用復數(shù)矢量方程分析行星運動

彭定輝

(江西省南豐縣第一中學,江西 撫州 344500)

對于平方反比引力場中的行星運動問題,通?？蓸嫿ㄊ噶糠匠探Y合比耐公式求解[1],也可利用守恒規(guī)律進行分析[2],還可用復數(shù)表示矢量進行處理[3,4].但后者只是用復數(shù)形式統(tǒng)合兩個分量方程,處理結果與前兩種方法并無區(qū)別.故本文在上述方法的基礎上,嘗試用表示矢量的復數(shù)作為獨立變量,建立運動方程求解行星軌跡.

1 矢量的復數(shù)表示

考慮到復數(shù)與共軛復數(shù)是互為共軛關系,故對復數(shù)矢量和方程可用置換方式取其共軛,即把式中復數(shù)因子都換成相應的共軛復數(shù),如:i替換為-i、-i替換為i,r替換為r*、r*替換為r等.

復數(shù)也可表示矢量的點積和叉積. 若用復數(shù)v=veiφ表示大小為v,輻角為φ的速度矢量v,其有共軛復數(shù)v*=ve-iφ,兩者與r、r*交錯相乘,得r*v=vre-i(θ-φ)、v*r=vrei(θ-φ).注意到兩乘積之和r*v+rv*=2vrcos (θ-φ)為點積r·v=vrcos (φ-θ)的兩倍,故可將矢量點積寫為

而兩乘積之差r*v-rv*=2ivrsin(φ-θ)與叉積r×v=vrsin(φ-θ)n形式相似;因叉積矢量在坐標反演時會改變方向,是為贗矢量[6],故用純虛數(shù)i表示其垂直矢量平面向上的單位矢量n,則可將矢量叉積寫為

叉積矢量kn可單獨用復數(shù)ik表示,與方向在虛軸上的矢量有相同的復數(shù)形式.對于矢量v與叉積矢量kn的叉積v×kn,易知其方向為v沿順時針旋轉90°的方向,故用復數(shù)表示為

v×ik=-ikv

2 分析行星運動

2.1 基本方程和守恒量

下面用復數(shù)矢量方程分析行星的運動.以太陽為復平面坐標原點,設太陽質量為M,行星質量為m,位置為r,則其速度為

(1)

取共軛得

(2)

由牛頓運動定律可知

代入式(1),化簡為

(3)

取共軛得

(4)

代入式(1)、(2),整理化簡為

即

(5)

可知守恒量E為行星總能量.

聯(lián)立式(1)、(2),可得

即

(7)

此式可寫為iL=r×mv,故守恒量iL為行星角動量.

將式(1)、(2)代入式(7),有

數(shù)學變形得

即

(8)

對式(8)取共軛,得

(9)

聯(lián)立式(5)、(7),可知A的大小為

(10)

2.2 行星速度和軌跡

當行星角動量iL≠0時,由式(8)有

(11)

對式(11)取共軛,得

(12)

由式(11)、(12)有

圖1 行星速度矢量在速度空間中的軌跡

將式(11)、(12)代入式(7),整理得

(13)

考慮E≠0的情況,由式(10)有

代入式(13),整理化簡為

(14)

而由式(5)有

(15)

圖2 E<0時行星的軌跡

圖3 E>0時行星的軌跡

3 不同方向發(fā)射衛(wèi)星的軌跡包絡線

衛(wèi)星繞地運動與行星運動類似,故下面來分析不同方向發(fā)射衛(wèi)星的軌跡包絡線.設衛(wèi)星發(fā)射位置為r0,發(fā)射速度為v0,其總能量E<0,軌跡為橢圓.當僅調整衛(wèi)星發(fā)射方向時,守恒量中除了E不變,iL和A都會變化,焦點位置及衛(wèi)星軌道也會隨之發(fā)生變動.

故將r=r0代入式(15),有

(16)

或寫為

(17)

又將r=r0代入式(13),有

再與式(13)聯(lián)立,化簡整理得

(18)

此即以焦點F及其共軛復數(shù)F*為參量,描述衛(wèi)星軌道變動的一簇曲線方程.

現(xiàn)對式(17)求導,有

同樣對式(18)求導,有

兩式聯(lián)立又得

(r*-r0*)(F-r0)-(r-r0)(F*-r0*)=0

此式可寫為叉積形式

(r-r0)×(F-r0)=0

表明r-r0與F-r0在同一條直線上. 即作為軌跡包絡線上的一點,衛(wèi)星矢徑取極大值時的位置r與此時橢圓軌道的焦點F及發(fā)射位置r0三點共線,如圖4所示.

圖4 衛(wèi)星矢徑取極大值時的軌道

又因r-r0=r-F+F-r0,故有

將上式與式(15)、(16)聯(lián)立,可得

圖5 不同方向發(fā)射衛(wèi)星的軌跡包絡線

4 結束語

本文以復數(shù)矢量方程分析行星軌跡問題,不僅得到行星運動的一般性結論,還發(fā)現(xiàn)作為守恒量的拉普拉斯-隆格-楞次矢量與行星運動有深刻關聯(lián),它與其他守恒量共同決定了行星軌道的離心率和第二焦點位置等運動參數(shù),其物理意義十分豐富.

雖然復數(shù)矢量方程只適用于平面運動問題,但由于它可把矢量方程中的點積和叉積計算變換成復數(shù)形式的代數(shù)運算,在簡化求解過程的同時并能將運動圖景直觀呈現(xiàn),對于諸如α粒子散射等類似問題有一定的參考價值.