量子非定域性與貝爾不等式

周 江

(貴州大學(xué) 物理學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

2022年諾貝爾物理學(xué)獎授予法國物理學(xué)家阿斯派特、美國物理學(xué)家克勞瑟和奧地利物理學(xué)家澤林格,以表彰他們“用糾纏光子進行實驗,建立量子糾纏態(tài)對貝爾不等式的違背,并開創(chuàng)了量子信息學(xué)”. 三位開創(chuàng)者的研究澄清了量子力學(xué)中的一些基本問題,否定了局域隱變量的存在并支持了量子非定域性. 為量子信息技術(shù)的發(fā)展掃清了障礙,使量子密鑰分發(fā)、量子隱形傳態(tài)、量子信息存儲、量子保密通訊、量子計算等新技術(shù)得到了長足的發(fā)展.

從誕生到現(xiàn)在,量子力學(xué)取得了輝煌的成就.第一次量子時代催生了半導(dǎo)體、激光、原子能等重大的科技發(fā)明和發(fā)現(xiàn),并廣泛運用于電子、醫(yī)療、藝術(shù)政務(wù)和國防等. 量子理論現(xiàn)已滲透到物理學(xué)的各個方向,在化學(xué)、生命、材料、信息等交叉領(lǐng)域展現(xiàn)了越來越強大的生命力. 現(xiàn)在,人類進入了從被動認識到主動操控微觀世界的第二次量子時代.

按照量子測量理論,處于糾纏態(tài)的粒子狀態(tài)完全不確定,只能預(yù)測每個狀態(tài)出現(xiàn)的概率,粒子的具體狀態(tài)只能通過測量確定. 在測量工具介入的一瞬間,其中一個粒子的狀態(tài)完全確定. 因為處于糾纏整體,另一個粒子的狀態(tài)也立即完全確定. 1935年,愛因斯坦與其助手共同發(fā)表了一篇重要短文(稱為EPR佯謬[1,2]),試圖通過思想實驗以EPR糾纏態(tài)的糾纏測量來質(zhì)疑量子測量理論的完備性. 同一年薛定諤提出了著名的薛定諤貓. EPR態(tài)和薛定諤貓態(tài)同屬糾纏態(tài),二者試圖通過有悖邏輯甚至荒誕的結(jié)果來質(zhì)疑量子力學(xué)哥本哈根詮釋的完備性. EPR佯謬的核心包含2點:1) 處于類空間隔的兩事件不存在因果聯(lián)系,互相不受影響;2) 在一個完備的理論中,如果沒有擾動,任何一個物理量應(yīng)有其客觀實在要素. 按照EPR的觀點,如果糾纏的A和B兩粒子相距很遠,則A和B的測量互不影響. 因此,他們認為糾纏測量中量子力學(xué)那種超越因果率的瞬時作用是不合理的,糾纏測量的不確定性是波函數(shù)描述不完備的體現(xiàn).愛因斯坦進一步認為,在分離的瞬間A和B的狀態(tài)就已完全確定,測量發(fā)現(xiàn)的是已經(jīng)確定的結(jié)果,糾纏測量之所以體現(xiàn)統(tǒng)計性是由于存在未知的隱變量. 當隱變量確定,單次測量體現(xiàn)的隨機性應(yīng)得以消除.

根據(jù)隱變量假說,玻姆在因果決定論的基礎(chǔ)上于1952年構(gòu)建了第一個替代量子力學(xué)的具體理論——局域隱變量理論[3]. 量子力學(xué)和隱變量理論到底誰才能正確描述微觀規(guī)律? 針對這個問題,1964年,貝爾基于定域?qū)嵲谡搶?dǎo)出了貝爾不等式[4],該不等式指出大量測量結(jié)果的相關(guān)性存在一個上限,但是量子力學(xué)的某些預(yù)測會違背這個上限. 貝爾不等式的提出將隱變量理論和量子力學(xué)之間的哲學(xué)爭辯變成了可以檢驗的科學(xué)問題. 如果貝爾不等式被證偽,則間接證實了量子非定域性.

1969年,克勞瑟及其合作者率先開展了貝爾不等式的驗證[5]. 1972年,克勞瑟和弗里德曼利用原子級聯(lián)放射產(chǎn)生糾纏光子做了第一代檢測實驗,實驗結(jié)果違反了貝爾不等式[6]. 但他們的實驗存在一些漏洞,不能嚴格保證糾纏光子對處于類空間隔(局域性漏洞). 1982年前后,阿斯派特改進了克勞瑟的實驗,以更精巧的實驗裝置補上了局域性漏洞,結(jié)果以十幾個標準偏差的置信度明顯地違反貝爾不等式,肯定了量子力學(xué)的預(yù)言[7-10]. 1999年,澤林格研究組實現(xiàn)了長距離多光子糾纏, 徹底堵上局域性漏洞,以無可置疑的實驗結(jié)果支持了量子力學(xué)的預(yù)言[11], 這意味著量子力學(xué)不能被隱變量理論所取代.

此前,關(guān)于量子糾纏和貝爾不等式已有很多介紹[13]. 但是,量子非定域性有哪些體現(xiàn)?是否存在其他形式的貝爾不等式? 這些問題涉及量子非定域性的本質(zhì).

1 量子非定域性

1.1 單粒子非定域性

如果某個物理作用無法由有限時空區(qū)域的規(guī)則給出,則這個現(xiàn)象是非局域的.在量子力學(xué)中,一個粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述,如某個時刻粒子在空間中的位置波函數(shù)為|x〉=∑ici|xi〉,其中ci為概率幅. 粒子的位置是處于任何地方的疊加,對粒子進行測量時,粒子在整個空間的波函數(shù)分布立即坍塌為一個確定的狀態(tài),這種超越因果律的突變是瞬時完成的,波函數(shù)坍塌具有非定域性,這種非定域性本質(zhì)上來源于波函數(shù)的概率詮釋.由于疊加原理,多粒子系統(tǒng)的波函數(shù)坍塌也是非定域的.測量坍塌體現(xiàn)了量子理論的非定域性質(zhì).

1.2 糾纏關(guān)聯(lián)非定域性

糾纏態(tài)是多粒子系統(tǒng)具有相關(guān)性一種特殊疊加態(tài),總自旋為0的A和B兩粒子處于自旋糾纏態(tài)

(1)

對它們的測量存在某種超越空間的非定域關(guān)聯(lián).若測得A自旋朝上(下),立即得到B的自旋朝下(上). 關(guān)聯(lián)測量體現(xiàn)的非定域性稱為“Bell非定域性”或“關(guān)聯(lián)非定域性”[12]. 相比于單粒子體現(xiàn)的非定域性,糾纏態(tài)這種關(guān)聯(lián)非定域性更深刻,應(yīng)用也更廣泛. 怎樣刻畫糾纏態(tài)描述的子系統(tǒng)間的關(guān)聯(lián)非定域性呢?按照一般的定義,多體糾纏態(tài)不能通過有限次局域幺正變換成直積態(tài). 直積態(tài)是可分離態(tài),子系統(tǒng)間沒有糾纏,關(guān)聯(lián)測量的相關(guān)性為零,糾纏關(guān)聯(lián)非定域性可由糾纏度來刻畫.

(2)

(3)

量子態(tài)的可分離性和類空關(guān)聯(lián)測量的空間定域性是等價的. 為了看到關(guān)聯(lián)非定域性的本質(zhì),引入關(guān)聯(lián)函數(shù):

(4)

(5)

對如式(3)所示的可分離態(tài),關(guān)聯(lián)函數(shù)為0,即不存在任何相關(guān)性. 對于糾纏態(tài),對A和B的測量不相互獨立,導(dǎo)致相關(guān)函數(shù)非零,所以關(guān)聯(lián)非定域性的本質(zhì)是量子糾纏.

1.3 拓撲非定域性

很多物理效應(yīng),如AB效應(yīng),Berry相位,磁單極及拓撲不變量等,并不能由量子態(tài)的局域性質(zhì)決定,它們反映量子態(tài)在所定義空間中的整體拓撲結(jié)構(gòu).由于需要整體定義,這些效應(yīng)是非局域的,這類非局域性叫做拓撲非定域性.糾纏非定域性是量子態(tài)的某種內(nèi)稟結(jié)構(gòu),而拓撲非定域性起源于量子態(tài)的某種幾何結(jié)構(gòu),局域的微擾變形不能改變這種幾何結(jié)構(gòu).破壞拓撲非定域性需要改變量子態(tài)的整體拓撲性質(zhì).

2 貝爾不等式及其破壞

本節(jié)首先回顧關(guān)聯(lián)函數(shù)的貝爾不等式,然后根據(jù)定域?qū)嵲诩僭O(shè)導(dǎo)出條件概率滿足的貝爾不等式,并檢驗條件概率貝爾不等式違反與否.

2.1 貝爾不等式與CHSH不等式

(6)

類似地,求得a、c,以及b、c兩個方向的關(guān)聯(lián)函數(shù). 三個方向的關(guān)聯(lián)函數(shù)都依賴于隱變量,有

|p(a,b)-p(a,c)|=

(7)

上式中第3行用了等式B(b,λ)B(b,λ)=1,由于A(b,λ)B(b,λ)=-1,得

|p(a,b)-p(a,c)|≤

A(b,λ)B(c,λ)|≤

(8)

考慮到A(b,λ)B(c,λ)<1,去掉絕對值號,得到關(guān)聯(lián)函數(shù)的貝爾不等式[12]

|p(a,b)-p(a,c)|≤1+p(b,c)

(9)

這就是自旋關(guān)聯(lián)在經(jīng)典框架下受到的限制,適用于自旋單態(tài). 按照量子理論,A沿a方向測量和B沿b方向測量的關(guān)聯(lián)為

(10)

這里〈ab表示2個方向的夾角. 選取a、b、c三個方向的夾角依次為π/3,帶入式(9)得1<1/2,這個結(jié)果說明量子力學(xué)的預(yù)言違背了貝爾不等式.

克勞瑟進一步考慮了儀器失效和糾纏純度等限制[5],有-1≤A(a,λ)B(b,λ)≤1. 對A做a、a′方向測量,對B做b、b′方向測量,有

(11)

其中用了絕對值不等式關(guān)系FG≤|F|·|G|,以及|F-G|≤|F|+|G|,將上式用關(guān)聯(lián)函數(shù)表達,最后得

|p(a,b)-p(a,b′)|≤2±[p(a′,b′)+p(a′,b)]

(12)

取a′=b′=c,則p(a′,b′)=-1,p(c,b)≤1,上式退化為式(9)所示的Bell不等式. 對一般情況,注意到-2≤p(a′,b′)+p(a′,b)≤2,所以

|p(a,b)-p(a,b′)|+|p(a′,b′)+p(a′,b)|≤2

(13)

恒成立. 利用絕對值不等式去掉絕對值符號:

p(a,b)-p(a,b′)+p(a′,b′)+p(a′,b)≤2

(14)

2.2 條件概率貝爾不等式

在定域假設(shè)下測量關(guān)聯(lián)的無關(guān)性可以用條件概率來描述,由此猜想條件概率應(yīng)該滿足某種貝爾不等式. 如式(1)所示的自旋糾纏態(tài),沿任何方向測量粒子的自旋都有±1兩種取值,粒子具體指向哪一個方向依賴于隱變量λ. 設(shè)糾纏態(tài)定義在c方向

|↓,c〉A(chǔ)|↑,c〉B)

(15)

考察沿a方向測A自旋的條件概率. 因為A粒子和B粒子處于糾纏態(tài),測到A(a)和B(c)同向的概率由條件概率p(a,c,λ)給出,這里p(c,c,λ)=0.測到A(a)和B(c)反向的概率為1-p(a,c,λ). 對隱變量做權(quán)重平均,得到A(a)和B(c)同向和反向的概率分別為p(a,c),1-p(a,c). 因為A和B處于類空間隔,測量互不影響. 類似地,考察沿b方向測B的自旋的概率,得到A(c)和B(b)同向和反向的概率分別為p(c,b),1-p(c,b).對于這兩組關(guān)聯(lián)測量,A(a)和B(b)同向的概率有2種情況:

1)A(a)和B(c)反向,B(b)和A(c)同向;

2)A(a)和B(c)同向,B(b)和A(c)反向.

按照相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘積公式,A(a)和B(b)同向的概率為

p(a,b)=[1-p(a,c)]p(b,c)+p(a,c)[1-p(c,b)]=p(b,c)+p(a,c)-2p(a,c)p(b,c),

(16)

由于條件概率p是非負數(shù),且滿足0≤p≤1,p2(b,c)≤p(b,c),下列式子成立

(17)

得到不等式

[p(a,c)-p(b,c)]2≤p(a,b)≤p(b,c)+p(a,c)

(18)

這即是在定域?qū)嵲诩僭O(shè)下測量A和B的自旋同向的條件概率滿足的限制,稱之為條件概率貝爾不等式. 設(shè)c和b方向的夾角為θ,測量A(a)和B(c)同向的概率等于A(a)和A(c)反向的概率,得到 (c在δ方向)

(19)

無論在經(jīng)典情形還是量子情形,式(18)中第1個不等號都滿足. 選取a、c、b三個方向依次成θ角,第2個不等號兩邊的概率隨夾角的變化如圖1所示,可以看出:在某些區(qū)間,量子力學(xué)的預(yù)言違背了條件概率貝爾不等式的第2個不等號.

圖1 條件概率不等式隨θ變化的相對大小

3 結(jié)果與討論

本文介紹了量子力學(xué)中的各種非定域性,推導(dǎo)了條件概率滿足的貝爾不等式并驗證了量子力學(xué)對條件概率貝爾不等式的違背. 從關(guān)聯(lián)函數(shù)貝爾不等式及條件概率貝爾不等式的導(dǎo)出過程可以得出:量子力學(xué)違反貝爾不等式的根本原因有2點:1) 不能將A和B的測量看成相互獨立的測量, A和B的這種相關(guān)性體現(xiàn)了超越空間的非定域關(guān)聯(lián);2) 不能將單次測量的隨機性理解為經(jīng)典概率的隨機性,這意味著不存在隱變量.

貝爾不等式基礎(chǔ)檢驗的意義是深遠的. 從目前的發(fā)展來看,證偽貝爾不等式的實驗推動了量子信息的快速發(fā)展,帶來了計算、安全、通訊、測量等應(yīng)用技術(shù)的革新. 其意義不亞于邁克耳孫-莫雷實驗證偽以太物質(zhì)的存在. 人們在理論上逐漸認識到了量子糾纏和量子信息,量子物質(zhì)以及量子引力之間的深刻關(guān)聯(lián)[14]. 從長遠來看,量子糾纏的研究將有可能改變?nèi)藗儗α孔游镔|(zhì)及時空本質(zhì)的認識,帶來基礎(chǔ)科學(xué)的突破性進展.