對(duì)角互補(bǔ)模型分類例析

?江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 顧嘯敏

初中數(shù)學(xué)里有諸多幾何模型,如手拉手模型、角含半角模型、倍長(zhǎng)中線模型、對(duì)角互補(bǔ)模型等,它們?cè)谥锌級(jí)狠S題中頻頻出現(xiàn),綜合考查學(xué)生基本幾何知識(shí)以及分析、綜合、探究的能力,因其變化的圖形中往往蘊(yùn)含著某些不變的關(guān)系,而某些變化的關(guān)系里又蘊(yùn)含著不變的解題規(guī)律,所以受到了命題者的青睞.本文中重點(diǎn)就“對(duì)角互補(bǔ)型”幾何模型進(jìn)行分類例析.

1 90°的全等型

90°的全等型是指相對(duì)的兩個(gè)角都是90°,其中一個(gè)直角頂點(diǎn)在另一個(gè)直角的角平分線上,我們可以得到相等的線段、線段的和差關(guān)系及圖形面積之間的關(guān)系.此類型的基本圖形如圖1-1與圖1-2,它們的已知條件均為∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB.

圖1-1

圖1-2

例1如圖2-1,四邊形ABCD被對(duì)角線BD分為等腰直角三角形ABD和Rt△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是直角,另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2,求四邊形ABCD的面積.

圖2-1

圖2-2

評(píng)注：本題的圖形就是“對(duì)角互補(bǔ)模型”,且相對(duì)的兩角均為90°,此時(shí)四邊形的面積等于兩直角頂點(diǎn)連線平方的一半.

2 120°的全等型

120°的全等型是指相對(duì)的兩個(gè)角分別為120°和60°,其中一個(gè)角的頂點(diǎn)在另一個(gè)角的平分線上,我們也可以得到相等的線段、線段的和差關(guān)系、圖形面積關(guān)系.此類型的基本圖形如圖3-1與圖3-2,已知條件均為∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB.

圖3-1

圖4-1

解析：過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M,作DN⊥AC于點(diǎn)N,如圖4-2,則∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．又∠A=60°,所以

圖4-2

∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．

又∠EDF=120°,所以∠MDE=∠NDF．

評(píng)注：本題屬于“對(duì)角互補(bǔ)模型”,且對(duì)角度數(shù)分別為60°和120°,由于D是底邊中點(diǎn),根據(jù)“三線合一”可知點(diǎn)D仍在60°角的平分線上.本題雖然沒有使用原模型的結(jié)論,但仍使用了原模型的思路,即過一個(gè)角的頂點(diǎn)作另一個(gè)角兩邊的垂線,從而構(gòu)造全等三角形.

3 任意角全等型

任意角全等型是指在對(duì)角的四邊中,相對(duì)的兩個(gè)角只有互補(bǔ)關(guān)系,沒有特殊的度數(shù),其中一個(gè)角的頂點(diǎn)在另一個(gè)角的平分線上,我們?nèi)钥梢缘玫揭恍┯幸娴慕Y(jié)論.基本圖形如圖5-1與圖5-2,它們的已知條件均為∠AOB=2α,∠DCE=180°-2α,OC平分∠AOB.

圖5-1

圖5-2

對(duì)于圖5-1,有結(jié)論:CD=CE;OD+OE=2OC·cosα;S△OCD+S△OCE=OC2·sinα·cosα.

對(duì)于圖5-2,有結(jié)論:CD=CE;OE-OD=2OC·cosα;S△OCE-S△OCD=OC2·sinα·cosα.

例3已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB=AC,在∠BAC所對(duì)弧BC上任取一點(diǎn)D,連接AD,BD,CD．

(1)如圖6-1,如果∠BAC=120°,那么BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是什么?寫出猜測(cè)并加以證明.

圖6-1

(2)如果∠BAC=α,寫出BD+CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

理由如下:延長(zhǎng)DB到E,使得BE=DC,連接AE,過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,如圖6-2.

圖6-2

所以∠2=∠E,即∠E=∠1,則AE=AD.

于是DF=EF,從而DE=BD+CD=2DF.

(2)略．

評(píng)注：當(dāng)特殊的度數(shù)換作任意角時(shí),它的結(jié)論也就更一般了,我們也能看出這種模型的本質(zhì)所在,但解題思路基本不變,即作垂線、延長(zhǎng)截取構(gòu)造全等三角形.

“對(duì)角互補(bǔ)型”這里講述的是全等型的,即一個(gè)角的頂點(diǎn)剛好在另一個(gè)角的平分線上.其實(shí),對(duì)角互補(bǔ)型的幾何模型還有相似型的,即一個(gè)角的頂點(diǎn)并不在另一個(gè)角的平分線上,有興趣的同學(xué)可以繼續(xù)探究.只要我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中認(rèn)真總結(jié)與反思做過的試題,并掌握一些基本的數(shù)學(xué)模型,這樣在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)就能做到得心應(yīng)手,游刃有余.