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和“從少到多發(fā)展數(shù)學(xué)”的邏輯推理素養(yǎng)本質(zhì)相同，與數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等也有內(nèi)在關(guān)聯(lián)。等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多方面都具有類(lèi)比關(guān)系，是很好的探究性學(xué)習(xí)素材。

教師給學(xué)生展示如下探究性學(xué)習(xí)素材。

等差數(shù)列與等比數(shù)列的“對(duì)偶關(guān)系”：把等差數(shù)列的一個(gè)關(guān)系式中的運(yùn)算“+”改為“×”、“-”改為“÷”、正整數(shù)倍改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可以得到等比數(shù)列中一個(gè)形式相同的關(guān)系式，反之也成立。

1.根據(jù)以上說(shuō)法，你能發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列和等比數(shù)列的哪些對(duì)偶關(guān)系式？

2.在等差數(shù)列{an}中，若a2023=0，則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a4047-n（n∈N*，n＜4047），相應(yīng)的，在等比數(shù)列{bn}中，若a2023=1，請(qǐng)你類(lèi)比推測(cè)出對(duì)偶的等式，并加以證明。

此案例中，可以根據(jù)概念、遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式、項(xiàng)的性質(zhì)等發(fā)現(xiàn)對(duì)偶關(guān)系。在探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，學(xué)生既能對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，又能探究出等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的聯(lián)系，做到舉一反三、觸類(lèi)旁通，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

類(lèi)比思想在高中數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，教材的編寫(xiě)也有意加強(qiáng)滲透類(lèi)比的思想方法，從等式性質(zhì)到不等式性質(zhì)，從平面向量到空間向量，從平面幾何到空間立體幾何，從圓到橢圓，從橢圓到雙曲線，從等差數(shù)列到等比數(shù)列，等等。合理地運(yùn)用類(lèi)比思想，不僅能讓學(xué)生加深新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建完備的知識(shí)體系，還能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維和發(fā)散思維，達(dá)到舉一反三的效果。

（二）案例2：容器中水的問(wèn)題（必修第二冊(cè)第八章第145頁(yè)）

如圖1，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD- A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜。隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題：

1.有水的部分始終呈棱柱形；

2.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；

3.水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

4.棱A1D1始終與水面所在平面平行；

5.當(dāng)容器傾斜如圖1（3）所示時(shí)，BE·BF是定值。

其中所有正確命題的序號(hào)是_____，為什么？

學(xué)生經(jīng)過(guò)探究后可以得到正確的命題序號(hào)為1、2、4、5。教師再展示如下問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究走向深處。

如圖1，透明塑料制成的正方體容器ABCD- A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，若固定底面的點(diǎn)A在地面上，再將容器傾斜，水面可能呈現(xiàn)哪些形狀？

以上兩個(gè)探究活動(dòng)都是考查用一個(gè)平面去截立體圖形所得到的截面圖，前者的平面要求過(guò)直線BC，而后者的平面沒(méi)有固定，因此結(jié)論具有開(kāi)放性，考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師在設(shè)計(jì)探究性學(xué)習(xí)方案時(shí)，如果能夠?qū)?shí)物演示、動(dòng)畫(huà)演示與邏輯推理等方式結(jié)合，將會(huì)呈現(xiàn)一節(jié)很好的探究性學(xué)習(xí)課。

（三）案例3：病毒檢驗(yàn)次數(shù)問(wèn)題（選擇性必修第三冊(cè)第七章第91頁(yè)）

某單位有10 000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者。假設(shè)攜帶病毒的人占5%，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10 000次，統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)。如果混合血樣陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)該組內(nèi)的5個(gè)人每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次。

1.按照這種化驗(yàn)方法能減少化驗(yàn)次數(shù)嗎？

2.如果攜帶病毒的人只占2%，按照k個(gè)人一組，k取多大時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少？

學(xué)生經(jīng)過(guò)探究，得出如下結(jié)果。

這道探究性學(xué)習(xí)題考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教師在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注科技發(fā)展、社會(huì)民生等，利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，堅(jiān)定理想信念，厚植愛(ài)國(guó)情懷，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。

三、促進(jìn)高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)順利開(kāi)展的三條途徑

（一）堅(jiān)持與時(shí)俱進(jìn)，更新與轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念

黨的二十大報(bào)告指出，教師是教育強(qiáng)國(guó)的第一資源，是科技強(qiáng)國(guó)的關(guān)鍵支撐，是人才強(qiáng)國(guó)的重要保障。教師需要與時(shí)俱進(jìn)，不斷更新教學(xué)觀念，貫徹落實(shí)黨的二十大精神。教學(xué)觀念對(duì)教學(xué)起著指導(dǎo)作用，是指導(dǎo)教師落實(shí)課程改革的關(guān)鍵。

首先，可以通過(guò)名師引領(lǐng)，更新與轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念。目前，線上培訓(xùn)日趨成熟。教師通過(guò)參加線上培訓(xùn)，可以學(xué)習(xí)全國(guó)各地的專(zhuān)家和名師的最新理念與優(yōu)質(zhì)經(jīng)驗(yàn)。例如，筆者通過(guò)“教研網(wǎng)”公眾號(hào)，觀看了全國(guó)各地新課程改革線上報(bào)告會(huì)，觀摩了很多名師的優(yōu)質(zhì)課、示范課，學(xué)到了很多理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

其次，通過(guò)同伴互助，加強(qiáng)教師之間的切磋和經(jīng)驗(yàn)共享，實(shí)現(xiàn)共同成長(zhǎng)。比如舉辦數(shù)學(xué)“沙龍”、同課異構(gòu)、課題研討等活動(dòng)，促進(jìn)教師之間的溝通，使教師相互學(xué)習(xí)、相互提高。

最后，通過(guò)自我反思，更新自身的教學(xué)觀念。葉瀾教授說(shuō)過(guò)，一個(gè)教師寫(xiě)三十年教案不一定有效果，但堅(jiān)持寫(xiě)三年教學(xué)反思，一定能成為優(yōu)秀教師。教師通過(guò)反思課堂中存在的問(wèn)題，反思課堂中師生的關(guān)系，反思自身的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，從而找到自己的短板，對(duì)癥下藥，使自己更好地成長(zhǎng)。

（二）深入鉆研教材，提煉探究性學(xué)習(xí)材料

教師可以通過(guò)熟讀教材、鉆研教材、吃透教材，溝通知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；通過(guò)參加培訓(xùn)、課程學(xué)習(xí)和閱讀資料等，領(lǐng)會(huì)章節(jié)的編排意圖。教師要善于從更高的視角看待高中數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握高中數(shù)學(xué)知識(shí)的延伸，如一元三次方程的解法、洛必達(dá)法則、代數(shù)基本定理、復(fù)數(shù)的三角表示、矩陣等。教材所呈現(xiàn)的不只是數(shù)學(xué)知識(shí)，還有蘊(yùn)藏在這些知識(shí)背后的思想方法。研究提煉教材內(nèi)容所體現(xiàn)的思想方法，如函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想等，對(duì)開(kāi)闊教師的視野、提升教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)具有重要作用。

（三）掌握信息技術(shù)，促進(jìn)信息技術(shù)與教學(xué)融合

科學(xué)技術(shù)日新月異，新一代信息技術(shù)已經(jīng)成為全球科技競(jìng)爭(zhēng)的戰(zhàn)略制高點(diǎn)。信息技術(shù)的發(fā)展往往帶來(lái)教學(xué)方式的變革和學(xué)習(xí)方式的改變。探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的開(kāi)展離不開(kāi)信息技術(shù)的支撐，比如作圖軟件幾何畫(huà)板、GeoGebra，數(shù)據(jù)處理軟件Excel、SPSS、mathlab等。利用信息技術(shù)，一方面能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，另一方面有助于學(xué)生探究未知問(wèn)題。因此，教師要學(xué)會(huì)以上軟件的基本操作，精通其中的一款或多款軟件，從而充分利用信息技術(shù)輔助設(shè)計(jì)知識(shí)的生成和延伸等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)漫長(zhǎng)而復(fù)雜的過(guò)程，也是教師不斷探索和研究的過(guò)程。探究性學(xué)習(xí)讓學(xué)生有了探索未知領(lǐng)域的空間。教師應(yīng)給足學(xué)生開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)的時(shí)間與空間，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位、深層次地探究問(wèn)題。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐總結(jié)出來(lái)的三條有效促進(jìn)高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)順利開(kāi)展的途徑還存在一定的局限性，有待今后繼續(xù)深入探究?？偠灾?，探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)的開(kāi)展，是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的革新，是夯實(shí)“四基”、培養(yǎng)“四能”的基本要求，是落實(shí)“三會(huì)”的重要途徑，更是落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要抓手，對(duì)學(xué)生的全面發(fā)展具有重要意義，值得教師深入研究。

參考文獻(xiàn)

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［3］王曦.用“幾何畫(huà)板”進(jìn)行高中數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（1/2）.

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作者簡(jiǎn)介：朱海峰（1985— ），廣西北流人，碩士，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)解題教學(xué)；楊麗萍（1991— ），廣西陸川人，本科，二級(jí)教師，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)解題教學(xué)。

（責(zé)編 劉小瑗）