拓?fù)浣^緣體與函數(shù)型光子晶體分界面上的Goos-H?nchen位移調(diào)控

王 筠

（1.湖北第二師范學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，武漢 430205；2.太赫茲技術(shù)與新能源材料及器件專家工作站，武漢 430205；3.湖北第二師范學(xué)院 光電材料與元器件研究所，武漢 430205）

1 引言

一光束以大于等于臨界角由光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)分界面時(shí)，會(huì)發(fā)生全反射，牛頓曾預(yù)言其反射光束會(huì)在入射平面內(nèi)相對幾何光學(xué)反射中心發(fā)生偏移，1940年德國科學(xué)家Goos和H?nchen在實(shí)驗(yàn)中觀測到反射光在入射面內(nèi)的橫向偏移[1]，人們就把這一偏移稱為Goos-H?nchen 效應(yīng)。研究表明Goos-H?nchen 效應(yīng)起源于分界面處光束的反射系數(shù)和透射系數(shù)的色散。[1-10]直到現(xiàn)在關(guān)于Goos-H?nchen 效應(yīng)的研究已經(jīng)涉及多層結(jié)構(gòu)、非線性以及與之相關(guān)的諸如等離子體、超材料和量子系統(tǒng)等。[2-19]主要研究方法有固定相位法、能流法等。近年來拓?fù)浣^緣體引起了人們廣泛關(guān)注。拓?fù)浣^緣體是一種全新的物質(zhì)狀態(tài)，其內(nèi)部具有體能隙（絕緣態(tài)），而表面（或邊緣）存在無能隙金屬態(tài)的絕緣體材料。[13-19]當(dāng)受到垂直方向磁場作用時(shí)，表面態(tài)被打破，磁電耦合效應(yīng)產(chǎn)生，由于拓?fù)浣^緣體具有特殊能帶結(jié)構(gòu)、高載流子遷移率和帶隙可調(diào)等許多新奇的物理特性，拓?fù)浣^緣體材料在光電器件領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。[13-19]自從1987 年Yablonovitch 和John 提出光子晶體的概念以來，光子晶體已成為光電子材料的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。有文獻(xiàn)提出一種新型的函數(shù)光子晶體的概念[20-23]，這種光子晶體的介質(zhì)層折射率是隨空間位置變化的周期函數(shù)，光波在其中沿曲線路徑傳播。已有文獻(xiàn)研究了一維折線型、階梯型、正弦函數(shù)型及Sinc函數(shù)型光子晶體的光學(xué)傳輸特性。[20-24]本文將采用固定相位法研究線偏振光由拓?fù)浣^緣體投射到函數(shù)型光子晶體分界面上發(fā)生全反射時(shí)反射波在入射面內(nèi)發(fā)生的橫向偏移，為新型光電器件研究提供理論參考。

2 理論模型

如圖1所示，函數(shù)光子晶體(BA)n表面涂覆一層拓?fù)浣^緣體薄膜TI，拓?fù)浣^緣體薄膜TI的相對介電常數(shù)和相對磁導(dǎo)率分別為εTI、μTI，其折射率為n1=εTI μTI，SINC函數(shù)型光子晶體(BA)n的A、B介質(zhì)層的折射率隨空間位置變化的表示式分別為

圖1 表面涂覆拓?fù)浣^緣體的函數(shù)光子晶體模型Fig.1 Functional photonic crystal model of surface coated topological insulator

介質(zhì)層B和A的厚度分別為dB=(a-b)/2，dA=(a+b) /2，二者均滿足，λ0和ω0分別是真空中入射光波的中心波長和中心圓頻率。

3 理論推導(dǎo)

單色線極化波（平行極化波P波或垂直線極化波S波）以入射角θi投射到拓?fù)浣^緣體（TI）與SINC函數(shù)型光子晶體(BA)n的分界面上（z=0），如圖1所示，透射光從光子晶體底部透射進(jìn)入空氣中。

假設(shè)圖1 中的拓?fù)浣^緣體材料TI 和介質(zhì)層B、A 都是各向同性均勻弱磁性材料，即它們的相對磁導(dǎo)率μTI=μA=μB=1，且在分界面上沒有電荷和電流分布，它們的電磁本構(gòu)關(guān)系分別是：[13-19]

對于z＞0 區(qū)域的Sinc函數(shù)型光子晶體(BA)n，線極化波（p波或s波）在函數(shù)光子晶體中沿曲線傳播，利用電磁場邊界條件可得該結(jié)構(gòu)同一介質(zhì)層的兩個(gè)分界面位置z和z+Δz處的電場強(qiáng)度分量和磁場強(qiáng)度分量間滿足以下矩陣關(guān)系：[20，21]

稱Mp,si是B、A介質(zhì)層的特征矩陣，應(yīng)用傳輸矩陣法可得n個(gè)周期該光子晶體的特征方程：

（7）式中的δip,s和ηip,s在垂直入射時(shí)分別為和，ni、di分別是第i個(gè)子層的折射率和厚度，ω是入射光波的圓頻率，c是真空中的光速，ε0、μ0分別是真空介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，j是虛數(shù)單位。（8）式中和是圖1周期結(jié)構(gòu)(BA)n左側(cè)第一個(gè)界面上的切向電場強(qiáng)度和切向磁場強(qiáng)度，而和是圖1右側(cè)最后一個(gè)界面上的切向電場強(qiáng)度和切向磁場強(qiáng)度。

進(jìn)一步可得圖1中p波在拓?fù)浣^緣體材料TI中垂直入射到該周期結(jié)構(gòu)(BA)n分界面上的反射系數(shù)和透射系數(shù)的表示式：[20]-[21]

在滿足長波極限條件下，有限的一維介質(zhì)光子晶體(BA)n能夠產(chǎn)生等同于均勻平板的反射與透射行為，該周期結(jié)構(gòu)的等效介電常數(shù)εeff和等效磁導(dǎo)率μeff

分別為：[22]

于是圖1中z＞0 區(qū)域的函數(shù)光子晶體周期結(jié)構(gòu)(BA)n可以等效為相對介電常數(shù)和相對磁導(dǎo)率分別為εeff和μeff、折射率為的介質(zhì)平板。當(dāng)一單色線極化波（垂直線極化波s波或平行線極化波p波）從拓?fù)浣^緣體材料（TI）中以角度斜入射到SINC函數(shù)型光子晶體(BA)n的分界面處（z=0）時(shí)發(fā)生全反射，反射波在入射面（xOz平面）內(nèi)相對于幾何光學(xué)中心O點(diǎn)發(fā)生橫向偏移即Goos-H?nchen位移，此時(shí)分界面（z=0）處的反射系數(shù)變?yōu)樘摂?shù)，即

式中：

4 數(shù)值計(jì)算與分析

下面的計(jì)算中（1）和（2）式中nB( 0 )=3.37 ，nA( 0 )=1.544 ，D1=0.1 ，D2=0.2 ，a=483.211nm，b=179.557nm，B介質(zhì)層厚度是dB=151.827nm，A介質(zhì)層厚度是dA=331.384nm，該周期結(jié)構(gòu)單元長度為d=dA+ dB=483.211 nm；計(jì)算中取歸一化圓頻率為ωo=4.6026935×1014rad/s，對應(yīng)的波長為，表明該周期結(jié)構(gòu)(BAn)單元尺寸d遠(yuǎn)小于中心波長λ0。計(jì)算中圖1拓?fù)浣^緣體薄膜TI的εTI=2，在不特別說明下周期結(jié)構(gòu)(BAn)BAn的周期數(shù)n=10。

由于入射波在z=0 處發(fā)生全反射必須同時(shí)滿足及θi≥θC，因此，根據(jù)（7）-（11）式，首先考察光子晶體(BA)n的等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率實(shí)部（數(shù)值計(jì)算中虛部忽略不計(jì)）取值隨入射波圓頻率變化情況。如圖2 所示，入射線極化波是s波，其中εTI=2，周期數(shù)n=10，依次考察入射角分別是時(shí)，SINC 函數(shù)光子晶體的等效介電常數(shù)εeff和等效磁導(dǎo)率μeff隨頻率變化曲線。由圖2 中知，在1.05ω0＜ω＜1.06ω0范圍內(nèi)εeff μeff的均值小。

圖2 不同入射角的等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率隨頻率變化曲線Fig.2 Equivalent permittivity and permeability versus frequency at different incident angles

于εTI(=2)，所以，可以在這個(gè)頻率范圍進(jìn)一步考察臨界角。如圖3所示，不同入射角θi對應(yīng)的臨界角隨圓頻率的變化曲線，顯然圖3中黑色虛線的均值已經(jīng)超過其對應(yīng)的入射角θi=，不滿足全反射條件之一θi≥θC，同理圖3中的紅色實(shí)線的均值也超過其對應(yīng)的入射角θi=，同樣不滿足全反射條件，也就是說在圖2的頻率范圍內(nèi)，只有入射角θi=才滿足全反射條件。因此，依據(jù)（15）式計(jì)算得到垂直線極化波（s波）在入射角θi=時(shí)的Goos-H?nchen 位移即隨頻率變化曲線，如圖4中藍(lán)色實(shí)線所示。根據(jù)（7）-（11）式，周期結(jié)構(gòu)(BA)n的εeff和μeff也會(huì)隨著周期數(shù)n和εTI變化，所以，在圖5和圖6中考察了εTI=2、θi=時(shí)周期數(shù)對應(yīng)的εeff和μeff及臨界角隨頻率變化曲線，由圖5和圖6知，在1.05ω0＜ω＜1.06ω0范圍內(nèi)是滿足全反射條件，因此可以計(jì)算得到不同周期數(shù)的隨頻率變化曲線，如圖7所示，可以看到，在1.05ω0＜ω＜1.06ω0范圍內(nèi)，隨著周期數(shù)增大，隨頻率變化曲線均值增大明顯。圖8是θi=,n=10 時(shí)，εTI依次取2和5時(shí)對應(yīng)εeff和μeff隨頻率變化曲線，與其對應(yīng)的隨頻率變化曲線如圖4所示，其中εTI=2 對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線，εTI=5 對應(yīng)紅色虛線，從圖4中可知，εTI的取值變大，可能導(dǎo)致隨頻率變化均值減小。

圖3 不同入射角對應(yīng)的臨界角隨頻率的變化曲線Fig.3 Curve of critical angle with frequency at different incident angles

圖4 不同拓?fù)浣^緣體的Goos-H?nchen位移隨頻率變化曲線Fig.4 Goos-H?nchen shift versus frequency of different topological insulators

圖5 不同周期的等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率隨頻率的變化曲線Fig.5 Curve of equivalent permittivity and permeability with frequency for different periods

圖6 不同周期的臨界角隨頻率的變化曲線Fig.6 Curve of critical angle with frequency in different periods

圖7 不同周期的Goos-H?nchen位移隨頻率變化曲線Fig.7 Goos-H?nchen shift versus frequency in different periods

圖8 不同拓?fù)浣^緣體的等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率隨頻率變化曲線Fig.8 Equivalent permittivity and permeability of insulators with different topologies versus frequency

前面主要討論了垂直極化波（s波）的Goos-H?nchen位移隨入射角、周期數(shù)和拓?fù)浣^緣體的介電常數(shù)等變化規(guī)律，針對平行極化波（p波）也可以做類似計(jì)算，計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)εTI=2,n=10 時(shí)，只有θi=滿足全反射條件（見圖9），其Goos-H?nchen位移隨頻率變化曲線如圖10中藍(lán)色實(shí)線所示，圖10中的紅色虛線是垂直線極化波（s波）的隨頻率變化曲線。比較圖10中的兩條曲線可知，在1.07ω0＜ω＜1.08ω0范圍內(nèi)兩個(gè)不同線極化波的Goos-H?nchen 位移方向相反，最大值也不同，其中平行極化波的反向位移最大值＞λ1。之所以s波與p 波的Goos-H?nchen 位移不同，可以從（12）式分析得到。從圖9 中可知在1.07ω0＜ω＜1.08ω0范圍內(nèi)，s波和p波的入射角=＞θC，即≠θC，由（12）式，可知發(fā)生了全反射，且垂直極化波（s波）和平行極化波（p 波）的反射系數(shù)有不同的幅角≠，即產(chǎn)生了不一樣的Goos-H?nchen 相移，根據(jù)固定相位法，，所以有≠。

圖9 兩種線極化波對應(yīng)的臨界角隨頻率變化曲線Fig.9 Curve of critical angle versus frequency of two linearly polarized waves

圖10 兩種線極化波的Goos-H?nchen位移隨頻率變化曲線Fig.10 Goos-H?nchen shift versus frequency of two linearly polarized waves

最后，根據(jù)（13）可知，只要令=0 就可以將涂敷在SINC光子晶體表面的拓?fù)浣^緣體薄膜變成常規(guī)介質(zhì)薄膜，計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們的幾乎是相等的。分析（13）和（14）式就可以理解該結(jié)果的必然性。由于=-Θ，前面計(jì)算中是取Θ=π，則=-α=-≈-0.0073，≈5.329×10-5＜＜，即≈5.329×10-5相對于是可以忽略不計(jì)的，所以，在本文的數(shù)值計(jì)算分析中，拓?fù)浣^緣體薄膜與常規(guī)介質(zhì)薄膜對Goos-H?nchen效應(yīng)的影響基本相同。

5 結(jié)論

本文運(yùn)用傳輸矩陣法和固定相位法研究了SINC 函數(shù)型光子晶體與拓?fù)浣^緣體分界面處的Goos-H?nchen 效應(yīng)。結(jié)果表明，不同線極化波在拓?fù)浣^緣體薄膜和函數(shù)光子晶體分界面處的Goos-H?nchen 位移隨線極化波的入射角、拓?fù)浣^緣體薄膜的介電常數(shù)、函數(shù)光子晶體周期數(shù)等不同而呈現(xiàn)不一樣的變化規(guī)律，因此，可以通過改變?nèi)肷渚€極化波的入射角、函數(shù)光子晶體的周期數(shù)及在其表面涂覆不同的拓?fù)浣^緣體薄膜來調(diào)節(jié)分界面上的Goos-H?nchen位移。