■湖南省郴州市第一中學(xué) 李 強(qiáng)

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題,構(gòu)造與轉(zhuǎn)化至關(guān)重要,構(gòu)造的函數(shù)恰當(dāng),則往往能起到事半功倍的效果。在含有x,ex,lnx的混合式的處理過程中,有時(shí)用同構(gòu)函數(shù)法可大大簡化運(yùn)算過程。解決極值點(diǎn)偏移問題的重要方法也是構(gòu)造函數(shù),即根據(jù)函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)x0構(gòu)造函數(shù)。若需證x1+x2>2x0,則令F(x)=f(x)-f(2x0-x);若需證x1x2>則令再根據(jù)f(x)的單調(diào)性,將問題轉(zhuǎn)化為判定F(x)的符號(hào)問題。

一、同構(gòu)函數(shù)的應(yīng)用

例1已知不等式e2ax+lnx≥(2a+1)x對(duì)任意的x∈(1,+∞)恒成立,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

評(píng)注:將已知不等式移項(xiàng),利用和差型同構(gòu)思路,使兩邊化為同一個(gè)外層函數(shù)單調(diào)性確定的復(fù)合函數(shù),轉(zhuǎn)化為形式更簡單的等價(jià)不等式。

綜上所述,不存在過原點(diǎn)的直線與f(x)的圖像相切。

先分別證不等式ex≥x+1 ①;lnx≤x-1 ②。(過程略)

由①知,ex+lnx≥(x+lnx)+1,即xex≥x+lnx+1,取等號(hào)的條件是x+lnx=0。

由②知,lnx-x+1≤0,又x>0,故x(lnx-x+1)≤0,取等號(hào)的條件是x=1。

二、極值點(diǎn)偏移問題

解決極值點(diǎn)偏移問題的主要方法有構(gòu)造函數(shù)法,換元法等。

當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0恒成立,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0 時(shí),f′(x)<0的解集為(0,a),f′(x)>0的解集為(a,+∞),即f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增。即φ(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,則0<φ(x)<φ(e)=e,故h′(x)<0,h(x)在(0,e)上單調(diào)遞減。而(0,a)?(0,e),所以當(dāng)x∈(0,a)時(shí),h(x)>h(a)>h(e)=1,即當(dāng)x∈(0,a)時(shí),成立,故有x1x2

綜上所述,a2

以上例題主要考查不等式恒成立時(shí)求參數(shù)范圍、證明函數(shù)不等式、求函數(shù)最值等問題,適時(shí)應(yīng)用同構(gòu)函數(shù)法等可突破難點(diǎn),提高轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用能力,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。