甘志國

(北京豐臺(tái)二中,北京 100071)

(1)求橢圓E的方程;

(2)若點(diǎn)P為橢圓E上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn),直線PD與BC交于點(diǎn)M,直線PA與直線y=-2交于點(diǎn)N,求證:MN∥CD.

(2)先作出滿足題意的圖形如圖1所示.

圖1 2023年高考數(shù)學(xué)北京卷第19題

解法1 (設(shè)點(diǎn)并用橢圓的普通方程)可求得點(diǎn)A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),可得

求得直線PD與BC的交點(diǎn)

直線PA與直線y=-2的交點(diǎn)

進(jìn)而可求得直線MN的斜率

所以MN∥CD.

解法2 (設(shè)點(diǎn)并用橢圓的參數(shù)方程)可求得點(diǎn)A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

求得直線PD與BC的交點(diǎn)

直線PA與直線y=-2的交點(diǎn)

進(jìn)而可求得直線MN的斜率

所以MN∥CD.

解法3 (常規(guī)方法設(shè)直線)可求得點(diǎn)A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

可設(shè)直線PD:y=k(x-3)(k<0),

進(jìn)而可求得直線PD與BC的交點(diǎn)

(9k2+4)x2-54k2x+81k2-36=0.

由題設(shè)知,這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根[1],且由韋達(dá)定理可得

進(jìn)而可求得直線PA與直線y=-2的交點(diǎn)

再求得直線MN的斜率

所以MN∥CD.

解法4 (反設(shè)直線)可求得點(diǎn)A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),再求得

可設(shè)直線PD:x=my+3(m<0),

進(jìn)而可求得直線PD與BC的交點(diǎn)

(4m2+9)y2+24my=0.

進(jìn)而可求得直線PA與直線y=-2的交點(diǎn)

再求得直線MN的斜率

所以MN∥CD.

注這道高考題的背景是帕斯卡(BLAISE PASCAL,1623-1662)定理“二次曲線內(nèi)接六邊形(包括退化的情形)的三組對(duì)邊的交點(diǎn)共線”[2].

如圖1所示,橢圓E的退化內(nèi)接六邊形ABCCDP的三組對(duì)邊AB與CD,BC與DP,CC(即直線y=-2)與AP的交點(diǎn)(無窮遠(yuǎn)點(diǎn)、M,N)共線,也即AB∥CD∥MN.

由此,還可給出該題的一般情形的結(jié)論:

由帕斯卡定理,讀者可編擬出很多類似于本文開頭高考題的題目.