王錦繡

【摘 ?要】 在高考數(shù)學(xué)中，解析幾何通常以壓軸題形式出現(xiàn)，有著極強(qiáng)的綜合性，既考查解析幾何自身方面的知識(shí)，還涉及其他方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，計(jì)算量也比較大，對(duì)學(xué)生的做題方式、思維能力與綜合知識(shí)的掌握水平均要求較高.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需格外關(guān)注解析幾何方面的習(xí)題訓(xùn)練，幫助學(xué)生掌握一些有效的解題技巧與策略，提高他們的解題水平.本文主要對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解析幾何的解題技巧及策略進(jìn)行淺談，同時(shí)分享部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);解析幾何;解題技巧

解析幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要構(gòu)成部分，主要涉及到直線、圓、曲線、橢圓、雙曲線、拋物線及其方程等相關(guān)知識(shí)，雖然屬于平面幾何范疇，但是難度相對(duì)較大，尤其是在習(xí)題訓(xùn)練中，對(duì)學(xué)生理論知識(shí)掌握、邏輯思維能力均有著較高要求，他們極易陷入困境之中.面對(duì)這一局面，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)高度重視解析幾何解題訓(xùn)練的開設(shè)，傳授給學(xué)生一些實(shí)用性極強(qiáng)的技巧與策略，引領(lǐng)他們從多個(gè)視角進(jìn)行解析，使其解題思維得到開拓與強(qiáng)化.

1 ?中點(diǎn)弦問(wèn)題——幾何與代數(shù)相結(jié)合

在高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)中，中點(diǎn)弦問(wèn)題是一個(gè)比較常見的題目類型，也是各類考試中最為容易出現(xiàn)的題目形式之一，根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌虬l(fā)現(xiàn)，在處理解析幾何中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，通常要用到平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)之間的相互結(jié)合.對(duì)此，處理解析幾何中的中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師可以提示學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合視角切入，使其快速找準(zhǔn)解題的突破口，利用數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)變確定解題思路與方法，促使他們準(zhǔn)確解題^[1].

例1 已知、是拋物線上面的兩個(gè)點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，其坐標(biāo)是（2，1），那么弦所在直線的方程是什么？

解析 ?這是一道典型的中點(diǎn)弦問(wèn)題，如果純粹使用代數(shù)方法也能夠直線的方程，不過(guò)過(guò)程比較復(fù)雜，難度較大，教師可提醒學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將幾何與代數(shù)結(jié)合起來(lái)，能夠有效提高他們解題的速度與正確率.

具體解題方式如下：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（，），（，），

于是有，，

兩式相減得到，

整理以后變形為，

根據(jù)（2，1）是弦上面的中點(diǎn)可知，

直線的斜率，

由此得到，

所以弦所在直線的方程是，

化簡(jiǎn)后為.

2 ??軌跡方程問(wèn)題——直接法

軌跡方程問(wèn)題即為同幾何軌跡相對(duì)應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)解題幾何中也較為常見，通常來(lái)說(shuō)，可滿足一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形問(wèn)題就屬于軌跡方程問(wèn)題，或者是符合基礎(chǔ)條件的點(diǎn)的全體所組成集合的相關(guān)問(wèn)題.處理高中數(shù)學(xué)解析幾何中規(guī)律方程問(wèn)題時(shí)，教師可指導(dǎo)學(xué)生使用直接法來(lái)求解，就是假設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)條件符合幾何的等量關(guān)系為基礎(chǔ)條件，且基礎(chǔ)條件比較明確，無(wú)需使用特殊的解題技巧，讓他們結(jié)合幾何關(guān)系直接得出軌跡方程^[2].

例2??已知在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，0），圓的方程是，動(dòng)點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)度同之比等于常數(shù)，且，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么曲線？

解析 ?這是一道求解動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問(wèn)題，學(xué)生可以使用直接法，按照以下步驟進(jìn)行：建立平面直角坐標(biāo)系；設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)；列出動(dòng)點(diǎn)的相關(guān)關(guān)系式；結(jié)合已知條件選擇相應(yīng)的距離公式或者斜率公式列出方程；證明所求方程就是符合條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

具體解題方式如下：根據(jù)題意畫出如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)與圓相切于點(diǎn)，那么題目中的動(dòng)點(diǎn)這時(shí)滿足，然后結(jié)合平面幾何知識(shí)，

分析后可以得到，

隨后可以把坐標(biāo)代入其中，能夠得到，

最終能得出的結(jié)論是，如果，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是一條直線；

如果，則動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是一個(gè)圓.

圖 1

3 ?曲線問(wèn)題——定義法

與上面介紹的兩種題型相比，在高中數(shù)學(xué)解析幾何解題訓(xùn)練中，還有著一類比較特殊的題目，這些解析幾何類試題的基礎(chǔ)條件往往比較復(fù)雜，能夠被統(tǒng)稱為曲線問(wèn)題，包括：橢圓問(wèn)題、雙曲線問(wèn)題與拋物線問(wèn)題等.高中數(shù)學(xué)教師在帶領(lǐng)學(xué)生解答解析幾何中的曲線問(wèn)題時(shí)，可以采用定義法進(jìn)行解題，使其以分析或說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的確符合某種特殊曲線的基本特征為前提，求出特殊曲線的相關(guān)參量數(shù)值，最終讓他們順利得到題目中所求的軌跡方程^[3].

例3 ?已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且是三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，與兩邊的中線長(zhǎng)的和是30，那么的重心軌跡方程是什么？

解析 ?在本道題目中，所求的是一個(gè)三角形的重心軌跡方程，屬于曲線類問(wèn)題，學(xué)生解答時(shí)可以使用定義法，即為先判斷出三角形重心這一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況符合哪種特殊曲線的定義，再結(jié)合題干中提供的已知條件求出這一特殊曲線的方程.

具體解題方式如下：首先可以假設(shè)的重心點(diǎn)的坐標(biāo)是，因?yàn)榕c兩邊的中線長(zhǎng)的和是30，

所以能夠得到，

由于、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，且是兩個(gè)定點(diǎn)，那么三角形重心點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一個(gè)以，兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，

根據(jù)，能夠得到，，

所以三角形的重心點(diǎn)的軌跡方程為

，且（）.

4 ?運(yùn)用逆向思維

針對(duì)高中數(shù)學(xué)解析幾何解題教學(xué)來(lái)說(shuō)，學(xué)生往往會(huì)遇到部分與眾不同的題目，處理這些問(wèn)題時(shí)從正向視角切入難度較大，或者解題步驟復(fù)雜、繁多，如果不加小心就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤情況，影響他們的解題自信，甚至關(guān)系到學(xué)習(xí)整個(gè)數(shù)學(xué)課程的態(tài)度.這時(shí)高中數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，也就是從題目中的一些已知條件或者結(jié)論著手，對(duì)相應(yīng)的條件展開轉(zhuǎn)化，使其通過(guò)逆向思考逐步往回有序推理，讓他們從中找到更為簡(jiǎn)潔的解題思路與技巧^[4].

例4 ?已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)是，且，滿足條件，（1）的值是什么？（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線和橢圓相交于點(diǎn)、，與的面積分別為、，請(qǐng)證明：.

解析 ?處理本道題目時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)指引學(xué)生使用逆向思維，對(duì)題目?jī)?nèi)容展開逆向分析，如圖2所示，假如，而，所以，則直角與Rt是相似關(guān)系，所以，.

圖 2

具體解題方式如下：第（1）問(wèn)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生能夠輕松求出的值是8，這里不再詳加贅述；

（2）假如直線的斜率不存在，那么與是相等關(guān)系，，符合題意；

假如直線的斜率存在，那么假設(shè)直線的方程是

，，，

因?yàn)?，?/p>

所以，

則恒成立，

而且，，

又因?yàn)椋?/p>

＝

＝

＝＝0，

故，

因?yàn)榕c的面積分別是，

，

由此證明.

5 ?化曲線為直線

在高中數(shù)學(xué)解析幾何解題教學(xué)實(shí)踐中，由于遇到的大部分題目都是同曲線有關(guān)的問(wèn)題，教師需要教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)化曲為直的解題方法，這一解題技巧的本質(zhì)就是利用線段或者直線來(lái)解題問(wèn)題，減低解題的難度，減少他們出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率，使其做起題來(lái)更為高效.具體來(lái)說(shuō)，高中數(shù)學(xué)教師在指引學(xué)生解決解析幾何題目時(shí)應(yīng)把握好化曲為直的方法與技巧，將曲線問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€問(wèn)題，使其在最短時(shí)間內(nèi)確定解題思路與計(jì)算方式，幫助他們準(zhǔn)確求出結(jié)果^[5].

例5 ?在一個(gè)圓錐當(dāng)中，底面的面積大小為，母線為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到底面圓周上的點(diǎn)時(shí)，側(cè)面就會(huì)移動(dòng)至點(diǎn)，那么此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)之間最短的距離為多少？

解析 ?在解答這一題目過(guò)程中，教師可以提示學(xué)生基于圓錐曲線的基本性質(zhì)視角切入，明確解題思路與方法，靈活使用相關(guān)公式，并結(jié)合題意畫出相應(yīng)的圖形，直觀呈現(xiàn)軌跡的動(dòng)態(tài)化形成過(guò)程，且把曲線轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€，達(dá)到化曲為直的效果，使其發(fā)現(xiàn)會(huì)受到變量的限制，所以他們?cè)诋媹D過(guò)程中要注意參數(shù)的正確選擇.

具體解題方式如下：根據(jù)題目中的描述可以畫出如圖3所示的圓錐圖，把母線剪開后形成一個(gè)平面圖像，這就能夠發(fā)現(xiàn)其中是距離最短的情況，而且的大小是120°，結(jié)合余弦定理可以計(jì)算出，即點(diǎn)與點(diǎn)之間最短的距離是.

圖3

6 ?化陌生為熟悉

對(duì)于高中數(shù)學(xué)解析幾何解題教學(xué)而言，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到一些比較陌生或者提前沒(méi)有預(yù)判到的題目，他們?cè)诙虝r(shí)間內(nèi)很難找到解題的切入點(diǎn)，有時(shí)甚至不知道從何處著手，容易陷入思維障礙之中，如果不加以疏導(dǎo)很難順利求解.此時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師可以滲透轉(zhuǎn)化思想，引領(lǐng)學(xué)生把這些陌生或者沒(méi)有預(yù)判到的題目轉(zhuǎn)變成熟悉的問(wèn)題，符合解析幾何試題的一般特征，使其精準(zhǔn)找到解題的突破口，采用簡(jiǎn)單明了的解題步驟，從而提高他們的解題效率^[6].

例6 ?已知一個(gè)動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），而且同直線是相切關(guān)系，假如直線同這個(gè)動(dòng)圓存在有公共點(diǎn)，那么圓的面積（ ??）

（A）有最大值是.

（B）有最小值是.

（C）有最大值是.

（D）有最小值是.

解析 ?結(jié)合拋物線的定義來(lái)看，題干中提供的已知條件是動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），而且同直線是相切關(guān)系，那么點(diǎn)到圓圓心之間的距離和圓心到直線之間的距離一樣，這表明圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一個(gè)拋物線，以此確定解題思路，而且使用圓錐曲線定義進(jìn)行解題時(shí)，教師要引領(lǐng)學(xué)生用到轉(zhuǎn)化思想，對(duì)相關(guān)定義進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，目的是把題目中包含的條件變得更為明確，讓他們找到更為恰當(dāng)?shù)慕忸}方法.

具體解題方式如下：根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，

假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，），

因?yàn)閳A心過(guò)點(diǎn)，

所以半徑，

由于直線同這個(gè)動(dòng)圓存在有公共點(diǎn)，

那么可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)（，），

到直線的距離

，

解之得或者，則圓的半徑是，

所以說(shuō)圓有最小面積是，即為正確答案是選項(xiàng)（D）.

7 ?結(jié)語(yǔ)

綜上所述，解析幾何既是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，還是一大難點(diǎn)，教師在平常教學(xué)中應(yīng)給予格外關(guān)注，以詳細(xì)、透徹地講解理論知識(shí)為前提，科學(xué)合理地組織專題解題訓(xùn)練，為學(xué)生提供更多親自動(dòng)手解答解析幾何試題的機(jī)會(huì)，幫助他們掌握多種多樣的解題技巧與策略，有效降低題目的難度，使其形成清晰、明了且簡(jiǎn)潔的解題思路，最終高效的解答題目.

參考文獻(xiàn)：

[1]王德忠.高中數(shù)學(xué)解析幾何解題研究——基于數(shù)形結(jié)合思想[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（23）：56-57.

[2]楊冬梅.試論高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題的教學(xué)方法[J].理科愛好者（教育教學(xué)），2021（05）：100-101.

[3]徐海棠.高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題的解題技巧[J].數(shù)理化解題研究，2020（25）：40-41.

[4]凌彬.高中數(shù)學(xué)解析幾何高考試題與教學(xué)策略分析[J].課程教育研究，2020（13）：153-154.

[5]黃志熇.高中數(shù)學(xué)解析幾何問(wèn)題的解題技巧探究[J].試題與研究，2020（02）：31.