李江，張為慶

（東北電力大學(xué)電氣工程學(xué)院，吉林吉林132012）

0 引言

風(fēng)能作為可再生能源，已成為全球裝機(jī)容量最大的綠色能源。雙饋風(fēng)機(jī)（doubly-fed induction generator，DFIG）的運(yùn)行效率高、成本低、變流器容量小，是目前使用最廣泛的風(fēng)力發(fā)電機(jī)之一[1-6]。當(dāng)前，我國(guó)主要風(fēng)力發(fā)電基地與負(fù)荷中心相距較遠(yuǎn)，需要通過(guò)遠(yuǎn)距離輸電線路將電能輸送到負(fù)荷中心[7-13]，為了提高輸電線路的輸電能力以及系統(tǒng)的暫態(tài)穩(wěn)定性，通常在遠(yuǎn)距離高壓輸電線路中安裝串聯(lián)電容進(jìn)行補(bǔ)償，輸電線路的串聯(lián)補(bǔ)償電容在大規(guī)模風(fēng)電輸送中得到了廣泛地應(yīng)用[14-16]，但串聯(lián)補(bǔ)償電容的應(yīng)用同時(shí)也給電力系統(tǒng)帶來(lái)了次同步振蕩的風(fēng)險(xiǎn)[6-9]，當(dāng)前雙饋風(fēng)機(jī)次同步振蕩的分析主要集中在整數(shù)階領(lǐng)域，在分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域的研究還不夠深入。由于轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩的變量較多，動(dòng)態(tài)行為比較復(fù)雜，對(duì)系統(tǒng)次同步振蕩的產(chǎn)生具有重要影響，所以本文對(duì)雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩變化量的傳遞函數(shù)增益進(jìn)行分?jǐn)?shù)階辨識(shí)獲取其分?jǐn)?shù)階模型。

通常采用整數(shù)階模型研究系統(tǒng)的主要特征，但是對(duì)于大部分由分布參數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)，整數(shù)階模型并不能全面準(zhǔn)確地表達(dá)其特性。而與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階模型卻可以精確地描述分布參數(shù)構(gòu)成的系統(tǒng)[21-23]。隨著研究的深入，整數(shù)階模型在分析系統(tǒng)特性時(shí)已不足以反映系統(tǒng)的所有特征。分?jǐn)?shù)階模型雖然可以描述系統(tǒng)更多的特性，但是帶來(lái)了辨識(shí)上的困難，與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階模型要綜合考慮系數(shù)與階次的關(guān)系。在進(jìn)行分?jǐn)?shù)階模型辨識(shí)時(shí)，為了獲取最合適、最準(zhǔn)確的辨識(shí)參數(shù)，需要在辨識(shí)過(guò)程中修改辨識(shí)模型，使辨識(shí)模型與辨識(shí)數(shù)據(jù)之間的誤差最小，利用最優(yōu)化的方法解決模型辨識(shí)問(wèn)題[24]。

分?jǐn)?shù)階微積分理論在實(shí)際工程中也有比較廣泛地應(yīng)用，電感與電容的分?jǐn)?shù)階模型比整數(shù)階模型更能準(zhǔn)確體現(xiàn)元件特性[25-28]。目前主要有頻域和時(shí)域兩種辨識(shí)方法，頻域辨識(shí)方法根據(jù)頻域數(shù)據(jù)，通過(guò)辨識(shí)算法得到分?jǐn)?shù)階模型，時(shí)域辨識(shí)方法則通過(guò)時(shí)域數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，與頻域辨識(shí)相比，時(shí)域辨識(shí)方法的辨識(shí)時(shí)間長(zhǎng)、計(jì)算量大。文獻(xiàn)[29-30]根據(jù)永磁電機(jī)的電路特性建立了其分?jǐn)?shù)階模型，并設(shè)計(jì)了永磁風(fēng)機(jī)的時(shí)域與頻域?qū)嶒?yàn)方案，辨識(shí)得到了永磁風(fēng)機(jī)的分?jǐn)?shù)階模型，通過(guò)對(duì)比分析驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)[31]利用實(shí)驗(yàn)辨識(shí)得到了鋰電池的分?jǐn)?shù)階等效電路模型，通過(guò)分析模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證了鋰電池的分?jǐn)?shù)階模型的準(zhǔn)確性。

本文首先在第1 節(jié)中給出雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子側(cè)電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的推導(dǎo)；然后，在第2 節(jié)中介紹基于Levy 方法的改進(jìn)頻域辨識(shí)算法[32-33]，在第3節(jié)將辨識(shí)算法應(yīng)用到雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子側(cè)傳遞函數(shù)增益的分?jǐn)?shù)階模型辨識(shí)中，并通過(guò)Bode 圖和單位階躍響應(yīng)曲線的分析驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型的準(zhǔn)確性。

1 雙饋風(fēng)機(jī)模型與轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益

雙饋風(fēng)機(jī)主要由風(fēng)力機(jī)、傳動(dòng)系統(tǒng)、轉(zhuǎn)子側(cè)變流器（rotor side converter，RSC）與網(wǎng)側(cè)變流器（grid side converter，GSC）等部分組成，本文所研究的系統(tǒng)如圖1 所示。在表1 中給出雙饋風(fēng)機(jī)及輸電系統(tǒng)的參數(shù)。

表1 雙饋風(fēng)機(jī)和輸電系統(tǒng)的參數(shù)Table 1 Parameters of DFIG and transmission network

圖1 雙饋風(fēng)機(jī)系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of doubly fed induction generator system

轉(zhuǎn)子感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的變化量公式為[34]

式中：ωr0*是穩(wěn)態(tài)時(shí)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的標(biāo)幺值；Lm*為dq坐標(biāo)系下的定轉(zhuǎn)子之間的互感標(biāo)幺值；isd0*、isq0*為定子電流在d軸和q軸分量的標(biāo)幺值；ωs*為定子電角頻率；ωBase是同步角頻率；Δωr*是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的變化量。

根據(jù)雙饋風(fēng)機(jī)系統(tǒng)示意圖中風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子及RSC部分的電路結(jié)構(gòu)，并通過(guò)Laplace 變換可得到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的方程表達(dá)式為

式中：Lcr*是轉(zhuǎn)子側(cè)變流器連接的電抗標(biāo)幺值；Rrcr*=Rr*+Rcr*，即將轉(zhuǎn)子電阻與RSC 電阻合并后的電阻標(biāo)幺值；ωBase是同步角頻率；ωr*為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的標(biāo)幺值；ΔErd*、ΔErq*分別是轉(zhuǎn)子d、q軸感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)變化量的標(biāo)幺值；ΔIrd*、ΔIrq*分別為轉(zhuǎn)子電流的d、q軸分量標(biāo)幺值；ΔUrd*、ΔUrq*分別是RSC 在d、q軸上輸出電壓變化量的標(biāo)幺值。

在轉(zhuǎn)子側(cè)變流器的控制策略中，直軸和交軸均采用內(nèi)環(huán)和外環(huán)控制，如圖2 所示。直軸控制是為了確保轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速能夠跟隨參考值，交軸控制是為了實(shí)現(xiàn)定子的無(wú)功功率跟隨參考值。

圖2 RSC控制策略Fig.2 RSC control strategy

在下文的分析中，考慮到轉(zhuǎn)子側(cè)變流器的內(nèi)環(huán)系數(shù)遠(yuǎn)小于外環(huán)系數(shù)，所以只考慮內(nèi)環(huán)系數(shù)。當(dāng)轉(zhuǎn)速發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)子側(cè)變流器輸出電壓的變化量公式為

式中，Kp2、Ki2分別是轉(zhuǎn)子側(cè)變流器的內(nèi)環(huán)比例、積分系數(shù)。

聯(lián)立式（1）-（3），即可得到轉(zhuǎn)子電流變化量與轉(zhuǎn)速變化量之間的關(guān)系式公式為

根據(jù)雙饋風(fēng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩關(guān)系式，可以得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩變化量的表達(dá)式為

式中，GTer(s)是轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩變化量傳遞函數(shù)增益。

大多數(shù)的風(fēng)電場(chǎng)為了補(bǔ)償無(wú)功功率常裝設(shè)靜止補(bǔ)償器或靜止同步補(bǔ)償器，所以雙饋風(fēng)機(jī)的定子電流中只含有isd0*，而isq0*=0。所以，可以得到轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式為

式中，各次系數(shù)公式為

2 基于Levy的分?jǐn)?shù)階辨識(shí)算法

假設(shè)對(duì)于公式（6），通過(guò)Levy 辨識(shí)算法辨識(shí)得到的分?jǐn)?shù)階模型表達(dá)式GF(s)公式為

第1 步：為了得到公式（7）中的各個(gè)參數(shù)，得到公式（7）所表示的分?jǐn)?shù)階模型的頻域特性表達(dá)式。

令s=jω，帶入分?jǐn)?shù)階模型表達(dá)式中，其頻域特性表達(dá)式為

第2 步：利用系統(tǒng)模型G(s)與辨識(shí)模型之間的誤差建立目標(biāo)函數(shù)，求取分?jǐn)?shù)階模型中的各個(gè)參數(shù)。

誤差目標(biāo)函數(shù)公式為

當(dāng)誤差目標(biāo)函數(shù)η(jω)取值最接近0 時(shí)，GF(s)即為滿足條件的分?jǐn)?shù)階模型。但是如果直接利用公式（9）的表達(dá)形式求解目標(biāo)函數(shù)難以獲取分?jǐn)?shù)階模型中的各個(gè)參數(shù)，所以需要對(duì)公式（9）進(jìn)一步進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到公式

將公式（8）帶入公式（10），得到公式

為了求解分?jǐn)?shù)階模型中的辨識(shí)參數(shù)aj（j=0，1，2，…，n）和bi（i=0，1，2，…，m），將JL=|E|2作為目標(biāo)函數(shù)，分別對(duì)aj和bi求偏導(dǎo)，公式為

將公式（11）帶入公式（12）中，可得方程組

通過(guò)求解公式（13）和公式（14）所表示的方程組就可以得到分?jǐn)?shù)階模型的辨識(shí)參數(shù)aj（j=0，1，2，…，n）和bi（i=0，1，2，…，m）。為了更清楚簡(jiǎn)潔地表達(dá)公式（13）和公式（14），用矩陣進(jìn)行表示，公式為

式中：A、B、C、D、E和G的表達(dá)式在引入權(quán)重wp函數(shù)之后給出，見公式（18）-（23）；a=[a0，a1，a2，…，an]T；b=[b0，b1，b2，…，bm]T。

第3 步：為了提高辨識(shí)得到的分?jǐn)?shù)階模型的精確性，利用Vinagre 算法構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)，并給出分?jǐn)?shù)階模型與系統(tǒng)模型的均方差指標(biāo)（root mean square error，RMSE）。

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)JL，頻率ω的取值越大，頻率ω對(duì)目標(biāo)函數(shù)JL的影響就越大，而當(dāng)頻率ω的取值較小時(shí)，頻率ω對(duì)目標(biāo)函數(shù)JL的影響也較小，這就使得分?jǐn)?shù)階模型在低頻段內(nèi)辨識(shí)效果不夠理想。本文采用Vinagre 算法：按順序?qū)p函數(shù)添加到原目標(biāo)函數(shù)JL中，提高辨識(shí)算法在低頻區(qū)間的辨識(shí)準(zhǔn)確度，引入wp函數(shù)之后的目標(biāo)函數(shù)JV為[35]：

從公式（16）和公式（17）中可以看出，低頻對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響得到了提高。因?yàn)閣p函數(shù)與系數(shù)aj和bi無(wú)關(guān)，所以不會(huì)對(duì)公式（12）的值產(chǎn)生影響。加入wp函數(shù)之后，公式（15）中各個(gè)參數(shù)的表達(dá)式為

RMSE 的表達(dá)式為

式中，f是采樣點(diǎn)的總數(shù)。

3 算例分析

3.1 分?jǐn)?shù)階模型的辨識(shí)

本文依據(jù)分?jǐn)?shù)階連續(xù)分布的概念，提出雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的兩種分?jǐn)?shù)階模型表達(dá)式[36]：

第1 種分?jǐn)?shù)階模型設(shè)置為m=n=2，稱為2q階分?jǐn)?shù)階模型，該模型是為了讓表達(dá)式更加簡(jiǎn)潔、直觀的表現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階模型的優(yōu)勢(shì)，還可以在后續(xù)分析轉(zhuǎn)子特性時(shí)將其與分?jǐn)?shù)階電路相對(duì)應(yīng)，用分?jǐn)?shù)階理論分析系統(tǒng)特性。

第2 種模型將m和n分別設(shè)為3 和4，稱為3q階分?jǐn)?shù)階模型，該模型是依據(jù)第1 節(jié)中雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩的整數(shù)階傳遞函數(shù)增益的形式設(shè)定的。當(dāng)q=1 時(shí)，該模型等價(jià)于整數(shù)階模型在數(shù)值上的表達(dá)式。

根據(jù)第1 節(jié)推導(dǎo)的雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的表達(dá)式，做出轉(zhuǎn)子傳遞函數(shù)增益的Bode 圖，并從圖中取52 個(gè)有代表性的頻率點(diǎn)作為辨識(shí)數(shù)據(jù)；然后利用第2 節(jié)的辨識(shí)算法對(duì)2q階分?jǐn)?shù)階模型和3q階分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。圖3 是頻率在[0.1 rad/s，316 rad/s]范圍內(nèi)52 個(gè)頻率點(diǎn)的辨識(shí)數(shù)據(jù)。

圖3 頻域辨識(shí)數(shù)據(jù)Fig.3 Frequency domain identification data

本文設(shè)定f=52，分?jǐn)?shù)階階次q取值區(qū)間為（0，2），取值間隔為0.01。根據(jù)第2 節(jié)中提出的基于Levy 的改進(jìn)辨識(shí)算法，利用矩陣公式（15）可以計(jì)算出2q階分?jǐn)?shù)階模型中的參數(shù)a1、a2和b0、b1、b2以及3q階分?jǐn)?shù)階模型中的參數(shù)a1、a2、a3、a4和b0、b1、b2、b3，并利用公式（24）計(jì)算相應(yīng)模型的均方差值。

對(duì)于2q階分?jǐn)?shù)階模型，當(dāng)n=m=2、q=0.99 時(shí)，均方差值為RMSE=1.030 9×10-4，得到雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的2q階分?jǐn)?shù)階模型辨識(shí)公式為

同理，對(duì)于3q階分?jǐn)?shù)階模型，當(dāng)n=3、m=4、q=0.51 時(shí)，最小均方差的值RMSE=5.856 2×10-5，雙饋風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益的3q階分?jǐn)?shù)階模型公式為

3.2 分?jǐn)?shù)階辨識(shí)的頻域結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性，將得到的兩種分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)數(shù)據(jù)模型進(jìn)行對(duì)比，圖3 和圖4 是其對(duì)比Bode 圖。從圖中可以看出，在風(fēng)機(jī)實(shí)際運(yùn)行使用的頻率區(qū)間內(nèi)，根據(jù)辨識(shí)結(jié)果的均方差指標(biāo)以及在圖像上的直觀擬合效果可以看出，兩種分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)數(shù)據(jù)模型之間誤差小，擬合度高。因此，對(duì)雙饋風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行分?jǐn)?shù)階頻域建模是正確有效的。

圖4 分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)模型的對(duì)比Bode圖Fig.4 Bode diagram of comparison between fractional models and identification data

3.3 分?jǐn)?shù)階模型的階躍響應(yīng)分析

3 種模型下的單位階躍響應(yīng)曲線如圖5 所示，從圖中可以看出，3 種模型在單位階躍信號(hào)的作用下，其輸出響應(yīng)從初始狀態(tài)到穩(wěn)態(tài)的過(guò)程中，單位階躍響應(yīng)的曲線是衰減震蕩的欠阻尼形式。表2 為3 種模型在單位階躍響應(yīng)下的性能指標(biāo)，表3 為采用單因素方差分析的結(jié)果，用以分析2q階分?jǐn)?shù)階模型G1(s)、3q階分?jǐn)?shù)階模型G2(s)與辨識(shí)數(shù)據(jù)模型G(s)之間的擬合程度和暫態(tài)特征上的有效性。

表2 3種模型在單位階躍響應(yīng)下的性能指標(biāo)Table 2 Performance indicators of the three models under unit step response

表3 單因素方差分析結(jié)果Table 3 Results of one-way ANOVA

圖5 兩種分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)數(shù)據(jù)模型的階躍響應(yīng)Fig.5 Two fractional order models and step response of identification data model

階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)主要包括穩(wěn)態(tài)時(shí)間ts、峰值時(shí)間tm和超調(diào)量σ，如表2 所示，3 種模型的性能指標(biāo)在數(shù)值均相等，這表明兩種分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)模型之間的擬合程度很高。為了更加準(zhǔn)確的驗(yàn)證3 種模型之間擬合的精度，下文采用單因素方差分析進(jìn)行驗(yàn)證。

單因素方差分析是指試驗(yàn)中只有一個(gè)因素發(fā)生變化時(shí)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過(guò)檢驗(yàn)方差相等的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等，判斷變化的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)是否有顯著影響。在分析分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)數(shù)據(jù)模型的單位階躍響應(yīng)時(shí)，變化的因素就是不同分?jǐn)?shù)階模型與辨識(shí)數(shù)據(jù)模型的分組。通過(guò)分析不同模型分組的單因素方差分析結(jié)果，判斷是否有顯著差異。利用數(shù)值分析工具箱進(jìn)行此項(xiàng)分析，分析結(jié)果如表3 所示。

首先對(duì)表3 中參數(shù)的意義進(jìn)行解釋說(shuō)明，模型組中的G-G1和G-G2分別是辨識(shí)數(shù)據(jù)模型G（s）與2q階分?jǐn)?shù)階模型G1（s）和3q階分?jǐn)?shù)階模型G2（s）的分組；Average 是兩組數(shù)據(jù)差值的平均值；F是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；P-value 是觀測(cè)差異的顯著水平；F-crit 是檢驗(yàn)臨界值，當(dāng)F0.05 時(shí)，表示沒(méi)有顯著差異。

在單因素方差分析過(guò)程中，可信度設(shè)置為95%。從表3 中可知，兩個(gè)模型組的觀測(cè)差異的顯著水平P-value 大于0.05 與檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F小于檢驗(yàn)臨界值F-crit，表示2q階分?jǐn)?shù)階模型G1（s）和3q階分?jǐn)?shù)階模型G2（s）取得了較好的擬合效果以及在暫態(tài)特征上取得了有效的結(jié)果；并且辨識(shí)數(shù)據(jù)模型G（s）與3q階分?jǐn)?shù)階模型G2（s）的P-value 更大、F更小，說(shuō)明3q階分?jǐn)?shù)階模型的擬合度更高。

4 結(jié)語(yǔ)

基于頻域辨識(shí)數(shù)據(jù)對(duì)雙饋風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)子電磁轉(zhuǎn)矩傳遞函數(shù)增益進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階辨識(shí)近似，根據(jù)不同的情況，采用基于Levy 的改進(jìn)辨識(shí)算法，在頻域中實(shí)現(xiàn)了對(duì)所提出的2q階分?jǐn)?shù)階模型和3q階分?jǐn)?shù)階模型的參數(shù)辨識(shí)。Bode 圖的對(duì)比結(jié)果和均方差數(shù)值指標(biāo)均驗(yàn)證了所提出的兩種分?jǐn)?shù)階模型與原模型頻域的近似性。單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)和單因素方差分析的結(jié)果驗(yàn)證了分?jǐn)?shù)階模型對(duì)原整數(shù)階模型在暫態(tài)特征上的有效性。