例析兩類與菱形有關(guān)的動點問題的解決策略

石宏丹

? 中新天津生態(tài)城第一中學

在與菱形有關(guān)的動點問題中,求圖形的面積、根據(jù)圖形的形狀求時間是兩大主要類型.求圖形的面積是以動態(tài)的視角討論面積變化趨勢,而根據(jù)圖形的形狀求動點運動的時間則比較多見,是動點問題中比較有代表性的類型[1].無論是哪種類型,難度都較大,多數(shù)學生不容易掌握.所以,教師積極探究其解決策略顯得尤為必要.基于此,本文中特選此兩類問題進行解決策略的探討,即根據(jù)點的運動情況求面積、根據(jù)點的運動情況求時間,一方面為一線教師解決教學難點提供廣泛的素材,另一方面,幫助學生掃除學習障礙.

1 根據(jù)點的運動情況求面積

例1如圖1,在等腰三角形ABC中,BC=AB=5 cm,AC=6 cm.現(xiàn)將△ABC向右平移,使得點B與點C重合,點D與點C、點E與點A分別是對應(yīng)點.連接BE和AC并交于點O.

圖1

(1)判斷四邊形ABCE的形狀,并說明理由;

(2)如圖2,在線段BC上有一個動點P(在運動時不與點B,C重合),連接PO并延長,使之與線段AE相交于點Q.過點Q作BD的垂線,垂足為R.試分析在點P運動的過程中,四邊形PQED的面積的特點.

圖2

分析：(1)首先,根據(jù)圖形的平移可證得四邊形ABCE是平行四邊形;然后,結(jié)合AB=BC,利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證得它為菱形.(2)四邊形PQED的面積不變,始終是24 cm2.

解：(1)四邊形ABCE是菱形．

∵將△ABC向右平移,使得點B與點C重合,點D與點C、點E與點A分別是對應(yīng)點,

∴ECAB.

∴四邊形ABCE是平行四邊形.

∵BC=AB,

∴四邊形ABCE是菱形.

(2)在點P運動的過程中,四邊形PQED的面積不變,始終是24 cm2.

理由如下:

由(1)可知,四邊形ABCE是菱形.

∵AC=6 cm,

∴OC=3 cm.

∵BC=5 cm,

根據(jù)勾股定理,易得BO=4 cm.

如圖3所示,過A作BC的垂線,垂足為H.

圖3

∵四邊形ABCE是菱形,

∴易證得△PBO≌△QEO.

∴BP=QE.

=24(cm2)．

方法總結(jié):根據(jù)點的運動情況求圖形的面積,首先需分析點的運動特點,將其中幾種運動的情況分析出來,然后從整體上把握圖形形狀的變化及面積的變化過程[2].在分析出圖形的形狀之后,可利用如下兩種方法求圖形的面積:

(1)根據(jù)面積公式求.如果是規(guī)則圖形,則按照規(guī)則圖形的面積公式直接求出即可.

(2)利用若干個面積之間的關(guān)系求.如果圖形的形狀不規(guī)則,則利用若干個面積之間的關(guān)系求,即把不規(guī)則的圖形分割成若干個規(guī)則圖形,然后求出若干個小規(guī)則圖形的面積,再將它們的面積相加或相減.

2 根據(jù)點的運動情況求時間

圖4

(1)試判斷:四邊形AEFD可能是菱形嗎?如果可能,請求出相應(yīng)的t值.

(2)試判斷:△DEF可能是直角三角形嗎?如果可能,請求出相應(yīng)的t值.

分析：(1)證明一個四邊形為菱形,通常先證明該四邊形為平行四邊形,然后結(jié)合鄰邊或?qū)蔷€的特點,利用相關(guān)的判定定理就可以證得該四邊形為菱形.

(2)先從結(jié)論出發(fā)逆推,根據(jù)分類討論思想進行分析,最后總結(jié)即可.

解：(1)四邊形AEFD可能是菱形．

∵AB⊥BC,DF⊥BC,

∴DF∥AE．

∵AE=t,CD=2t,且∠C=30°,

∴AE=DF=t.

∴四邊形AEFD是平行四邊形．

∵AB=BC·tan 30°=5,

∴AC=10.

∴AD=AC-DC=10-2t．

∴t=10-2t．

(2)△DEF可能是直角三角形.

①當∠EDF為直角,四邊形EBFD就是矩形．

∵∠ADE=∠C=30°,

∴10-2t=2t.

②當∠DEF為直角時,∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°-∠C=90°-30°=60°.

故t=4.

③當∠EFD為直角時,該情況不存在．

方法總結(jié):根據(jù)圖形求運動時間最關(guān)鍵之處在于找準圖形的特點,然后據(jù)此列方程并求解.在此過程中,可能會因為圖形的形狀發(fā)生變化而需要分類討論.對于這類問題,可按如下過程解決:

首先,針對每種類型畫出相應(yīng)的圖形,并利用圖形分析相應(yīng)的情況;

然后,將分析的情況進行總結(jié),便得到了符合題意的解決過程.

綜上所述,求圖形面積通常會在菱形中有運動點的情況下討論圖形面積的變化特點,而圖形的面積變化主要是由點的運動造成的.根據(jù)圖形的形狀求運動時間,是菱形中動點問題的典型代表,需根據(jù)這些圖形的性質(zhì)找到等量關(guān)系,然后利用等量關(guān)系列方程并求解.這些都是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想或分類討論思想的體現(xiàn),教學中教師不應(yīng)僅局限于問題的分析,而應(yīng)該充分發(fā)展學生的數(shù)學思想.