張春曉

【摘 ?要】 ?不等式是高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)之一，圍繞不等式設(shè)計(jì)的高考題不勝枚舉，包括不等式證明題、比較大小問題、求最值問題、綜合應(yīng)用問題等多種類型題.學(xué)生只有掌握不等式問題的解題技巧，才能夠輕松應(yīng)對(duì)不等式問題.本文以人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“一元二次函數(shù)、方程和不等式”一章的解題教學(xué)為例，分析如何應(yīng)用高考題培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，指出教師可以通過提煉考點(diǎn)分析解題原理、歸納考題總結(jié)解題方法、模仿考題設(shè)計(jì)練習(xí)作業(yè)、基于高考評(píng)價(jià)體系完善解題教學(xué)評(píng)價(jià)等多種方式提升解題教學(xué)質(zhì)量，以供參考.

【關(guān)鍵詞】??高考;高中數(shù)學(xué);解題教學(xué);策略

高考題綜合考查了學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)理論知識(shí)、數(shù)學(xué)方法的掌握情況，是一類具有較高育人價(jià)值的教學(xué)資源.基于高考題對(duì)學(xué)生展開解題教學(xué)，不僅可以對(duì)學(xué)生階段性學(xué)習(xí)情況進(jìn)行診斷，還可以鍛煉學(xué)生的解題能力，活躍學(xué)生的解題思維.然而，鑒于高考題本身難度高、綜合性大的特點(diǎn)，部分學(xué)生在解高考題時(shí)存在困難.教師應(yīng)當(dāng)發(fā)揮自身的引導(dǎo)教學(xué)作用，挖掘高考題內(nèi)蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)原理，并用通俗易懂的語(yǔ)言講解類型題的解題方法，促進(jìn)學(xué)生的綜合提升.

1 ?圍繞考點(diǎn)分析原理，奠定數(shù)學(xué)解題基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)高考題的設(shè)計(jì)以《全國(guó)高考考試大綱》（以下簡(jiǎn)稱《考綱》）為基準(zhǔn)，圍繞《考綱》中的具體理論知識(shí)設(shè)計(jì)問題，意圖讓學(xué)生應(yīng)用《考綱》中的知識(shí)點(diǎn)解題^[1].完成“一元二次函數(shù)、方程和不等式”一章的知識(shí)教學(xué)后，教師可應(yīng)用多媒體呈現(xiàn)高考題.先組織學(xué)生分析高考題的主要考點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的全面復(fù)習(xí).之后，組織學(xué)生應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解答問題，在學(xué)生自主嘗試、自主探究之后，教師為學(xué)生講解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的具體應(yīng)用，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)基本原理的感悟，為提升學(xué)生的解題能力奠定基礎(chǔ).

例如 ?教師可呈現(xiàn)如下例題：（2019年天津理科）設(shè)，，，則的最小值為?????.

這一問題是一道典型的不等式求最值的問題，其主要考點(diǎn)為“基本不等式”.針對(duì)這一考點(diǎn)，教師可組織學(xué)生回顧相關(guān)知識(shí)，如：基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式，其表述為兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)；基本不等式的應(yīng)用前提是“一正、二定、三相等”，其中，“一正”指的是兩個(gè)式子都為正數(shù)，“二定”指的是用基本不等式求最值時(shí)，和或積應(yīng)當(dāng)為定值；“三相等”指的是當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)式子相等時(shí)，才能取等號(hào).在學(xué)生回顧完相關(guān)知識(shí)后，教師指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用具體理論分析問題，并在黑板上板書解題過程：

由，，，

則可被變形為

；

根據(jù)基本不等式得到

；

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即：，時(shí)，

即：或時(shí)，等號(hào)成立，

故的最小值為，得到高考題答案為.

針對(duì)高考題進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，教師可以先組織學(xué)生分析高考題的數(shù)學(xué)考點(diǎn)，在提煉考點(diǎn)的基礎(chǔ)上引導(dǎo)其聯(lián)想、回顧相關(guān)知識(shí)，為其夯實(shí)理論解題基礎(chǔ).之后，再與學(xué)生共同應(yīng)用具體理論解決問題，通過數(shù)學(xué)推演、數(shù)學(xué)運(yùn)算求得問題答案，以此鞏固學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)，鍛煉學(xué)生解決典型類型題的能力.

2 ?綜合考題總結(jié)方法，提升數(shù)學(xué)解題能力

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法指的是為了達(dá)到數(shù)學(xué)目的而采取的手段、方法^[2].數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法有著深刻聯(lián)系，且都可被用于解題教學(xué)當(dāng)中.應(yīng)用高考題進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，教師可以對(duì)考題進(jìn)行分類整理，分析不同類型題適用的解題思想或解題方法，并為學(xué)生總結(jié)思想方法的應(yīng)用技巧，讓學(xué)生在解題學(xué)習(xí)的過程中形成清晰的解題思路，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.下面，文章將以“一元二次函數(shù)、方程和不等式”的解題教學(xué)為例，分析應(yīng)用高考原題提升學(xué)生解題能力的策略.

2.1 ?用放縮法解證明問題

放縮法是一種放寬或縮小不等式范圍的數(shù)學(xué)方法，經(jīng)常被用在多項(xiàng)式中，如“舍掉一些正（負(fù)）項(xiàng)而使不等式各項(xiàng)之和變?。ù螅被颉霸诔朔e式中用較大（或較小）因式代替”等等.放縮法是解不等式證明問題的主要方法之一.教師可以收集高考數(shù)學(xué)的不等式證明問題，并為學(xué)生分析題目特點(diǎn)，演繹應(yīng)用放縮法解不等式證明問題的過程，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)、模仿的過程中領(lǐng)會(huì)放縮法的本質(zhì)，學(xué)會(huì)用放縮法解決類似問題.

例如教師可應(yīng)用如下高考題：（2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖北卷））設(shè)為正整數(shù)，為正有理數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）證明：.分析問題，發(fā)現(xiàn)該問題的第（Ⅱ）小問是一道典型的求證不等關(guān)系的問題.針對(duì)這一類型問題，可以應(yīng)用此方法解決.同時(shí)，解決第（Ⅱ）小問，需要先解第（Ⅰ）小問.具體解題過程如下：

證明（Ⅰ），

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

所以.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）小問知：當(dāng)時(shí)，（伯努利不等式）；

所證不等式即為：；

如果，則

因?yàn)椋?/p>

令，可得，

所以，，

所以，故式（1）成立.

若使，顯然成立.

因?yàn)椋?/p>

所以，故式（2）成立.

綜合所有因素，可證明原不等式成立.

完成演繹教學(xué)后，教師可將正確的解題步驟擦去，讓學(xué)生結(jié)合解題教學(xué)內(nèi)容重新應(yīng)用縮放法證明不等式，進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)縮放法的記憶，使其在深度思考、自主應(yīng)用的過程中真正掌握證明不等式的具體方法.

2.2 ?用方程思想求解應(yīng)用問題

函數(shù)與方程思想是一種應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像、方程模型化簡(jiǎn)問題、解決問題的思想方法^[3].將函數(shù)與方程思想滲透進(jìn)不等式的高考數(shù)學(xué)題解題教學(xué)當(dāng)中，有利于打破學(xué)生的局限思維，使學(xué)生學(xué)會(huì)從函數(shù)與方程的角度分析問題，解決問題，從而提高學(xué)生的解題效率.解題教學(xué)中，教師應(yīng)抓住高考題的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生提煉題目關(guān)鍵信息并建構(gòu)函數(shù)、方程模型，幫助學(xué)生快速理清解題思路.

例如 ?教師可應(yīng)用方程思想指導(dǎo)學(xué)生解決如下高考題：（2016年新課標(biāo)理科試卷）：某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A與產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料千克，乙材料千克，用個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料千克，乙材料千克，用個(gè)工時(shí).生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料千克，乙材料千克，則在不超過個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、B的利潤(rùn)之和最大為?????元.這一問題給出的信息過多，看起來(lái)雜亂無(wú)章.為使學(xué)生在盡短的時(shí)間內(nèi)確定解題方向，教師可讓學(xué)生提煉題目中的關(guān)鍵量，并分析不同量之間的數(shù)量關(guān)系，指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建函數(shù)與方程模型：解：設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別是件與件，獲利為元，則有下列數(shù)量關(guān)系：.之后繪制不等式組表示的可行域圖示（見右圖），根據(jù)題意得到解得，目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，目標(biāo)函數(shù)取得最大值（元），得到原題答案為最高利潤(rùn)之和可能為元.

高考數(shù)學(xué)題不乏不等式的實(shí)際應(yīng)用題.如何在簡(jiǎn)短的時(shí)間內(nèi)理清解題思路，同時(shí)快速求解是高中學(xué)生目前應(yīng)重視的解題學(xué)習(xí)問題.教師應(yīng)當(dāng)在解不等式應(yīng)用題的過程中滲透函數(shù)與方程思想，通過指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建模型、繪制函數(shù)圖像等方式化簡(jiǎn)綜合應(yīng)用題的解題步驟，使學(xué)生掌握快速解決應(yīng)用題的技巧.

3 ?完善習(xí)題教學(xué)評(píng)價(jià)，促進(jìn)學(xué)生反思提升

教學(xué)評(píng)價(jià)具有教學(xué)診斷、教學(xué)導(dǎo)向等多種教育功能^[4].基于高考題開展高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)時(shí)，教師要基于學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況給出合適的教學(xué)評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生客觀認(rèn)識(shí)自身的發(fā)展情況，從而促進(jìn)學(xué)生的反思提升.為此，教師可以借鑒高考評(píng)分體制設(shè)計(jì)解題教學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，由具體標(biāo)準(zhǔn)指出學(xué)生的發(fā)展不足；同時(shí)，教師還可以將過程性評(píng)價(jià)、診斷性評(píng)價(jià)等評(píng)價(jià)模式用于解題教學(xué)當(dāng)中，通過跟蹤評(píng)價(jià)的方式讓學(xué)生在解題學(xué)習(xí)的同時(shí)反思自我，進(jìn)一步提升學(xué)生的糾錯(cuò)、改錯(cuò)能力.

例如教師可組織學(xué)生完成如下高考題：（2022年全國(guó)卷甲（文科））：已知，，，則（ ??）

（A）. ????（B）. ????（C）. ????（D）.

很多學(xué)生在解這一高考題時(shí)能夠結(jié)合指對(duì)互化的相關(guān)知識(shí)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析問題，得到，再結(jié)合基本不等式、換底公式得到、，得到正確答案A.然而，另外一部分學(xué)生在解決此題時(shí)缺乏清晰的解題思路，進(jìn)行大量運(yùn)算卻無(wú)法求得問題的正確解.在評(píng)價(jià)不同學(xué)生時(shí)，教師可以綜合高考評(píng)價(jià)體系的“一核”、“四層”、“四翼”三部分內(nèi)容設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，如：學(xué)生是否能夠在解題過程中明確題目的考點(diǎn)，同時(shí)聯(lián)想相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；學(xué)生是否能夠在分析問題時(shí)聯(lián)想基本的數(shù)學(xué)思想與方法，并嘗試?yán)镁唧w方法求解問題；學(xué)生是否能夠進(jìn)行高效運(yùn)算并計(jì)算出準(zhǔn)確結(jié)果；學(xué)生是否能夠嘗試更多方法解決高考題；學(xué)生是否能夠?qū)⒔鉀Q此問題的方法遷移到其他問題的解題過程中，且取得正確答案……通過完善評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，從學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)綜合、學(xué)習(xí)應(yīng)用、學(xué)習(xí)創(chuàng)新四個(gè)層面考查學(xué)生的解題學(xué)習(xí)情況，確保學(xué)生能夠在評(píng)價(jià)的引導(dǎo)下掌握必備知識(shí)，形成關(guān)鍵能力，提升核心素養(yǎng).

4 ?結(jié)語(yǔ)

綜上所述，以不等式為考點(diǎn)的高考數(shù)學(xué)題不僅考查學(xué)生對(duì)不等式概念、不等式性質(zhì)等基本知識(shí)的掌握情況，還考查學(xué)生對(duì)放縮法、作差法（或作商法）等數(shù)學(xué)思想方法的掌握情況.實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)盡可能地將具有教育價(jià)值的高考原題引入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中，通過呈現(xiàn)案例習(xí)題、講解案例習(xí)題、設(shè)計(jì)變式問題等多種方式提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)解題能力.

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