類比推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則與方法

張 程

? 江蘇省南通市小海中學(xué)

類比推理是結(jié)合兩類不同事物的類似特征,根據(jù)已知事物的特征,推導(dǎo)出另一類事物特征的一種方法.這種方法推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論不一定準(zhǔn)確,但存在一定的合理性,可利用證明或反例來(lái)確定其可靠性.簡(jiǎn)而言之,這是一種由特殊到特殊的推理形式,基本范式如下:

A的性質(zhì)有:a1,a2,a3……,an,a′;B的性質(zhì)有:b1,b2,……,bn.其中,ai和bi(i=1,2,3,……,n)類似或相同.據(jù)此可推斷B具有b′的性質(zhì),b′與a′相似或相同[1].

類比推理作為科學(xué)研究的重要方法之一,也適用于初中數(shù)學(xué)概念、解題等的教學(xué)中.掌握好這種思維,能有效地幫助學(xué)生通過(guò)已知獲得未知,實(shí)現(xiàn)思維的創(chuàng)新.

1 應(yīng)用原則

1.1 參與性原則

新課標(biāo)明確提出學(xué)生才是課堂的主人.隨著新課改的推進(jìn)與深入,學(xué)生已然成為當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂中的主體,教師只是起引導(dǎo)作用.想要提高教學(xué)效率,首先需調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的積極性,鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)、自主地參與到類比推理過(guò)程中,為更好地獲得新知奠定基礎(chǔ).

1.2 過(guò)程性原則

教師不能將眼光局限于類比推理的結(jié)論,而應(yīng)關(guān)注學(xué)生在類比推理過(guò)程中思維的發(fā)展歷程,只有領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法,才能從真正意義上實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)步.為了啟迪學(xué)生的思維,教師可將自己的思維過(guò)程暴露出來(lái)供學(xué)生參考,讓學(xué)生從中看到類比推理的邏輯關(guān)系,從而促進(jìn)自身學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.

2 應(yīng)用方法

2.1 引入概念

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),也是知識(shí)學(xué)習(xí)的首要環(huán)節(jié),它的重要性不言而喻.隨著新課改的推進(jìn),教師的教學(xué)觀念也逐漸發(fā)生了轉(zhuǎn)化,概念教學(xué)由原來(lái)靜態(tài)的文字形式轉(zhuǎn)化成動(dòng)態(tài)的教學(xué)模式,常見(jiàn)的有結(jié)合學(xué)生的生活素材或原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行概念的引入.

新課標(biāo)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系,要求教師結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際進(jìn)行教學(xué).其實(shí),不少數(shù)學(xué)概念在學(xué)生的實(shí)際生活里都能找到它的原型.為此,教師可在充分了解概念內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上,結(jié)合學(xué)情,利用與學(xué)生生活相關(guān)的情境,幫助學(xué)生抽象概念.

案例1“平面直角坐標(biāo)系”的教學(xué)

平面直角坐標(biāo)系是一個(gè)比較抽象的概念,若運(yùn)用傳統(tǒng)的“講解+練習(xí)”方式,很難讓學(xué)生產(chǎn)生形象、深刻的認(rèn)識(shí).為此,筆者結(jié)合學(xué)生的生活,采取了以下類比推理的方法來(lái)引出概念.

第一步:展示一張18排18座的電影票,要求學(xué)生說(shuō)說(shuō)尋找該座位的具體方法.

初中學(xué)生都有看電影的生活經(jīng)歷,根據(jù)電影票尋找座位是一件簡(jiǎn)單且有趣的事,學(xué)生很快就能表達(dá)清楚尋找座位的方法.

問(wèn)題為什么電影票上要運(yùn)用幾排幾座來(lái)表示每個(gè)人的具體位置呢?

學(xué)生經(jīng)過(guò)交流與分析,一致認(rèn)為這么編排的作用就在于讓觀眾快速找到一對(duì)一的位置,避免出現(xiàn)擁擠或座位重復(fù)的情況,同時(shí)還利于售票工作的開(kāi)展.

第二步:將電影院的座位抽象成點(diǎn),一個(gè)座位用一個(gè)點(diǎn)表示,并在此基礎(chǔ)上滲透平面直角坐標(biāo)系的概念.

學(xué)生很快就能根據(jù)對(duì)電影院座位的直觀感受及電影院座位的特點(diǎn),類比推理出平面直角坐標(biāo)系的基本特征.

此過(guò)程,教師通過(guò)一張電影票引出座位,再引入本節(jié)課的教學(xué)主題“平面直角坐標(biāo)系的概念”,學(xué)生根據(jù)自己熟悉的生活素材,很快就能抓住本節(jié)課的重點(diǎn),并對(duì)此產(chǎn)生直觀、形象、深刻的認(rèn)識(shí),使得概念教學(xué)更加生動(dòng)、有效.

2.2 輔助解題

解題能力體現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)綜合水平與素養(yǎng).類比推理是一種重要的解題方法,它能幫助學(xué)生突破思維障礙,找到解題思路,使得原本模糊的問(wèn)題變得條理清晰,亦可將原本復(fù)雜的問(wèn)題,變得簡(jiǎn)潔.初中階段的數(shù)學(xué)解題涉及到的內(nèi)容比較多,如幾何、函數(shù)、方程等問(wèn)題,均需用到類比推理法.

為此,筆者針對(duì)如何更好地將類比推理法應(yīng)用于解題教學(xué)中,作了大量實(shí)踐與研究,頗有收獲.實(shí)踐證明,類比推理應(yīng)用于解題教學(xué)中,能有效地激活學(xué)生的思維,可為提高課堂教學(xué)效率奠定基礎(chǔ).

案例2“二次函數(shù)”的教學(xué)

“二次函數(shù)”是初中階段令不少學(xué)生頭疼的一個(gè)章節(jié),本章內(nèi)容多且復(fù)雜,既是中考的重點(diǎn),也是難點(diǎn).中考試卷中常以綜合類問(wèn)題呈現(xiàn),對(duì)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)與思維能力的要求比較高,歷年學(xué)生的失分現(xiàn)象都比較嚴(yán)重.

問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(-2,-4),O(0,0),B(2,0).(1)求該拋物線的解析式;(2)若M為該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),則AM+OM的最小值是多少?

分析：本題的第(1)問(wèn)比較容易,只要將A,O,B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式,即可通過(guò)解方程獲得結(jié)果.第(2)問(wèn)對(duì)于學(xué)生而言有點(diǎn)難度,學(xué)生思維的障礙點(diǎn)在于求最小值的方法.因此,筆者引導(dǎo)學(xué)生類比之前求最短距離的問(wèn)題,作對(duì)稱點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短,將對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)相連,此時(shí)與對(duì)稱軸產(chǎn)生的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn),再應(yīng)用勾股定理,很快就能獲得AM+OM的最小值.

隨著與求最短距離問(wèn)題的類比,本題的解題思路愈發(fā)清晰.若一味地從題目本身去思考,則很難突破思維障礙,從而導(dǎo)致解題失敗.由此可見(jiàn),類比推理在解題教學(xué)中具有無(wú)可替代的重要作用.作為教師,應(yīng)利用好類比推理方法,將它滲透于解題過(guò)程中,啟發(fā)學(xué)生的思維,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

2.3 引發(fā)猜想

類比猜想是指應(yīng)用類比推理法,將兩個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象或問(wèn)題中存在的相似之處進(jìn)行比較,推測(cè)出事物的基本屬性,獲得新的命題或方法.解題中,不論從命題的本身來(lái)說(shuō),還是從解題的思路方法來(lái)看,類比推理都能引發(fā)學(xué)生的猜想,從中獲得命題的引申與推廣的基本動(dòng)力[2].

最常見(jiàn)的類比猜想有:①根據(jù)命題相似的條件,猜想結(jié)論的相似性;②根據(jù)命題相似的形式,猜想推理方法的相似性.在應(yīng)用類比推理法求解問(wèn)題時(shí),應(yīng)注重輔助問(wèn)題的引入,輔助問(wèn)題作為類比的參照,是引發(fā)猜想、形成解題思路的重要載體,從輔助問(wèn)題上可預(yù)見(jiàn)到問(wèn)題的答案.

案例3“軸對(duì)稱圖形”的教學(xué)

教師若從理論的角度再三強(qiáng)調(diào)軸對(duì)稱圖形的概念與性質(zhì),學(xué)生也很難從本質(zhì)上掌握其內(nèi)涵.而引導(dǎo)學(xué)生一起動(dòng)手操作,則能引發(fā)學(xué)生的共鳴,很容易抽象出軸對(duì)稱、對(duì)稱軸與軸對(duì)稱圖形的概念.

邊操作,邊結(jié)合理論,既能突出教學(xué)重點(diǎn),又能促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生知識(shí)的正遷移[3].在了解軸對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)上,對(duì)等邊三角形、等腰三角形、正方形、長(zhǎng)方形、圓等圖形的性質(zhì)進(jìn)行類比猜想,并通過(guò)實(shí)際操作來(lái)驗(yàn)證這種猜想.

活動(dòng)中,教師鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言,積極參與實(shí)驗(yàn)與探究,在親歷圖形性質(zhì)的抽象過(guò)程中獲得相應(yīng)的結(jié)論.如此,既展現(xiàn)了“做中學(xué)”的教育理念,又充分展現(xiàn)了“體驗(yàn)、發(fā)展”的教育思想.從學(xué)生感知到數(shù)學(xué)定理的形成,需經(jīng)歷一個(gè)類比推理、猜想、驗(yàn)證的過(guò)程,而每個(gè)環(huán)節(jié)無(wú)不透露出數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性與思維的周密性.

通過(guò)活動(dòng)的開(kāi)展,學(xué)生親歷操作、推理與驗(yàn)證的過(guò)程,有效地培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力與創(chuàng)新意識(shí),同時(shí)也讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的實(shí)際關(guān)系:數(shù)學(xué)來(lái)自生活,高于生活,為生活服務(wù).

綜上可知,教學(xué)中教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)情,巧妙地創(chuàng)設(shè)一些類比推理的機(jī)會(huì),以推進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展,讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的成就感,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效率.

總之,類比推理作為一種歷經(jīng)時(shí)代考驗(yàn)的科學(xué)思維方法,可將舊知靈活地應(yīng)用到新知中,使得學(xué)生快速熟悉并接納新事物,尤其是面對(duì)靈活多變的數(shù)學(xué)問(wèn)題,類比推理法的應(yīng)用,能有效地打開(kāi)學(xué)生的思維,促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的形成與發(fā)展.