探索三角形全等的條件

文／趙維坤（正高級教師、江蘇省特級教師）

我們知道，如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。反過來，當(dāng)兩個(gè)三角形有多少組對邊或?qū)欠謩e相等時(shí)，這兩個(gè)三角形就全等呢？

我們先思考兩個(gè)三角形中只有一組元素相等的情況。例如，我們可以分別畫出一條邊AB=3cm 的△ABC和一條邊DE=3cm 的△DEF，或者∠ABC=30°的△ABC和∠DEF=30°的△DEF，我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)三角形不全等。也就是說，當(dāng)兩個(gè)三角形只有一組對邊或?qū)窍嗟葧r(shí)，這兩個(gè)三角形不全等。

我們再思考兩個(gè)三角形中只有兩組元素相等的情況。例如，我們可以畫出邊AB=3cm、BC=4cm 的△ABC和 邊DE=3cm、EF=4cm 的△DEF，或 者畫出∠ABC=30°、∠BCA=45°的△ABC和∠DEF=30°、∠EFD=45°的△DEF，或者畫出邊AB=3cm、∠ABC=30°的△ABC和邊DE=3cm、∠DEF=30°的△DEF，這兩個(gè)三角形也不全等。因此，當(dāng)兩個(gè)三角形有兩組對邊或?qū)窍嗟葧r(shí)，這兩個(gè)三角形也不全等。

通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)，三組以下元素分別相等的兩個(gè)三角形不全等。

那么，在兩個(gè)三角形中，如果有三組元素分別相等，它們就一定全等嗎？

觀察下圖中的三角形，請你找出其中的全等三角形，并在透明紙上畫出這些三角形，疊合驗(yàn)證。

這里給出的12 個(gè)三角形，可以分成這樣的四類：三邊分別相等、三角分別相等、兩邊和一角分別相等、一邊和兩角分別相等。

同學(xué)們可以兩個(gè)人一組，根據(jù)下面6 個(gè)條件，在透明紙片上分別畫出△ABC。

條件一：AB=2cm，BC=3cm，CA=4cm；

條件二：∠ABC=30°，∠ACB=100°，∠BAC=50°；

條件三：AB=2cm，∠BAC=45°，AC=3cm；

條件四：CB=2cm，∠BAC=30°，AC=3cm；

條件五：∠ABC=30°，AB=3cm，∠BAC=45°；

條件六：∠ACB=100°，AB=3cm，∠BAC=45°。

通過操作，我們發(fā)現(xiàn)，三邊分別相等的兩個(gè)三角形是全等的，只有三角分別相等的兩個(gè)三角形是不全等的。事實(shí)上，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，“三角分別相等”實(shí)質(zhì)上就是“兩角分別相等”，這樣不能判定兩個(gè)三角形全等。

“兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形”有兩種情形：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形是全等的，只有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個(gè)三角形不全等。

“一邊和兩角分別相等的兩個(gè)三角形”中，兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形是全等的，兩角和其中的一組等角的對邊分別相等的兩個(gè)三角形也是全等三角形。還有其他情形嗎？同學(xué)們可自行畫圖解決。

在兩個(gè)三角形中，如果有4 對（或5 對）元素分別相等，那么這兩個(gè)三角形一定全等嗎？這就留給同學(xué)們自己動手操作證明了。