基于坐標(biāo)變換的引力透鏡模擬

陳品健,劉海程,李向華

(云南大學(xué) 物理與天文學(xué)院 天文系,云南 昆明 650500)

引力透鏡效應(yīng)是可由廣義相對(duì)論所導(dǎo)出的一個(gè)重要現(xiàn)象.通常情況下,引力透鏡系統(tǒng)主要由觀測(cè)者、源天體(背景光源)和透鏡天體(前景天體)三部分組成,透鏡天體會(huì)偏轉(zhuǎn)源天體發(fā)出的光并形成扭曲的圖像,同時(shí)改變觀測(cè)者接受到的來(lái)自源天體的流量大小.根據(jù)源天體所成像的扭曲程度,以及透鏡天體的質(zhì)量、種類等因素,引力透鏡效應(yīng)可被分為強(qiáng)引力透鏡、弱引力透鏡、微引力透鏡3類.強(qiáng)引力透鏡效應(yīng)中的透鏡天體往往是星系或者星系團(tuán),引起的光線偏折足以產(chǎn)生多個(gè)明亮的圖像、弧線結(jié)構(gòu)甚至是愛(ài)因斯坦環(huán),并且大多產(chǎn)生在較大的宇宙學(xué)尺度上,不過(guò)發(fā)生的概率較小.微引力透鏡效應(yīng)中,透鏡天體常常是恒星質(zhì)量級(jí)的天體,且源天體的質(zhì)量較小,相應(yīng)的光線偏折角也較小,觀測(cè)不到像的明顯形變扭曲,但是觀測(cè)到源天體的亮度會(huì)在短時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)較為明顯的增大.弱引力透鏡效應(yīng)主要指由于宇宙物質(zhì)密度場(chǎng)的擾動(dòng)所引起的光線偏折現(xiàn)象,其中源天體成像的扭曲程度相比強(qiáng)引力透鏡也要小得多,大多只能通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法來(lái)進(jìn)行研究,但由于宇宙中存在著豐富多樣的物質(zhì)結(jié)構(gòu),弱引力透鏡效應(yīng)發(fā)生的概率非常高.

目前,引力透鏡已經(jīng)成為天文學(xué)觀測(cè)中的重要工具之一.20世紀(jì)80年代以來(lái),得益于許多大型巡天項(xiàng)目的開(kāi)展,天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了許多不同種類引力透鏡的實(shí)例,它們可以幫助人們研究一些距離十分遙遠(yuǎn)、無(wú)法直接觀測(cè)的天體(例如黑洞、類星體等),并可以用來(lái)測(cè)量宇宙學(xué)參數(shù)[1](哈勃常數(shù)).天文學(xué)家也可以通過(guò)引力透鏡效應(yīng)確定星系內(nèi)物質(zhì)的分布,這為尋找暗物質(zhì)存在的直接證據(jù)和分析暗物質(zhì)的空間分布做出了重要的貢獻(xiàn).本文主要研究了透鏡天體為點(diǎn)質(zhì)量透鏡和奇異等溫橢球(Singular isothermal ellipsoid, SIE)透鏡2種情況下的引力透鏡效應(yīng),結(jié)合透鏡方程得到源平面上每一點(diǎn)的放大率,通過(guò)坐標(biāo)變換的方式,生成最終的成像結(jié)果.此外,通過(guò)不同源天體表面亮度分布、不同相對(duì)位置等條件的對(duì)比,更好的展示引力透鏡效應(yīng)的物理機(jī)制,并反映透鏡圖像對(duì)于透鏡模型的約束性.

1 引力透鏡理論

1.1 光線偏折現(xiàn)象

透鏡效應(yīng)體現(xiàn)于光線傳播路徑的偏折.早在1704年,艾薩克·牛頓(Isaac Newton)在自己的《光學(xué)》一書(shū)中提出一個(gè)假設(shè):引力或許能使光線發(fā)生彎曲.不過(guò)牛頓并未對(duì)此給出相應(yīng)的計(jì)算表述.1783年,自然哲學(xué)家約翰·米切爾(John Mitchell)基于光是粒子的假設(shè),首次提出了一種估計(jì)恒星質(zhì)量的方法——測(cè)量“光粒子”從恒星的引力場(chǎng)到達(dá)地球過(guò)程中由引力導(dǎo)致的光速減小量,他同時(shí)提出:一個(gè)質(zhì)量足夠大的天體可以完全束縛住自身輻射的光線從而變得不可見(jiàn),這已經(jīng)有些接近黑洞的概念.1801年,約翰·喬治·馮·索德納(Johann Georg von Soldner)正式發(fā)表了其關(guān)于光線經(jīng)過(guò)大質(zhì)量天體表面發(fā)生偏折的計(jì)算結(jié)果,相應(yīng)的偏折角為

(1)

其中M為天體的質(zhì)量,G為萬(wàn)有引力常數(shù),R為天體的半徑,c為真空中的光速,通過(guò)這個(gè)公式計(jì)算得到了光線經(jīng)過(guò)太陽(yáng)表面時(shí)產(chǎn)生的偏折角約為0.84″.事實(shí)上,這個(gè)偏折角也恰好是正確結(jié)果的一半.1919年5月29日,艾丁頓(Eddingdon)等人拍攝的日食照片首次證實(shí)了光線經(jīng)過(guò)大質(zhì)量天體表面的偏折現(xiàn)象,后根據(jù)愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論計(jì)算,實(shí)際的偏折角大小應(yīng)為1.7″左右.

為了得到光線偏折角的正確數(shù)值,需要使用廣義相對(duì)論.在廣義相對(duì)論體系中,當(dāng)光線隨著時(shí)空曲率傳播,它將會(huì)偏向造成時(shí)空扭曲的物體的方向,并且光線的傳播方向始終沿著零測(cè)地線.我們作一弱場(chǎng)近似:假設(shè)透鏡天體附近區(qū)域的引力勢(shì)Φ的數(shù)值遠(yuǎn)比c2小,即Φ<

弱場(chǎng)近似下的廣義相對(duì)論線元可以表示為

(2)

(3)

相應(yīng)的折射率n被定義為[2]

(4)

式中Φ<0,相應(yīng)的折射率n>1.這表明光在引力場(chǎng)中的傳播速度與引力場(chǎng)的強(qiáng)弱有關(guān),并且小于真空中光速.此外,與光在不均勻介質(zhì)中傳播類似,當(dāng)光在不均勻的引力場(chǎng)中傳播時(shí)也會(huì)發(fā)生偏折.相應(yīng)的偏折角可以用路徑積分表示為

(5)

1.2 透鏡效應(yīng)

實(shí)際中,光線偏折現(xiàn)象表述為:光線在傳播過(guò)程中會(huì)偏向造成時(shí)空扭曲的物體(透鏡天體)的方向,而引力透鏡效應(yīng)所描述的正是由該現(xiàn)象導(dǎo)致的一系列觀測(cè)效應(yīng):

1) 源天體發(fā)出的光線沿著透鏡天體周圍多條路徑傳播成為可能,而觀測(cè)者將有可能看到不同光線所形成的虛像,進(jìn)而看到一個(gè)源天體的多個(gè)圖像.

2) 由于不同光線的傳播路徑不同,相應(yīng)的光線偏折角也會(huì)不同,可以預(yù)見(jiàn)引力透鏡效應(yīng)將會(huì)對(duì)源天體的像造成一定程度的扭曲,即通過(guò)相同的機(jī)制,它們可能會(huì)看起來(lái)比真實(shí)情況更大或更小,并且存在形變.

3) 由于光線偏折現(xiàn)象本身并不會(huì)產(chǎn)生或毀滅光子,而源天體所發(fā)出的總光子是守恒的,因此存在光線會(huì)聚效應(yīng)的同時(shí)也意味著有部分方向的光線是相對(duì)發(fā)散的.所以在光線會(huì)聚的方向觀測(cè)者將會(huì)觀察到源天體變亮的像,在光線相對(duì)發(fā)散的方向觀測(cè)者將觀察到源天體的變暗的像.

4) 當(dāng)光源與觀測(cè)者之間存在多條可能的光路時(shí),這些光路又將以不同的傳播長(zhǎng)度為表征,造成不同光線傳播至觀測(cè)者的時(shí)間也不同.其中一個(gè)圖像將首先出現(xiàn),其他圖像將延遲出現(xiàn),即存在時(shí)間延遲,這種效應(yīng)在源天體是單個(gè)天體(例如類星體、超新星)時(shí)尤為明顯.

以上僅是對(duì)于透鏡效應(yīng)定性的分析,真實(shí)情況會(huì)隨著源天體、透鏡天體的種類以及相對(duì)位置的變化而變,這一點(diǎn)在模擬結(jié)果中也顯示得非常清楚.

1.3 透鏡方程

圖1清楚的展示了引力透鏡效應(yīng)的基本物理圖像,源天體發(fā)出的光經(jīng)過(guò)前景透鏡天體附近時(shí)受其周圍較強(qiáng)引力場(chǎng)的影響發(fā)生彎曲,這些光線的反向延長(zhǎng)線將會(huì)在一個(gè)實(shí)際中不存在的“像平面”上呈現(xiàn)源天體的一個(gè)或多個(gè)虛像,并且我們認(rèn)為像平面與源平面是近似重合的.

圖1 引力透鏡系統(tǒng)示意圖

需要指出的是,在我們的模型建立及公式推導(dǎo)中,始終遵循著薄鏡近似的假設(shè):將透鏡天體的質(zhì)量分布看作是一個(gè)平面質(zhì)量分布,即將其沿視線方向的三維密度分布?jí)嚎s到與視線垂直的平面(透鏡平面)上用二維投影密度代替.類似地,將源天體也視作分布在一個(gè)源平面上.事實(shí)上,在實(shí)際發(fā)生的并且能被明顯觀測(cè)到的引力透鏡效應(yīng)中,尤其是強(qiáng)引力透鏡效應(yīng)中,源與透鏡天體都是高紅移天體[3],源到透鏡天體的距離以及透鏡天體到觀測(cè)者的距離都是遠(yuǎn)大于源或透鏡天體本身的線度的,這也是由引力透鏡的物理機(jī)制決定的.此外,我們認(rèn)為光線的偏折僅發(fā)生在光線到達(dá)透鏡平面的時(shí)刻,并且忽略了光線在傳播路徑中由于其他因素?cái)_動(dòng)而產(chǎn)生的偏折,將其視作沿直線傳播.

由圖1中所展示的幾何關(guān)系可以得到如下等式

(6)

進(jìn)一步我們定義約化偏折角α為

(7)

將式(7)代入(6)得到透鏡方程最終的表達(dá)式

β=θ-α

(8)

透鏡方程是我們模擬中最重要的方程,本質(zhì)上代表了一組坐標(biāo)變換.其中α也可寫(xiě)作α(θ),表示約化偏折角α實(shí)際為θ的函數(shù),所以透鏡天體不同的質(zhì)量分布將會(huì)引起引力透鏡效應(yīng)截然不同的觀測(cè)圖像.

2 透鏡模型

2.1 點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型

如果透鏡天體是一個(gè)質(zhì)量為M的點(diǎn)質(zhì)量源,則其在空間中產(chǎn)生的引力勢(shì)可以表示為

(9)

圖2 透鏡平面坐標(biāo)系示意圖(P為光線偏折點(diǎn),φ為透鏡平面上光線偏折點(diǎn)相對(duì)于x軸的夾角,b為碰撞參數(shù),θ為光線偏折點(diǎn)與觀測(cè)者連線相對(duì)光軸的夾角)

現(xiàn)有

(10)

其中?xΦ代表引力勢(shì)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù),將式(10)代入(5)得到偏折角的表達(dá)式

(11)

(12)

利用幾何關(guān)系b=Ddθ,對(duì)應(yīng)的約化偏折角表示為

傳統(tǒng)的市場(chǎng)營(yíng)銷都是以企業(yè)的自身利益為發(fā)展前提，企業(yè)不斷擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模進(jìn)行再生產(chǎn)，這種模式下的生產(chǎn)一般都是不顧及消費(fèi)者的需求。傳統(tǒng)營(yíng)銷模式的一大特點(diǎn)就是生產(chǎn)什么產(chǎn)品就銷售什么產(chǎn)品，消費(fèi)者只能購(gòu)買企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品。這種模式下，企業(yè)處于產(chǎn)業(yè)鏈的頂端，是很典型的“賣方市場(chǎng)”，這種傳統(tǒng)的營(yíng)銷模式源于較低的生活水平和落后的社會(huì)生產(chǎn)力，同時(shí)，人民群眾的消費(fèi)能力在當(dāng)時(shí)也是有限的。

(13)

定義愛(ài)因斯坦半徑(Einstein radius)θE為

(14)

將式(14)代入(13)得到的約化偏折角代入透鏡方程(8),我們得到點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型下的透鏡方程:

(15)

這是一個(gè)一元二次方程,相應(yīng)的2個(gè)解為

(16)

2.2 奇異等溫橢球透鏡模型

點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型中的透鏡天體是一個(gè)點(diǎn)源,而奇異等溫橢球模型中的透鏡天體則是一個(gè)面源,更接近于真實(shí)情況同時(shí)相應(yīng)的模型也更為復(fù)雜.

奇異等溫球(Singular Isothermal Sphere, SIS)模型是最廣泛使用的一類軸對(duì)稱模型之一,也是天文系統(tǒng)中最簡(jiǎn)單的一類空間物質(zhì)分布模型[4].SIS模型的三維密度分布可以表示為

(17)

式中σv是速度彌散(Velocity dispersion),r為空間中任一點(diǎn)到系統(tǒng)中心的距離,該密度分布在中心處(r=0)是發(fā)散的.將該三維密度分布沿著視線方向投影,得到相應(yīng)的具有圓對(duì)稱性質(zhì)面密度分布:

(18)

其中ξ是透鏡平面(也即投影平面)上任一點(diǎn)到光軸與透鏡平面交點(diǎn)的距離.式(18)常常被用來(lái)簡(jiǎn)化描述星系的質(zhì)量分布,尤其是具有平坦旋轉(zhuǎn)曲線的旋渦星系.

在奇異等溫球(SIS)模型的基礎(chǔ)上,我們來(lái)考慮奇異等溫橢球(SIE)模型.相比于SIS模型,SIE模型更接近于星系的真實(shí)情況,因?yàn)樾窍档馁|(zhì)量分布大多不具有圓對(duì)稱的特征.引入坐標(biāo)變換:

(19)

(20)

其中f的取值范圍為0≤f≤1.

對(duì)于SIE模型下光線偏折角的計(jì)算,其過(guò)程較為復(fù)雜,我們?cè)诖颂巸H介紹整體思路.回顧公式(11)可以發(fā)現(xiàn):點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型下光線偏折角與透鏡天體的質(zhì)量成簡(jiǎn)單的線性關(guān)系.這意味著對(duì)于質(zhì)量分布較為復(fù)雜的透鏡天體,我們可以將其視作大量的點(diǎn)質(zhì)量天體的組合,對(duì)每一個(gè)點(diǎn)質(zhì)量天體所造成的偏折角矢量進(jìn)行求和,得到整個(gè)透鏡天體造成的光線偏折角矢量.積分形式具體表示為

(21)

式(21)代表一個(gè)面積分,ξ是透鏡平面上任一點(diǎn)相對(duì)光軸與透鏡平面交點(diǎn)的位矢,ξ′是微小面元相對(duì)光軸與透鏡平面交點(diǎn)的位矢.這里略去了具體的求解步驟,我們給出Kormann等人于1994年[5]求得的解析解,光線偏折角矢量的分量如下:

(22)

(23)

3 點(diǎn)質(zhì)量透鏡模擬結(jié)果可視化

3.1 單一點(diǎn)源

我們考慮在點(diǎn)質(zhì)量透鏡的情況下,源天體是一具有恒定表面亮度的天體,且該天體的表面亮度分布在其輪廓處截止,即模擬源天體為單個(gè)天體的情況,稱之為單一點(diǎn)源.我們將透鏡天體固定于中心原點(diǎn)處,并把源天體的生成函數(shù)更改為:在到給定坐標(biāo)(天體中心坐標(biāo))一半徑R范圍內(nèi)的網(wǎng)格點(diǎn)賦值為一非零常數(shù),落在范圍外的網(wǎng)格點(diǎn)賦值為零.最終得到圖3所示的結(jié)果.可以看出,圖3很好的符合式(16)所給出的結(jié)果,當(dāng)觀測(cè)者、透鏡天體、源天體三點(diǎn)一線時(shí)可以呈現(xiàn)出一個(gè)較為完美的愛(ài)因斯坦環(huán),當(dāng)三者存在偏離時(shí),愛(ài)因斯坦環(huán)將逐漸瓦解,存在兩個(gè)主要成像區(qū)域.需要指出的是,我們的模擬結(jié)果重在反映引力透鏡效應(yīng)的物理圖像,因此除了個(gè)別指出的情況,所給出的圖像中并沒(méi)有橫縱坐標(biāo)數(shù)值以及模擬過(guò)程中所采用的具體參數(shù).這些數(shù)值不會(huì)影響到最終的成像結(jié)果和性質(zhì).

圖3 點(diǎn)質(zhì)量透鏡情形下單一點(diǎn)源在不同位置處的引力透鏡成像圖(第1行顯示源天體在源平面上的位置,第2行代表相應(yīng)的像平面上所呈現(xiàn)的像的形狀)

此外,我們得到了點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型下像平面上每一成像點(diǎn)對(duì)應(yīng)的光線偏折情況,如圖4所示,用矢量場(chǎng)的形式來(lái)表示.從結(jié)果看,光線經(jīng)過(guò)透鏡平面時(shí)的碰撞參數(shù)越大,光線的偏折角就越大,這與式(12)所反映的性質(zhì)一致.考慮到實(shí)際數(shù)值模擬的過(guò)程中網(wǎng)格點(diǎn)不是無(wú)限密的,光線偏折角沒(méi)有出現(xiàn)無(wú)窮大的情況.

圖4 偏折角矢量場(chǎng)示意圖[左圖反映像平面上中心區(qū)域每一成像點(diǎn)的光線偏折情況,箭頭的長(zhǎng)度表征偏折角的大小,箭頭的方向指向?qū)?yīng)源平面上源天體發(fā)出光線的位置; 右圖反映了沿x軸方向(對(duì)應(yīng)左圖θ1方向)上各個(gè)成像點(diǎn)對(duì)應(yīng)的偏折角的大小]

最后我們給出該模型下的比較示意圖,如圖5所示將源天體在不同位置的示意圖及對(duì)應(yīng)成像結(jié)果的示意圖分別放在一張圖內(nèi),更好地反映位置關(guān)系對(duì)于成像的影響.

圖5 點(diǎn)質(zhì)量透鏡情形下單一點(diǎn)源在不同位置處的引力透鏡成像比較圖(左圖代表源天體在源平面上的位置,右圖代表像平面上的成像結(jié)果,某一顏色的圖像表征該透鏡圖像是由相應(yīng)顏色的源天體所產(chǎn)生的)

3.2 塞西克輪廓

塞西克輪廓(Sersic profile)是一種常用的描述星系表面亮度的數(shù)學(xué)函數(shù)[6],也是對(duì)于德沃古勒定律(de Vaucouleurs′ law)推廣.其給出的表面亮度分布為

(24)

其中R是到星系中心的距離,Re是以星系中心為圓心、包含總光度一半的圓所對(duì)應(yīng)的半徑,Ie為Re處的表面亮度,參數(shù)n為塞西克指數(shù),決定了表面亮度輪廓隨半徑變化的陡峭程度,取值范圍一般在2～6,bn也是由n決定的參數(shù).

利用塞西克輪廓所描述的表面亮度分布,我們更改了源天體的生成函數(shù),使其滿足式(24),進(jìn)而模擬源天體為星系時(shí)引力透鏡的成像結(jié)果.相較于單一點(diǎn)源,塞西克輪廓也更貼近于實(shí)際觀測(cè)中常見(jiàn)的情況.圖6給出我們模擬的圖像.從結(jié)果看,當(dāng)源天體為符合塞西克輪廓的光源時(shí),愛(ài)因斯坦環(huán)及亮弧的輪廓變得模糊,不過(guò)當(dāng)源天體、透鏡天體、觀測(cè)者三者不滿足處在一條直線上時(shí),亮弧中還是能夠明顯看到兩處較亮區(qū)域的存在,對(duì)于2個(gè)主要成像點(diǎn).該情形下的成像結(jié)果也提示我們,當(dāng)源天體中存在子結(jié)構(gòu)時(shí),對(duì)應(yīng)的成像結(jié)果也會(huì)存在附加的子結(jié)構(gòu),這說(shuō)明成像結(jié)果反映了源天體的部分性質(zhì),對(duì)于透鏡成像結(jié)果的分析有助于更好的約束源天體的模型假設(shè).

圖6 點(diǎn)質(zhì)量透鏡情形下表面亮度符合塞西克輪廓的源天體在不同位置處的引力透鏡成像圖(第1行顯示源天體在源平面上的位置,第2行代表相應(yīng)的像平面上所呈現(xiàn)的圖像.該模擬中采用的塞西克指數(shù)n=2,點(diǎn)質(zhì)量透鏡仍處于中心處)

3.3 高斯分布

我們給定源天體的表面亮度分布服從高斯分布,標(biāo)準(zhǔn)的高斯分布概率密度[7]表述為

(25)

其中μx和μy分別為隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望,σx和σy分別為隨機(jī)變量X和Y的標(biāo)準(zhǔn)差,參數(shù)r為它們的相關(guān)系數(shù).仿照式(25)我們給定一簡(jiǎn)單的表面亮度分布如下:

(26)

其中I0為源天體中心處的表面亮度大小,r為平面上一點(diǎn)到中心位置的距離,R為一給定的半徑參數(shù).我們更改源天體的生成函數(shù)使其符合式(26),并得到圖7所示結(jié)果.

圖7 點(diǎn)質(zhì)量透鏡情形下表面亮度符合高斯分布的源天體在不同位置處的引力透鏡成像圖(第1行顯示源天體在源平面上的位置,第2行代表相應(yīng)的像平面上所呈現(xiàn)的圖像,點(diǎn)質(zhì)量透鏡位仍于中心處)

由圖7可以發(fā)現(xiàn),源天體相對(duì)位置對(duì)于成像結(jié)果的影響與前兩種模型類似,但愛(ài)因斯坦環(huán)及亮弧的輪廓的陡峭程度介于單一點(diǎn)源和塞西克輪廓之間.事實(shí)上,當(dāng)我們?nèi)∈?24)的塞西克指數(shù)n=1時(shí),式(24)和(26)具有類似的形式,因此我們可以將式(26)所代表的高斯分布視為塞西克輪廓的一種特殊情況.再考慮n→+∞的情況,式(24)又將趨于單一點(diǎn)源模型所代表的源天體具有恒定表面亮度的情況.三者對(duì)比我們可以明顯的發(fā)現(xiàn)式(24)中的指數(shù)項(xiàng)在如何影響透鏡成像,或者說(shuō)源天體表面亮度分布的陡峭程度如何體現(xiàn)于最終的成像結(jié)果上:源天體表面亮度分布越陡峭,成像結(jié)果中愛(ài)因斯坦環(huán)及亮弧的邊緣就將越清晰.利用這一點(diǎn)我們也可以在已知透鏡天體的情況下根據(jù)成像結(jié)果來(lái)定性的反推源天體的光度分布.

4 奇異等溫橢球透鏡模擬結(jié)果可視化

本節(jié)中給出奇異等溫橢球(SIE)模型下的引力透鏡模擬成像結(jié)果,同樣討論了源天體表面亮度分布為單一點(diǎn)源、塞西克輪廓、高斯分布的3種情況,其中的原理與第3節(jié)相同,本節(jié)不再贅述.相比于點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型,SIE模型的成像機(jī)制與圖像結(jié)果要復(fù)雜得多,本節(jié)我們更重于反映模擬結(jié)果的基本圖像,未詳細(xì)闡述成像原理的細(xì)節(jié)部分.

4.1 單一點(diǎn)源

在更改了透鏡天體的質(zhì)量分布情況后,我們得到了源天體為單一點(diǎn)源情況下奇異等溫橢球模型對(duì)應(yīng)的引力透鏡圖像,如圖8所示,與點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型不同,SIE模型下的成像結(jié)果不再具有式(16)所揭示的存在2個(gè)主要成像區(qū)域的特點(diǎn),而會(huì)出現(xiàn)有4個(gè)亮弧的情況.

圖8 SIE模型下單一點(diǎn)源在不同位置處的引力透鏡成像圖(第1行顯示源天體在源平面上的位置,虛線表征橢圓長(zhǎng)短軸的分布及比例,第2行代表相應(yīng)的像平面上所呈現(xiàn)的像的形狀.模擬過(guò)程中相應(yīng)的短軸與長(zhǎng)軸比f(wàn)=0.6)

并且我們給出該模型下源天體不同位置成像的比較示意圖,類似圖5將源天體在不同位置的示意圖及對(duì)應(yīng)成像結(jié)果的示意圖分別放在一張圖內(nèi),如圖9所示.

圖9 SIE模型下單一點(diǎn)源在不同位置處的引力透鏡成像比較圖(左圖代表源天體在源平面上的位置,右圖代表像平面上的成像結(jié)果,某一顏色的圖像表征該透鏡圖像是由相應(yīng)顏色的源天體所產(chǎn)生的,虛線表征橢圓長(zhǎng)短軸的分布及比例,模擬過(guò)程中相應(yīng)的短軸與長(zhǎng)軸比f(wàn)=0.85)

相比于點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型,奇異等溫橢球模型的質(zhì)量分布更為復(fù)雜,我們引入橢率ε為

ε=1-f

(27)

改變?cè)刺祗w在源平面上位置的同時(shí),我們改變透鏡天體質(zhì)量分布的橢率,得到如圖10所示的結(jié)果.

圖10 SIE模型不同橢率下單一點(diǎn)源在不同位置處的引力透鏡成像比較圖(第1列及第3列對(duì)應(yīng)源天體在源平面上的位置,左上角注明SIE模型相應(yīng)的橢率,第2列及第4列為像平面上對(duì)應(yīng)的成像圖,每一幅子圖中特定顏色的圖像表征該透鏡圖像是由相應(yīng)顏色的源天體所產(chǎn)生的,虛線表征橢圓長(zhǎng)短軸的分布及比例)

從圖10中可以看出,SIE模型下的物像關(guān)系明顯更加復(fù)雜,物像關(guān)系同時(shí)受透鏡天體質(zhì)量分布和相對(duì)位置的制約.此外,注意到當(dāng)橢率不斷減小時(shí),成像結(jié)果逐漸趨近于圖9,而當(dāng)ε=0.10時(shí)成像結(jié)果已經(jīng)與點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型的成像結(jié)果(圖5)相接近,這也是容易理解的,當(dāng)ε→0時(shí)橢圓趨近于一個(gè)圓形.此外,我們注意到SIE模型下單一點(diǎn)源的引力透鏡成像圖已經(jīng)比較接近于真實(shí)拍攝的圖像,如圖11所示.

圖11 愛(ài)因斯坦十字架(Einstein Cross)(哈勃太空望遠(yuǎn)鏡(Hubble Space Telescope)所拍攝的一個(gè)距離我們約8億光年的類星體發(fā)出的光所形成的強(qiáng)引力透鏡圖像,透鏡天體是距我們約4億光年的一個(gè)星系.摘自網(wǎng)頁(yè)http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/1990/20/image/a)

4.2 塞西克輪廓

我們給出奇異等溫橢球模型下表面亮度分布符合塞西克輪廓的源天體的引力透鏡成像示意圖,如圖12所示.成像結(jié)果與圖8基本一致,值得注意的是,在特定的橢率下即便是源天體、透鏡天體、觀測(cè)者三者處于同一直線時(shí)也不形成標(biāo)準(zhǔn)的愛(ài)因斯坦環(huán).

圖12 SIE模型下表面亮度符合塞西克輪廓的源天體在不同位置處的的引力透鏡成像圖(第1行顯示源天體在源平面上的位置,虛線表征橢圓長(zhǎng)短軸的分布及比例,第2行代表相應(yīng)的像平面上所呈現(xiàn)的像的形狀.模擬中相應(yīng)的短軸與長(zhǎng)軸比f(wàn)=0.6)

4.3 高斯分布

我們給出表面亮度分布滿足式(26)的源天體的引力透鏡成像示意圖,如圖13所示.

圖13 SIE模型下表面亮度符合高斯分布的源天體在不同位置處的引力透鏡成像圖(第1行顯示源天體在源平面上的位置,虛線表征橢圓長(zhǎng)短軸的分布及比例,第2行代表相應(yīng)的像平面上所呈現(xiàn)的像的形狀.模擬中相應(yīng)的短軸與長(zhǎng)軸比f(wàn)=0.6)

5 討論與展望

5.1 內(nèi)容總結(jié)

本文進(jìn)行的是對(duì)兩種透鏡模型——點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型和奇異等溫橢球模型的引力透鏡效應(yīng)模擬,用Python語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)了引力透鏡圖像的呈現(xiàn).對(duì)于源天體的表面亮度分布分別采用了單一點(diǎn)源、塞西克輪廓和高斯分布3種情況,得到并分析了成像結(jié)果.在編寫(xiě)程序之前,我們閱讀了一些文獻(xiàn),仔細(xì)了解了引力透鏡的基本原理,并且獨(dú)立完成了對(duì)于點(diǎn)質(zhì)量透鏡模型的光線偏折角推導(dǎo).我們旨在通過(guò)生成的圖像整體情況來(lái)反映引力透鏡系統(tǒng)的性質(zhì),并同時(shí)借助比較成熟的透鏡模型來(lái)檢驗(yàn)我們的程序,尤其是源天體生成函數(shù)及透鏡方程所涉及的坐標(biāo)變換.事實(shí)上,這也是非常重要的一個(gè)部分,能夠使我們對(duì)于不同透鏡模型、源天體不同相對(duì)位置下的透鏡成像原理有更深的了解,讓我們?cè)谟龅綄?shí)際的觀測(cè)圖像時(shí),能夠更好的推測(cè)和約束相應(yīng)的透鏡系統(tǒng),明確相應(yīng)的物理圖像.

5.2 算法推廣與展望

我們最終得到的成像結(jié)果已經(jīng)達(dá)到了開(kāi)始的預(yù)期,清楚的展示了引力透鏡效應(yīng)的物理圖像.但在閱讀了相關(guān)文獻(xiàn)后,我們意識(shí)到引力透鏡模擬方面仍有很大的挖掘空間.本文中對(duì)于實(shí)際程序模擬中的各個(gè)參數(shù)細(xì)節(jié)并沒(méi)有詳細(xì)介紹,因?yàn)槲覀冎饕獜亩ㄐ缘慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題,但這也是模擬研究中可以深入的地方,尤其是涉及到一些可以進(jìn)行定量計(jì)算的部分.關(guān)于進(jìn)一步的模擬拓展,我們有如下幾點(diǎn)想法:

1) 我們希望能夠設(shè)計(jì)出更加有優(yōu)勢(shì)的圖像生成函數(shù).我們現(xiàn)在所采用的圖像生成函數(shù)是先對(duì)源平面進(jìn)行坐標(biāo)變換,然后對(duì)新的變換后的坐標(biāo)使用源天體生成函數(shù)(對(duì)應(yīng)單一點(diǎn)源、塞克西輪廓和高斯分布),這樣的方法適用于源天體表面亮度的解析形式已知的情形,但對(duì)于任一給定的沒(méi)有解析表達(dá)式的表面亮度輪廓,我們還無(wú)法獲得其引力透鏡圖像.

2) 我們希望能夠模擬有多個(gè)源天體、多個(gè)透鏡天體(例如星系團(tuán))的情形,能夠達(dá)到對(duì)于任一給定的源天體圖像,我們能讀取其強(qiáng)度分布并通過(guò)生成函數(shù)得到透鏡效應(yīng)后圖像的效果.我們希望能夠采用我們的函數(shù),在給定實(shí)際中源天體的性質(zhì)后(例如超新星、類星體等),將我們所生成的圖像與實(shí)際中觀測(cè)中所顯示的圖像進(jìn)行比對(duì),更好的約束我們的模型.

3) 我們希望能夠進(jìn)行一些定量的計(jì)算.時(shí)間延遲效應(yīng)效應(yīng)在引力透鏡事件中具有很高的研究?jī)r(jià)值,可以用于測(cè)量哈勃常數(shù).我們希望能對(duì)我們的模型做定量的時(shí)間延遲的計(jì)算,給定相應(yīng)的角直徑距離,得到不同像之間的時(shí)間延遲.

4) 我們希望能將該程序設(shè)計(jì)為一個(gè)交互圖形界面,能夠起到簡(jiǎn)單的模擬引力透鏡的效果,并通過(guò)一定坐標(biāo)范圍的調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)源天體或透鏡天體相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)引力透鏡效應(yīng)的動(dòng)態(tài)變化示意圖.

致謝：非常感謝云南大學(xué)中國(guó)西南天文研究所爾欣中教授對(duì)本文提出的寶貴意見(jiàn).