■西北師范大學附屬中學 緱小鋒

函數(shù)作為高中數(shù)學內(nèi)容的一條主線,對整個高中數(shù)學的學習有著重要的意義,每年高考卷都將其作為必考題,出現(xiàn)在選擇題或填空題中,常以基本函數(shù)、基本函數(shù)組成的復合函數(shù)及抽象函數(shù)為載體,對函數(shù)內(nèi)容和性質(zhì)進行考查,考查的內(nèi)容有函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、圖像等,且常與導數(shù)、不等式、方程等知識交匯命題,考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸和函數(shù)與方程等思想方法。本文著重梳理高考中函數(shù)四大性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性)的命題方向分析。

一、函數(shù)的單調(diào)性及其應用

1.利用單調(diào)性求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.利用單調(diào)性求函數(shù)的值域

在利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域時應先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求值域。

例2已知函數(shù)f(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù),且f(f(x)-2x-2x)=10,則f(x)在[-2,2]上的值域為____。

解析：因為f(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù),所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10,則f(x)-2x-2x=t,所以f(t)-2t-2t=t,即f(t)=2t+3t=10。因為函數(shù)y=2t+3t為增函數(shù),且22+3×2=10,所以t=2,f(x)=2x+2x+2。易知f(x)在[-2,2]上為增函數(shù),且f(-2)=,f(2)=10,故f(x)在[-2,2]上的值域為。

3.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍

利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時,通常要把參數(shù)視為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較,利用區(qū)間與端點之間的關(guān)系求參數(shù)。同時注意函數(shù)定義域的限制,遇到分段函數(shù)時要注意分點與左右端點處的函數(shù)值的大小關(guān)系。

例3已知函數(shù)f(x)=滿足對任意的實數(shù)x1,x2,且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)＜0,則實數(shù)a的取值范圍為( )。

例4已知函數(shù)f(x)=loga(x2-ax+3)在[0,1]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為( )。

A.(0,1) B.(1,4)

C.(0,1)∪(1,4) D.[2,4)

4.利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小

對于比較函數(shù)值大小的問題,應將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決。

二、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性有如下結(jié)論:奇±奇=奇;偶±偶=偶;奇±偶=非奇非偶;奇×(÷)奇=偶;奇×(÷)偶=奇;偶×(÷)偶=偶。復合函數(shù)y=f[g(x)]的奇偶性原則:外奇內(nèi)奇為奇;外奇內(nèi)偶為偶;外偶內(nèi)奇為偶;外偶內(nèi)偶為偶。

1.函數(shù)的奇偶性的判斷

在解決函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合的問題時,要注意函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義,以及奇偶函數(shù)圖像的對稱性。

例6下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是( )。

A.y=lgxB.y=

C.y=2|x|D.y=tanx

解析：對于選項A,y=lgx的定義域為(0,+∞),不關(guān)于原點對稱,所以為非奇非偶函數(shù),故選項A 錯誤;對于選項B,f(x)=的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),關(guān)于原點對稱,又因為f(-x)==-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),但在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,故選項B錯誤;對于選項C,f(x)=2|x|的定義域為R,關(guān)于原點對稱,又因為f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),故選項C 錯誤;對于選項D,f(x)=tanx,由正切函數(shù)的性質(zhì)可知f(x)=tanx為奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,故選項D 正確。故選D。

2.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

例7若函數(shù)f(x)=log2(16x+1)-ax是偶函數(shù),則loga2=________。

解析：因為f(x)為偶函數(shù),定義域為R,所以對任意的實數(shù)x都有f(x)=f(-x),即log2(16x+1)-ax=log2(16-x+1)+ax,所以2ax=log2(16x+1)-log2(16-x+1)=log216x=4x,由題意知該式對任意的實數(shù)x恒成立,所以2a=4,解得a=2,所以loga2=1。

例8已知函數(shù)f(x)=2x2+ax+2,若f(x+1)是偶函數(shù),則a=________。

解析：因為f(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),即2(-x+1)2+a(-x+1)+2=2(x+1)2+a(x+1)+2,即8x=-2ax,解得a=-4。

3.已知函數(shù)的奇偶性求表達式、求值

三、函數(shù)的對稱性與周期性

1.函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱,則f(a+x)=f(a-x);

(2)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,b)對稱,則f(a+x)+f(a-x)=2b;

(3)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(a-x)關(guān)于y軸對稱,函數(shù)y=f(a+x)與y=-f(a-x)關(guān)于原點對稱;

(4)若函數(shù)y=f(x)有兩條對稱軸x=a,x=b(a＜b),則函數(shù)f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a);

(5)若函數(shù)y=f(x)的圖像有兩個對稱中心(a,c),(b,c)(a＜b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=2(b-a);

(6)若函數(shù)y=f(x)有一條對稱軸x=a和一個對稱中心(b,0)(a＜b),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù),且周期T=4(b-a)。

例11定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(4+x)=0,f(2+2x)是偶函數(shù),f(1)=1,則下列結(jié)論錯誤的是( )。

A.f(x)是奇函數(shù)

B.f(2 023)=-1

C.f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱

解析：對于選項A,因為f(2+2x)是偶函數(shù),所以f(2-2x)=f(2+2x),所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=2 對稱,所以f(-x)=f(4+x),因為f(x)+f(4+x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù),則選項A 正確;對于選項B,因為f(4+x)=-f(x),所以f(8+x)=-f(4+x),所以f(8+x)=f(x),所以f(x)的周期為8,所以f(2 023)=f(253×8-1)=f(-1)=-f(1)=-1,則選項B正確;對于選項C,若f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則f(3)=f(-1),但是f(-1)=-f(1)=-1,f(3)=f(1)=1,即f(3)≠f(-1),這與假設(shè)條件矛盾,則選項C 錯誤;對于選項D,將x=代入f(2-2x)=f(2+2x),得f(3)=f(1)=1,將x=1 代入f(x)+f(4+x)=0,得f(5)=-f(1)=-1,同理可知f(7)=-f(3)=-1,又因為f(x)的周期為8,所以f(x)的正奇數(shù)項的周期為4,所以=f(1)+2f(3)+3f(5)+…+100f(199)=[f(1)+2f(3)+3f(5)+4f(7)]+[5f(9)+6f(11)+7f(13)+8f(15)]+…+[97f(193)+98f(195)+99f(197)+100f(199)]=25×(-4)=-100,則選項D 正確。故選C。

2.類周期函數(shù)

若y=f(x)滿足:f(x+m)=kf(x)或f(x)=kf(x-m),則y=f(x)的橫坐標每增加m個單位,函數(shù)值就擴大k倍。此函數(shù)稱為周期為m的類周期函數(shù)。

例12定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=3f(x),當x∈[0,2]時,f(x)=x2-2x,若當x∈[-4,-2]時,f(x)≥恒成立,則實數(shù)t的取值范圍為( )。

3.抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

例13已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對任意的x1,x2∈[0,+∞),且x1≠x2,有＞0,若f(1)=0,則不等式(x-1)f(x)＞0的解集是( )。

A.(-1,1)∪(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)∪(0,1)

例14已知函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x都有f(x+4)-f(x)=2f(2),若y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x1,x2∈(0,2),且x1≠x2,都有＞0,則下列結(jié)論錯誤的是( )。

A.f(x)是偶函數(shù)

B.f(x)的周期T=4

C.f(2 022)=0

D.f(x)在(-4,-2)上單調(diào)遞減

解析：由y=f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對稱,則f(1+x-1)=f(1-x-1),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函數(shù),所以A正確;由f(x+4)-f(x)=2f(2),可令x=-2,得f(2)=0,則f(x+4)=f(x),故f(x)的周期T=4,所以B正確;f(2 022)=f(4×505+2)=f(2)=0,所以C 正確;又f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,則f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞減,由周期T=4,知f(x)在(-4,-2)上單調(diào)遞增,所以D 錯誤。故選D。

四、函數(shù)性質(zhì)的綜合

例15已知函數(shù)f(x)=ex-2+e2-x+2x2-8x+7,則不等式f(2x+3)＞f(x+2)的解集為( )。

解析：由函數(shù)f(x)=ex-2+e2-x+2x2-8x+7=ex-2+e2-x+2(x-2)2-1,所以f(x+2)=ex+e-x+2x2-1。令g(x)=f(x+2)=ex+e-x+2x2-1,可得g'(x)=exe-x+4x。令h(x)=g'(x)=ex-e-x+4x且h(0)=0,可得h'(x)=ex+e-x+4＞0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)＞h(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。又因為g(-x)=e-x+ex+2(-x)2-1=ex+e-x+2x2-1=g(x),所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù),則在(-∞,0)上單調(diào)遞減。又由f(2x+3)＞f(x+2),即g(2x+1)＞g(x),即|2x+1|＞|x|,整理得3x2+4x+1＞0,解得x＞或x＜-1,即不等式f(2x+3)＞f(x+2)的解集為(-∞,-1)∪。故選B。

例16設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x2,若對任意的x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為( )。

同學們在備考函數(shù)知識時應以常見的選擇題和填空題為主進行訓練,考查難度的跨度大,既有容易題,也有中檔題,更有困難題,而且常考常新。其中指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù),以及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是基礎(chǔ),要求同學們在理解的基礎(chǔ)上熟練掌握這些函數(shù)的圖像和性質(zhì),準確把握函數(shù)概念和性質(zhì)的本質(zhì),會處理分段函數(shù)與抽象函數(shù)的相關(guān)問題,會識別函數(shù)圖像的變化。同時,指對函數(shù)的運算也是?？疾榈闹R點,同學們應加強對公式的理解及應用的訓練。