王卓群，郝 鵬，王 禹，王桂嬌，劉力源

（1.北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2.大連理工大學，大連，116081）

0 引言

航天箭體部段間的連接構件，除連接功能外，其最主要的目的是將一側較大的集中力均勻擴散到另外一側。貯箱短殼上以多點集中載荷為主，結構設計過程需要考慮集中力擴散效應。因此，該類航天薄殼設計中大量使用了擴散肋結構形式，即短殼蒙皮上從集中力處開始的筋條采用的是直條形放射狀。這類結構形式起到了傳遞和擴散高應力局部集中力的作用，有效避免了局部強度破壞，并使得更多蒙皮材料參與承載。在大幅提升材料利用效率的同時，也為箭體結構創(chuàng)造了良好的受力環(huán)境。但傳統(tǒng)的擴散肋形式往往采取保守設計，易導致結構超重［1-2］。為了提升火箭結構設計的精細化程度，更好發(fā)揮擴散肋作用，需要對其傳力原理及結構設計方法進行深入探究。

在網格加筋結構設計中，有2 個重要的設計參數(shù)：筋條布局和筋條截面尺寸。對于薄殼結構，無論殼體承受何種形式的外載，殼體的內力形式總能分為兩類：第一類是面內拉伸、壓縮、剪切；第二類是面外彎曲。面內的力決定了筋條的最優(yōu)分布，面內和面外的力同時決定筋條截面的最佳尺寸。因此，本文從筋條布局設計和筋條截面設計兩個角度出發(fā)：首先探究筋條及擴散肋結構的傳力原理。然后，基于傳力原理和等幾何分析提出了一種集中力擴散加筋模型的高效結構設計方法。最后，通過平板和曲殼的算例驗證了本方法的有效性。

1 擴散肋傳力機理研究

貯箱短殼承受多點集中力載荷，結構上通常需要采取圖1所示的集中力擴散措施［3］。當前結構設計中，使用擴散肋首先要避免集中力作用區(qū)域發(fā)生應力集中破壞，抑制最大應力，將應力向周圍擴散，利用更多的材料抵抗載荷；其次要將集中力均勻擴散，網格加筋結構整體剛度很高，然而對抗集中載荷的能力較弱，因此短殼承受集中載荷后，希望力傳到另外一側時的支反力趨近均勻分布，有利于對相鄰結構的承載。

圖1 航天裝備中擴散肋結構示意Fig.1 Sketch of radial ribs in aerospace structures

在尋求布局最優(yōu)的結構優(yōu)化設計中拓撲優(yōu)化應用廣泛，其基本思想是尋求結構單元的密度，將材料最優(yōu)分布問題轉化為單調函數(shù)的連續(xù)變量的優(yōu)化問題［4］，對探究筋條傳力可以起到指導性作用。

筋條可視為桿或梁結構，對于桿或者梁結構的布局優(yōu)化設計，1904 年Michell［5］解析推導了桁架結構設計理論，推導的解析最優(yōu)形式與該設計領域的主應力線十分吻合。在設計域內確定了足夠多的主應力平面后，主應力線可以通過連接這些主應力平面進而獲得主應力場。如圖2所示，設計域內的主應力場提供了自然的傳力路徑可視化方案，材料的幾何分布形式是朝著主應力線的方向逐漸收斂的，既不受材料剛度變化的影響，也不受施加的力的重新縮放的影響，而受設計域載荷、約束及結構幾何形狀等屬性的影響。由此可知，結構主應力分析獲得的主應力場中蘊含著結構幾何的最佳拓撲，筋條最優(yōu)布局應符合設計域的主應力場分布。

圖2 Michell桁架解析解、拓撲優(yōu)化設計、結構主應力場三者之間橫向對比Fig.2 Comparison among analytical expression of Michell truss,topology optimization and structural principal stress field

在擴散肋結構截面尺寸設計方面，可用如圖3所示的矩形水平梁來簡要說明截面尺寸對傳力的影響。

圖3 水平梁模型Fig.3 Longitudinal beam model

考慮單一水平梁模型的優(yōu)化問題，如圖3 所示，水平梁左側固定，右側受載，當任意截面處的極限應力是一個定值時，沿著梁的力與截面面積wh成正比，垂直于梁的力與梁截面慣性矩wh3/12成正比，即在材料不發(fā)生破壞的前提下，提升梁的高度h對于提升結構承載能力來說是性價比最高的選擇。當筋條截面應力為常數(shù)時，筋條傳遞的力與截面面積成正比。因此對擴散肋結構，不同的筋條截面面積決定了筋條的剛度，為了使得擴散肋傳遞過去的支反力能夠更加均勻，就需要利用截面尺寸進行剛度調控。

本節(jié)對擴散肋力學性能起到關鍵作用的筋條布局和筋條截面尺寸的傳力機理進行了探究。筋條布局的基本構型應當符合殼體表面的主應力跡線，筋條截面尺寸則與固支端支反力的分布直接相關。

2 基于擴散肋傳力機理的網格加筋薄壁結構設計方法

基于擴散肋（筋條）的傳力原理，本文建立了網格加筋薄壁結構的快速設計方法，并基于該設計方法對平板和短殼算例進行設計，驗證了設計方法的有效性和正確性。整體設計框架如圖4所示。

圖4 基于擴散肋傳力原理的薄壁網格加筋結構設計方法Fig.4 Design method of radial ribs for thin-walled grid-stiffened structures

本文方法分為筋條布局設計和筋條截面設計2個主要步驟，為了保障設計過程中數(shù)值分析的精度和效率，本文采用等幾何分析對曲面結構和加筋結構進行靜力工況分析。

2.1 加筋薄壁結構等幾何分析

等幾何分析是一種高階有限元分析方法，它基于經典有限元算法中的等參思想，直接利用CAD 的幾何模型作為CAE 中的分析模型，將用來描述幾何模型的樣條基函數(shù)用作分析中的插值函數(shù)［6-7］。加筋結構的等幾何分析能夠為加筋設計提供高效的分析方法，且使得加筋設計與CAD系統(tǒng)實現(xiàn)無縫集成。

等幾何分析的重要基礎是非均勻有理B 樣條（Nonuniform Rational B-spline，NURBS）曲線和曲面，一條p次NURBS曲線定義為

式中Pi為NURBS 曲線控制點（它們形成控制多邊形）；Ri，p(ξ)為NURBS 曲線有理基函數(shù)；n為NURBS曲線控制點的數(shù)量。

一個在ξ方向p次、η方向q次的NURBS曲面可定義為

式中Ni，p(ξ)和Nj，q(η)分別為p階和q階的一維向量空間的B 樣條基函數(shù)；ωi，j是Ni，p(ξ)和Nj，q(η)對應的權函數(shù)。

在加筋結構的等幾何分析中，加強筋與殼體之間的耦合不能通過簡單的控制點匹配來處理。本文采用插值法解決加強筋與殼之間位移不相容問題，在加強筋控制點與殼控制點不匹配的情況下，保證計算精度仍然較高。如圖5所示該方法的主要過程是將加強筋控制點投影到殼上并求出投影點的殼參數(shù)域坐標，然后利用殼體控制點的位移求解加強筋控制點的位移，最后得到位移轉換矩陣。

圖5 殼單元內的加強筋單元Fig.5 Stiffener elements within shells

下面以二階NURBS 基函數(shù)為例推導具體公式。NURBS曲面（殼）與NURBS曲線（加強筋）的關系如圖5 所示。一個加強筋單元的控制點是A、B 和C。對應的參數(shù)坐標為(ξA，ηA)，(ξB，ηB)和(ξC，ηC)。對應的節(jié)點跨度為l、m和n。加強筋控制點的位移可以表示為如下插值形式：

式中δs為加強筋一個單元的位移集合；δ為與加強筋相關的蒙皮上控制點的位移。利用式（5）的變換關系，可以將加強筋的剛度和幾何剛度矩陣組裝到板中：

對于靜態(tài)分析，控制方程為

式中K為蒙皮剛度矩陣；U為位移向量；F為載荷向量。

可以發(fā)現(xiàn)，最終組裝的剛度矩陣的規(guī)模與殼的剛度矩陣規(guī)模相同，這相當于消除了加強筋單元的自由度。這意味著計算規(guī)模大大縮小，且可以適應更多的加強筋形式。具體推導過程詳見文獻［8］。

2.1.1 基于傳力機理的筋條布局設計方法

綜上可知，擴散肋結構布局的傳力機理為蒙皮結構的主應力方向。本節(jié)提出了一種基于傳力機理的網格加筋布局設計方法，在給定了蒙皮曲面形狀及邊界條件后，該方法通過以下4 個步驟（如圖6 所示）即可快速獲取網格加筋結構的布局設計：a）基于等幾何分析求解蒙皮結構在三維空間中的傳力方向，即面內主應力方向；b）使用張量變換公式，將傳力方向轉換到曲面的二維參數(shù)域內；c）基于幾何路徑追蹤算法，將傳力方向擬合為傳力路徑NURBS 曲線；d）傳力路徑NURBS 曲線通過NURBS 基函數(shù)的仿射變換關系，從二維參數(shù)域映射到三維幾何空間。設計流程全程使用基于NURBS 的幾何模型，因此最終模型可直接導入CAD 軟件中生成相應的實體幾何模型。

圖6 基于傳力機理的網格加筋結構布局設計方法Fig.6 Layout design of radial ribs for grid stiffened structures

2.1.2 基于剛度調控的筋條變截面設計

在第1節(jié)中討論了筋條傳遞的力大小與截面面積之間存在正相關的關系。同時，在筋條布局設計過程中保證了筋條始終沿著曲面結構的主應力方向，因此，就保證了筋條截面承受的載荷是以拉力和壓力為主的軸向載荷。在截面應力固定的情況下，筋條傳遞的力與筋條截面面積將成正比。若要保持擴散肋每根筋條傳遞的力是均勻的，在保持總體質量不變的情況下，通過結構參數(shù)優(yōu)化來獲得各筋條截面比例（如圖7 所示），筋條截面呈非均勻分布，且兩側筋條截面面積大，越靠近中間，面積越小，因此需要對筋條進行變截面參數(shù)設計，以保證固支端支反力呈均勻載荷分布。

圖7 筋條截面非均勻變高度參數(shù)化設計Fig.7 Parametric design of non-uniform and variable height rib sections

3 中力載荷下的加筋結構優(yōu)化設計數(shù)值算例

隨著火箭運載能力要求日益提高，對箭體結構系統(tǒng)精細化和可靠性設計需求愈發(fā)強烈，通過結構設計與仿真分析相結合等手段，對擴散肋進行精細化設計能夠不斷提高結構設計效率從而降低成本［9］。圖8～9為典型貯箱短殼擴散肋局部結構，本文將通過算例結合仿真分析來驗證所提出的結構設計方法的正確性。同時，為了驗證結構設計的有效性，本文中所有設計結果均采用ABAQUS進行靜力分析校核。

圖8 非均勻截面擴散肋示意Fig.8 Design of non-uniform radial rib section

筋條與蒙皮的尺寸定義如圖9所示。

圖9 非均勻截面擴散肋示意Fig.9 Design of non-uniform radial rib section

3.1 矩形平板結構加筋補強設計算例

矩形模型板長為100 mm，寬為50 mm，厚度為2 mm，材料為2A14鋁合金，彈性模量為68 646 MPa，泊松比為0.3，右側中心四分之一區(qū)域承受2 500 N的載荷。

此載荷情況下，靜力分析結果如圖10所示。

圖10 靜力分析結果Fig.10 Static analysis results of rectangular plate

根據(jù)靜力分析結果，可以直接獲取矩形板的主應力方向場，如圖11所示。

圖11 矩形板主應力場Fig.11 Principal stress field of rectangular plate

依據(jù)此主應力場，使用本文提出的基于傳力機理的筋條布局設計方法，生成擴散肋加筋結構。本算例中主要討論筋條截面對集中力擴散效果的影響，因此，不構造網格加筋，而是只沿著第一主應力方向構造擴散肋。擴散肋的形式如圖12所示。

圖12 含擴散肋的矩形板結構Fig.12 Rectangular plate with radial ribs

擴散肋截面為均勻截面，即所有的截面的寬度為1 mm，高度為4 mm，偏心度為0 mm。含擴散肋的加筋矩形板結構的靜力分析位移和應力云圖如圖13所示。

圖13 含擴散肋的加筋矩形板結構的靜力分析結果Fig.13 Static analysis results of rectangular plate with radial ribs

與初始矩形板的位移和應力云圖相比，可以發(fā)現(xiàn)應力集中現(xiàn)象得到了明顯的改善，排除應力奇異點的影響，從圖13b中可以明顯觀察到，初始結構中的大面積高應力區(qū)域已經消失。圖14 為由固支端提取出的支反力繪制的折線圖，其中節(jié)點的選取規(guī)則是沿著固支端均勻選取。在固支邊界的支反力中明顯觀察到集中載荷還未得到有效擴散。因此保持所有筋條高度不變，通過優(yōu)化設計寬度來調節(jié)筋條截面面積從而使支反力分布更為均勻。

圖14 矩形平板算例固支邊界支反力Fig.14 Reaction force of fixed boundaries

保持總體質量不變的情況下，通過變截面參數(shù)優(yōu)化，可獲得圖15 所示的筋條截面比例，筋條截面呈非均勻分布，且兩側筋條截面面積大，越靠近中間，面積越小。

圖15 非均勻截面擴散肋Fig.15 Non-uniform radial rib section

擴散肋優(yōu)化為非均勻截面后，固支端的支反力為圖16 中紅色圓形折線，與均勻截面擴散肋的結果對比，可以明顯發(fā)現(xiàn)，非均勻截面擴散肋的支反力呈均勻分布，說明集中力得到了有效的擴散。

圖16 均勻與非均勻截面擴散肋加筋結構固支端支反力對比Fig.16 Comparison of reaction forces of fixed boundaries between uniform and non-uniform rib sections

3.2 短殼結構加筋補強設計算例

以常用的短殼模型為研究對象，探究基于擴散肋傳力機理的網格加筋薄壁結構設計方法在殼體中的適用程度。該模型尺寸為某型號二級燃箱后短殼的簡化模型，直徑為3 350 mm，高度為725 mm。模型整體承受8 個區(qū)域的集中載荷，8 個呈中心對稱分布，單個加載區(qū)域的圓心角為10°，如圖17所示?？傒d荷大小為22.4 t，蒙皮厚度為2 mm，材料為2A14鋁合金，彈性模量為68 646 MPa，泊松比為0.3。本算例只考慮線彈性。

圖17 模型及邊界條件Fig.17 Boundary set of finite element model

短殼結構主應力場如圖18所示。

圖18 短殼結構主應力場Fig.18 Principal stress field of short shell

根據(jù)圖18 的結構主應力場，以第一主應力場為主，構建擴散肋結構?；诘葞缀畏治龇椒?，筋條在模型八分之一參數(shù)域內的分布如圖19所示。

圖19 筋條在模型八分之一參數(shù)域內的分布情況Fig.19 The distribution of ribs in the eighth parameter domain of the model

將參數(shù)域內的筋條映射到空間曲面上，筋條的寬度為5 mm，高度為10 mm，偏心度為0 mm，含擴散肋的短殼模型如圖20所示。

圖20 含擴散肋的短殼模型Fig.20 Short shell model with radial ribs

對光殼模型和含擴散肋的短殼模型同時進行靜力工況有限元分析，位移和應力云圖如圖21所示。

圖21 短殼的位移及應力云圖對比Fig.21 Comparison of displacement and stress of short shell

通過與光短殼的分析結果進行對比可以發(fā)現(xiàn)，擴散肋的引入，明顯改善了應力和位移云圖中由于集中載荷引起的高位移和高應力。最大位移降低了70%，最大應力沒有改變，但是由應力云圖可以發(fā)現(xiàn)，最大應力區(qū)域面積明顯降低。

擴散肋固支邊的支反力如圖22 所示，支反力呈現(xiàn)出集中載荷分布情況，說明頂部集中載荷并未被完全擴散。

圖22 均勻截面擴散肋八分之一短殼固支端的支反力Fig.22 The support reaction force of an 1/8 short shell with uniform cross-section and diffusion ribs at the fixed end

在基于傳力路徑的設計中，每根筋條傳遞的力與截面面積是成正比的，為了保證支反力更為均勻，截面面積需要與筋條主應力的值成反比。在保持總體質量不變的情況下，對筋條截面進行優(yōu)化，優(yōu)化后的非均勻截面如圖23所示。

圖23 非均勻截面分布Fig.23 Section layout of non-uniform ribs

使用非均勻截面后，短殼結構固支端的支反力如圖24 所示，可以發(fā)現(xiàn)圖22 中支反力集中部分被有效消除，圖24 中的支反力分布更加均勻，因此通過對截面的優(yōu)化可以明顯改善短殼固支端的支反力。

圖24 非均勻截面擴散肋八分之一短殼固支端的支反力Fig.24 The support reaction force of an 1/8 short shell with nonuniform cross-section and diffusion ribs at the fixed end

3.3 集中力載荷下含開口的網格加筋二級燃箱后短殼算例

結構開口導致的剛度分配不均，同樣會引起類似于集中載荷的效果，因此擴散肋形式的網格加筋對開口具有補強作用。由于開口數(shù)量、形狀等不確定因素，導致筋條場的分布變得更加復雜。對含開口的貯箱后短殼結構中的擴散肋重新進行設計，初始模型如圖25a 所示。分析集中力載荷下結構應力應變水平，并與未優(yōu)化初始的短殼模型作對比。使用本文提出的方法設計的含開口后短殼結構如圖25b所示，其擴散肋結構分布及筋條尺寸如圖26 所示，其中筋條寬度呈對稱分布。

圖25 優(yōu)化前后含開口的網格加筋貯箱短殼模型對比Fig.25 Regular short shell in comparison to optimized model

圖26 基于傳力路徑的擴散肋結構尺寸（單位：mm）Fig.26 Width distribution of radial ribs based on force transfer path

上邊界集中力的總載荷為126.96 kN，提取基于傳力機理設計的加筋結構和初始模型的位移和應力結果如圖27和圖28所示，相對于初始模型，后短殼位移顯著減小，并且位移分布更為均勻，最大位移減小29.6%。

圖27 含開口加筋短殼優(yōu)化前后位移對比Fig.27 Comparison of displacement for short shells with opening

應力云圖結果顯示根據(jù)傳力路徑設計的模型使得集中力加載處的應力擴散較快，因此該區(qū)域應力水平顯著降低，結構最大應力值降低57%。

4 結束語

本文對網格加筋結構中的擴散肋的傳力特性和機理進行了深入的發(fā)掘，擴散肋布局特征是遵循曲面面內主應力方向，擴散肋截面尺寸特征能夠有效控制支反力的數(shù)值，因此普遍呈現(xiàn)非均勻分布特征。本文基于擴散肋和筋條的傳力機理，提出了一種網格加筋結構的快速設計方法，并將該方法成功應用于平板和曲殼結構。通過大量數(shù)值算例的對比，驗證了本方法設計的傳集中力的網格加筋結構能大幅提高結構利用效率，值得注意的是，本文提出的設計方法的優(yōu)化結果為理論最優(yōu)，并未考慮制造工藝約束，這個問題將在未來的研究中進一步探討。