構(gòu)建有效問(wèn)題鏈 提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力*
——以“變量與函數(shù)”為例

童 佳

? 湖北省武漢市糧道街中學(xué)

1 教學(xué)立意

課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為,數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.如何在教學(xué)中落實(shí)好呢?關(guān)鍵是要結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容,在落實(shí)“四基”“四能”的過(guò)程中,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.而基于學(xué)情設(shè)置有效的問(wèn)題鏈就是一種有效的方法,它激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力,鍛煉毅力,培養(yǎng)創(chuàng)造力,提升學(xué)習(xí)能力.

下面,以“變量與函數(shù)”為例來(lái)探討如何構(gòu)建有效的問(wèn)題鏈,提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力

問(wèn)題1生活中有許多運(yùn)動(dòng)變化的事物,請(qǐng)大家觀察圖1中的兩幅動(dòng)態(tài)圖片,其中分別有哪些變化的量呢?它們是怎么變化的呢?

圖1

問(wèn)題2你能舉出一些這樣的例子嗎?

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)實(shí)際生活中的問(wèn)題情境,學(xué)生初步感受函數(shù)的本質(zhì),激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,提升學(xué)習(xí)動(dòng)力.通過(guò)問(wèn)題2,學(xué)生感受到生活中存在大量一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化的實(shí)例,明確學(xué)習(xí)函數(shù)概念的必要性.

2.2 合作探究,培養(yǎng)毅力與探究力

活動(dòng)1：十一黃金周期間,小明騎共享單車(chē)去黃鶴樓景區(qū),他以0.2 km/min的速度勻速行駛,行駛的路程為skm,行駛的時(shí)間為tmin.

問(wèn)題1請(qǐng)?zhí)畋?.

表1

問(wèn)題2速度、路程與時(shí)間中,哪些是變量?

問(wèn)題3這些變量之間有什么關(guān)系?可以用一個(gè)關(guān)系式來(lái)描述嗎?

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷填表的過(guò)程,初步感受每一個(gè)時(shí)間t就有一個(gè)唯一確定的路程s與之對(duì)應(yīng).構(gòu)建有效的“問(wèn)題鏈”,將問(wèn)題聚焦在兩個(gè)變量之間的關(guān)系上,引導(dǎo)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

活動(dòng)2：在景區(qū),小明查詢(xún)了近5年十一黃金周期間來(lái)武漢游玩的人次(如表2).

表2

問(wèn)題1活動(dòng)2中涉及的量哪些是變量?

問(wèn)題2這些變量有沒(méi)有像上面那樣的關(guān)系式呢?它們之間又有什么關(guān)系呢?

問(wèn)題32022年來(lái)武漢游玩的人數(shù)m是唯一確定的嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由.

問(wèn)題4你估計(jì)m的值是多少?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題鏈引發(fā)學(xué)生思考函數(shù)概念的本質(zhì).m值的估計(jì),不僅加深了學(xué)生對(duì)“唯一確定”的深刻理解,同時(shí)弘揚(yáng)了偉大的抗疫精神,從而達(dá)到數(shù)學(xué)育人的目的.

活動(dòng)3：在景區(qū),小明也感受到了十一黃金周期間武漢氣溫的適宜!下面是景區(qū)某天的氣溫變化圖,圖2中點(diǎn)的橫軸t(單位:時(shí))表示時(shí)間,縱軸T(單位:℃)表示氣溫.

圖2

問(wèn)題1氣溫變化過(guò)程中有幾個(gè)變量?

問(wèn)題2時(shí)間t與氣溫T之間又有什么關(guān)系呢?你能列出它們之間的關(guān)系式嗎?

問(wèn)題36時(shí)的溫度是多少?

問(wèn)題410時(shí)的溫度是多少?22時(shí)呢?它們之間有什么關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生熟悉的氣溫圖,體會(huì)在運(yùn)動(dòng)變化中當(dāng)時(shí)間t確定時(shí),氣溫T也隨之確定.同時(shí)通過(guò)問(wèn)題鏈,將概念的內(nèi)涵向縱深發(fā)展,體會(huì)不同的時(shí)間t可能對(duì)應(yīng)相同的氣溫T.

活動(dòng)4：請(qǐng)認(rèn)真觀察以上3個(gè)活動(dòng)中相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程.

問(wèn)題1每個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程有幾個(gè)變量?

問(wèn)題2在同一運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中,兩個(gè)變量之間是否具有相同的關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題鏈,將思考的核心再次聚焦到函數(shù)概念的本質(zhì)上來(lái),培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)例中提煉、歸納事物共性的能力.

2.3 初步辨析概念,提升辨析能力

活動(dòng)5：辨析.

問(wèn)題1觀察下列式子,y是x的函數(shù)嗎?

(1)y=x-1; (2)y=x2;

問(wèn)題2問(wèn)題1的式子中,x是y的函數(shù)嗎?

問(wèn)題3下列圖象中,y不是x的函數(shù)的是( ).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)上述問(wèn)題鏈,進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念中“唯一確定”的理解,提升學(xué)生的辨析能力.

2.4 綜合應(yīng)用概念,培養(yǎng)創(chuàng)造力

活動(dòng)6：一輛汽車(chē)的油箱中現(xiàn)有汽油50 L,如果不再加油,那么油箱中的油量y(單位:L)隨行駛路程x(單位:km)的增加而減少,已知汽車(chē)平均耗油量為0.1 L/km.

問(wèn)題1y是x的函數(shù)嗎?你能寫(xiě)出y與x之間的關(guān)系式嗎?

問(wèn)題2汽車(chē)行駛100 km,油箱中還有多少油?

問(wèn)題3當(dāng)油箱中的油量還剩20 L時(shí),汽車(chē)行駛了多少路程?

問(wèn)題4汽車(chē)最多能行駛的路程是多少?

問(wèn)題5你能指出自變量x的取值范圍嗎?那y呢?

問(wèn)題6從黃鶴樓景區(qū)到武當(dāng)山風(fēng)景區(qū)約有417 km,當(dāng)油箱中還有10 L汽油時(shí),汽車(chē)的油燈就會(huì)報(bào)警,該汽車(chē)在去武當(dāng)山風(fēng)景區(qū)的途中會(huì)報(bào)警嗎?

設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)化學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解,引出函數(shù)解析式、函數(shù)值、最值等概念.問(wèn)題6引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程,提升學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

活動(dòng)7：請(qǐng)寫(xiě)出下列問(wèn)題中y關(guān)于x的函數(shù)解析式,以及自變量x的取值范圍.

問(wèn)題1y是x的0.8倍.

問(wèn)題2某種原價(jià)為x元的商品,按8折出售,現(xiàn)售價(jià)為y元.

問(wèn)題3一個(gè)矩形相鄰的兩邊長(zhǎng)分別為0.8和x,面積為y.

設(shè)計(jì)意圖：“問(wèn)題鏈”讓學(xué)生明顯地意識(shí)到同一個(gè)函數(shù)表達(dá)式可以表示不同的意義.同時(shí),強(qiáng)調(diào)在求自變量x的取值范圍時(shí),需注意它的實(shí)際意義.

2.5 歸納概念,培養(yǎng)表達(dá)能力

問(wèn)題1這節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些新的數(shù)學(xué)概念?

問(wèn)題2你能用幾個(gè)關(guān)鍵詞概括一下今天所學(xué)的內(nèi)容嗎?

問(wèn)題3如果繼續(xù)研究函數(shù),將研究哪些內(nèi)容呢?從什么方向上去研究呢?

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題鏈,引導(dǎo)學(xué)生提煉本節(jié)課所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法,強(qiáng)化“唯一確定”.同時(shí),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出問(wèn)題,體會(huì)函數(shù)單元的整體性.

2.6 布置作業(yè)(略)

3 教學(xué)反思

本節(jié)課通過(guò)構(gòu)建有效的問(wèn)題鏈,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的必要性,函數(shù)概念生成的自然性,函數(shù)概念理解的深刻性,以及函數(shù)概念應(yīng)用的廣泛性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力,培養(yǎng)學(xué)生毅力,提升學(xué)生探究能力、辨析能力、創(chuàng)造能力等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力.而就如何設(shè)計(jì)有效的問(wèn)題鏈接這一點(diǎn),筆者有如下三點(diǎn)思考:

(1)問(wèn)題鏈的構(gòu)建要有關(guān)聯(lián)性.借用小明去黃鶴樓發(fā)生的3件事,構(gòu)建了3組各問(wèn)之間都有連接的問(wèn)題鏈.學(xué)生分別從解析式、表格、圖象中尋找兩個(gè)變量之間的本質(zhì)關(guān)系,形成函數(shù)概念.

(2)問(wèn)題鏈的構(gòu)建要有生長(zhǎng)性.在構(gòu)建問(wèn)題鏈時(shí),臺(tái)階跨度要合適,要有梯度和生長(zhǎng)性.活動(dòng)6,讓學(xué)生的思維呈螺旋式上升,特別是第6個(gè)問(wèn)題,無(wú)形中滲透了數(shù)學(xué)建模、函數(shù)與方程,以及多角度分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法.

(3)問(wèn)題鏈的構(gòu)建要能激發(fā)學(xué)生思維碰撞的火花.為有效突出重點(diǎn)、化解難點(diǎn),應(yīng)結(jié)合相關(guān)的內(nèi)容與學(xué)情,圍繞函數(shù)概念的本質(zhì)上構(gòu)建問(wèn)題鏈.活動(dòng)2與活動(dòng)3中的問(wèn)題2都是為幫助學(xué)生破解函數(shù)不一定都要有明顯的解析式而僅需“唯一確定”,不同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可以相同等難點(diǎn).Z