霍云

摘 要： 解題方法是解題教學(xué)的重要內(nèi)容，其主要形式有直接轉(zhuǎn)化、降次轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化和數(shù)形轉(zhuǎn)化.在教學(xué)過(guò)程中，教師要注意轉(zhuǎn)變的原則、提問(wèn)的方法，并適時(shí)地將轉(zhuǎn)換觀念滲透到學(xué)生的思維中，使他們能夠正確地使用轉(zhuǎn)換方法.

關(guān)鍵詞： 初中數(shù)學(xué)；解題思路；方法研究

初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)在于充分挖掘教材中的知識(shí)，縮短教材和中考的差距，搭建起二者的聯(lián)系，所以，在教學(xué)中，教師要自覺(jué)地運(yùn)用一題多解的方法，從教材的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，從多個(gè)方面切入，真正做到橫望成嶺，側(cè)望成峰.中考時(shí)經(jīng)常會(huì)將二次函數(shù)的性質(zhì)和定義結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用系數(shù)推理、性質(zhì)判斷等多種方法進(jìn)行解題.掌握有關(guān)的解題方法和技術(shù)，可以讓學(xué)生靈活地使用數(shù)學(xué)知識(shí)，提高他們的計(jì)算效率和精確度.

1 掌握解題方法和技巧的重要性

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教給學(xué)生方法和技術(shù)是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)和提高數(shù)學(xué)水平的重要保證.二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一個(gè)重要而又困難的問(wèn)題，從它的定義可以看出，它是一個(gè)復(fù)雜多變的知識(shí)，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中多加思考，掌握二次函數(shù)的解法和技巧，提高解題的準(zhǔn)確度和效率，避免陷入解題的誤區(qū).正確的解題方式和技巧可以提高學(xué)生的解題效率，提高答題的準(zhǔn)確率，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 初中數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化思想

2.1 直接轉(zhuǎn)化

直接轉(zhuǎn)化就是通過(guò)運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式、理論，把那些看上去很難理解的問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為自己所熟悉的數(shù)學(xué)公式，從而能夠更好地解決問(wèn)題.而對(duì)直接轉(zhuǎn)化的高效教學(xué)，則要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)公式、理論進(jìn)行深入的講解，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式、理論進(jìn)行深入的理解和運(yùn)用，進(jìn)而了解這一部分的實(shí)質(zhì)，使學(xué)生能夠在面對(duì)問(wèn)題時(shí)，將公式運(yùn)用到解題中，以達(dá)到有效解題的目的.

比如，在計(jì)算圓的內(nèi)接四邊形角度時(shí)，教師要讓學(xué)生注意到“圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180度”“同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等”等定理，從而指導(dǎo)學(xué)生把角計(jì)算的方法轉(zhuǎn)換為一種新的方法.通過(guò)對(duì)角線的多邊形連接，構(gòu)成四邊形，把內(nèi)角的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)換為學(xué)生所熟悉的計(jì)算內(nèi)容，從而得到正確的解答［1］.

2.2 降次轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)方程教學(xué)中，學(xué)生常常會(huì)碰到解決高次方程的難題.高次方程的求解是一個(gè)很大的難題，而且一般不能直接求解.所以要運(yùn)用降次轉(zhuǎn)化的思想，對(duì)原來(lái)的方程進(jìn)行變形，使之成為學(xué)生熟悉的、能夠計(jì)算的形式.教師在講解時(shí)，要圍繞題目的類型，和學(xué)生一起討論，讓學(xué)生充分運(yùn)用所學(xué)到的知識(shí)，把現(xiàn)有的算式進(jìn)行降次轉(zhuǎn)化，加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，從而讓學(xué)生在遇到同一類問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)地進(jìn)行降次轉(zhuǎn)換.

比如，“已知b是方程x2-x-1=0的根，計(jì)算b3-2b2+2 021的值”這一問(wèn)題.因?yàn)閤2-x-1=0的根數(shù)比較復(fù)雜，所以求解起來(lái)很困難，而這道題的目的在于對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)換，教師可以通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的變化和降次來(lái)解決問(wèn)題.例如：x2-x-1=0可以轉(zhuǎn)換成x2-x=1；b3-2b2+2 021可轉(zhuǎn)換為b3-b2-b2+2 021；b3-b2-b2+2 021再轉(zhuǎn)換成b（b2-b）-b2+2 021；代入b2-b=1，得到b-b2+2 021;-b2+b+2 021可以轉(zhuǎn)化成-（b2-b）+2 021，進(jìn)而則得到b3-2b2+2 021=2 020.

教師要指導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維方法，通過(guò)降次變換達(dá)到求解題目的目的.

2.3 換元轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)中，使用換元變換是很普遍的.在教學(xué)中，教師要使學(xué)生充分了解換元變化在解決問(wèn)題時(shí)的作用.在進(jìn)行換元的過(guò)程中，要注意換元的對(duì)等，保證換元后的公式是合理的，不能改變?cè)械臄?shù)學(xué)定義.

2.4 數(shù)形轉(zhuǎn)化

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)是一個(gè)很大的難題，一般需要學(xué)生把代數(shù)、文字轉(zhuǎn)換成圖形，并通過(guò)圖形來(lái)尋找解題的方法.在課堂上，教師要引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖形，并用交點(diǎn)法等方法來(lái)解決問(wèn)題.同時(shí)為確保學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，教師在安排習(xí)題時(shí)，還應(yīng)注重練習(xí)的難度，以滿足學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的探究欲望，從而有助于學(xué)生理順數(shù)形轉(zhuǎn)化的細(xì)節(jié)，從而達(dá)到對(duì)數(shù)形轉(zhuǎn)化的正確理解.

比如，圖1中的△ABC和函數(shù)圖象都是在第一象限，且函數(shù)圖象和△ABC有一個(gè)重疊的區(qū)域，那么在這個(gè)重疊區(qū)域中，k的數(shù)值是什么？這類問(wèn)題的解題比較困難，在解題時(shí)，要尋找一個(gè)切入點(diǎn)，以使問(wèn)題得到更好的解決.在已知的條件下，利用學(xué)生所學(xué)的反比例函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行解析，當(dāng)k大于0時(shí)，k的數(shù)值越大，則函數(shù)的曲線與y軸的偏差就越大.從曲線的運(yùn)行來(lái)看，可以看到，在函數(shù)圖形的左側(cè)，A是一個(gè)臨界值，而在右側(cè)，當(dāng)函數(shù)圖形和BC邊相交時(shí)，這個(gè)問(wèn)題就得到了解決.利用該方法，可以把問(wèn)題從平面的交叉問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，由A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)求出了三角形各邊的函數(shù).在獲得BC邊的函數(shù)解析式后，將兩個(gè)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，最后把它們轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)相交時(shí)有解的問(wèn)題.

3 ?初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解析式的解題方法和技巧

3.1 基于根與系數(shù)的關(guān)系求解問(wèn)題

根與系數(shù)的關(guān)系是求解一元二次方程問(wèn)題的最常用的方法.例如，問(wèn)題“存在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），滿足a-b+c=0，請(qǐng)寫出1個(gè)符合題目條件的方程”.由題意可得-1是方程的一個(gè)根，在根與系數(shù)的關(guān)系的基礎(chǔ)上，可以迅速地解出- c a 是方程的另一根，可得出方程滿足（x+1） x+ c a ?=0，將a，c任意賦值便可得符合條件的方程.由此發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系的使用使得求解過(guò)程變得簡(jiǎn)單，大大提高了求解的精度和效率［2］.

很多學(xué)生在解答這道方程時(shí)，都會(huì)被它所包含的大量的信息所震驚.在這個(gè)時(shí)候，如果用傳統(tǒng)的解法來(lái)解決問(wèn)題，會(huì)讓學(xué)生陷入一個(gè)困境中，從而影響到解題準(zhǔn)確性和效率.但如果能在解題中靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，就能迅速地得出正確的結(jié)論.

與傳統(tǒng)的公式解法相比，韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用，能迅速地簡(jiǎn)化問(wèn)題的解法，并能得到正確的答案.所以在進(jìn)行解題訓(xùn)練時(shí)，一定要把一元二次方程的解題方法和經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來(lái).

3.2 基于換元方法求解問(wèn)題

在一元二次方程問(wèn)題中，換元法也是一種常見(jiàn)的解法，它的優(yōu)點(diǎn)在于它可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的方程，讓解題速度更快.換元就是把一個(gè)方程中的一些相同的代數(shù)式當(dāng)作一個(gè)整體，用一個(gè)變量代替，讓問(wèn)題的解法變得簡(jiǎn)單，讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，更容易找到突破口［3］.

比如：64（x+4）2+x2+8x=32.解析：如果讓學(xué)生按照傳統(tǒng)的解法，先求判別式，然后解，這就意味著計(jì)算的工作量很大，很可能會(huì)犯錯(cuò)誤，但如果讓他們仔細(xì)看題目的結(jié)構(gòu)，在等號(hào)的兩邊各加16，就有x2+8x+16=（x+4）2.這樣，可以將原方程對(duì)應(yīng)地轉(zhuǎn)化成64（x+4）2+（x+4）2=48.

換元法是一種高效的解決方程問(wèn)題的方法，它的關(guān)鍵在于將對(duì)應(yīng)的解法中的有關(guān)式子做等價(jià)代換，從而使解題速度更快，更容易找到解題的突破口.

3.3 系數(shù)推理法

二次函數(shù)的解析式有三個(gè)很重要的系數(shù)，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).三個(gè)因子與二次函數(shù)關(guān)系密切，二次函數(shù)圖的開(kāi)口是由系數(shù)a確定的，而函數(shù)與y軸的交點(diǎn)是通過(guò)系數(shù)c來(lái)確定的.在二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的考查中，通常會(huì)考查學(xué)生是否掌握了圖形的特性，因此，在遇到此類問(wèn)題時(shí)，可以采用系數(shù)推理法來(lái)進(jìn)行運(yùn)算.在解決問(wèn)題時(shí)，從系數(shù)出發(fā)，利用系數(shù)公式解決問(wèn)題，可以節(jié)省大量的時(shí)間.

二次函數(shù)問(wèn)題的解答需要學(xué)生熟悉和理解相關(guān)的知識(shí)，熟悉二次函數(shù)的特性和公式，并在最后的分析中選出正確的答案.

3.4 性質(zhì)判斷法

性質(zhì)判定方法也是解答二次函數(shù)問(wèn)題的常用方法，它要求學(xué)生能夠全面地掌握二次函數(shù)的公式、性質(zhì)等，并利用二次函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.性質(zhì)判定以選擇題為主，需要將性質(zhì)判定與圖象相結(jié)合，選出正確的答案.例如，學(xué)生在判斷函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性時(shí)，可以采用定性判定的方法，迅速找到正確的答案.對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，性質(zhì)判定法是最基本的一種方法，它需要學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，與實(shí)際相結(jié)合，從而加快解題的速度［4］.

3.5 數(shù)形結(jié)合

在眾多的解題方法和技術(shù)中，數(shù)形結(jié)合是一種非常有效的解題方式，可以使學(xué)生把抽象的問(wèn)題具體化，靈活地進(jìn)行數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生能夠有效地解決二次函數(shù)的解析式問(wèn)題，從而提高學(xué)生的邏輯能力和運(yùn)算能力.

3.6 三種表達(dá)方式的解析

3.6.1 一般式的解法

在二次函數(shù)的三種表達(dá)式中，通用方程是最基本的.在解一般方程時(shí)，必須將三組對(duì)應(yīng)的x，y代入解析公式，得到一個(gè)三元一次方程組，求解得到a，b，c的數(shù)值，盡管可以得到正確的答案，但計(jì)算的工作量很大，因此學(xué)生要找到更有效的解決辦法.雖然一般方程是學(xué)生必須要掌握的知識(shí)，但此解法并不是最好的方法，需要學(xué)生加強(qiáng)對(duì)廣義方程的理解，并將其融入解題中.

3.6.2 頂點(diǎn)式的解法

在二次函數(shù)的解題中，頂點(diǎn)方程也是很普遍的，它是由一個(gè)通用方程轉(zhuǎn)換而來(lái)的.它的解法有一個(gè)前提，那就是二次函數(shù)的頂點(diǎn)是（h，k），圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，n），這樣學(xué)生就可以利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題了.首先，學(xué)生需要假設(shè)y=a（x-h）2+ k，再將另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入所假設(shè)的表達(dá)式即可求解.采用頂點(diǎn)法進(jìn)行解題，不僅可以節(jié)省運(yùn)算時(shí)間，還可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

3.6.3 交點(diǎn)式解法

y=a（x-x 1）（x-x 2）是一種常用的二次函數(shù)交點(diǎn)式，它不需要知道二次函數(shù)的頂點(diǎn)，只需要知道圖象和x軸的交點(diǎn)，就能解決問(wèn)題.二次函數(shù)圖象和x軸相交是解決問(wèn)題的必要條件.該方法的基本思想是一個(gè)通用的公式，即y=ax2+a（-x 1-x 2）x+ax 1x 2.例如，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的三個(gè)點(diǎn)是（1，0）、（2，0）、（3，4），則所假設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-x 1）（x-x 2），將（1，0），（2，0）點(diǎn)代入可得y=a（x-1）（x-2），再把另外一個(gè)坐標(biāo)代入解析式，即可得到a和解析式.

4 靈活運(yùn)用

學(xué)生在學(xué)習(xí)了多個(gè)二次函數(shù)的解法和技術(shù)后，要靈活運(yùn)用，以便根據(jù)不同的問(wèn)題，選擇最簡(jiǎn)單有效的解法，提高解題的效率和精確度.為了避免在解題過(guò)程中出錯(cuò)，學(xué)生需要善于思考，能夠舉一反三.在實(shí)際操作中，教師首先要自己做一次示范，再讓學(xué)生根據(jù)自己的問(wèn)題進(jìn)行小組討論.而一些比較復(fù)雜的問(wèn)題，既考查二次函數(shù)，又涉及其他的知識(shí)，這就需要學(xué)生將這些問(wèn)題融會(huì)貫通，并掌握解題的基本原理，從而實(shí)現(xiàn)更復(fù)雜的綜合運(yùn)用［5］.

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它不但在初中階段的考試中占有很大的比重，同時(shí)和許多學(xué)科有著密切的關(guān)系.近年來(lái)，從二次函數(shù)的考查傾向來(lái)看，主要以考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系為主.

5 結(jié) 語(yǔ)

函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中起著舉足輕重的作用，它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、綜合運(yùn)用能力、思維能力等起著舉足輕重的作用.因此，在初中階段，教師要讓學(xué)生正確地理解和掌握二次函數(shù)的解法，并能選擇和使用正確的解題方式，提高解題的準(zhǔn)確度和效率.

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