構(gòu)筑大觀念：數(shù)學(xué)概念教學(xué)與微課的深度融合

［摘? 要］ 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》建議初中數(shù)學(xué)教學(xué)要創(chuàng)設(shè)源于現(xiàn)實世界的真實情境，以不同方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、感知數(shù)學(xué)、品味數(shù)學(xué)，形成科學(xué)觀念，學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、數(shù)學(xué)的思維分析世界、數(shù)學(xué)的語言描述世界. 大觀念是學(xué)科育人最具價值的認(rèn)知，統(tǒng)領(lǐng)課程內(nèi)容的組織、教學(xué)活動的設(shè)計和學(xué)科評價的方式，體現(xiàn)單元教學(xué)的整體性和關(guān)聯(lián)性. 文章以學(xué)生需求為切入點，微課為延展點，大觀念為聚焦點探討初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)與微課的深度融合.

［關(guān)鍵詞］ 大觀念；數(shù)學(xué)概念；微課；深度融合

大觀念是一種基于學(xué)科知識又高于學(xué)科知識的認(rèn)知，明白知識從哪里來，又能解決哪些問題. 這種觀念的形成，單靠學(xué)科知識的積累是不夠的. 它需要借助媒介，了解數(shù)學(xué)概念的前世今生，才能把它和生活以及其他學(xué)科之間的共性聯(lián)系起來，形成科學(xué)大觀念. 微課作為在線教育重要組成部分，在課堂教學(xué)中也能發(fā)揮其短小精悍、覆蓋面廣、靈活性強(qiáng)等特點，為知識的自然生成添磚加瓦，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的新生力量. 為學(xué)生知識背景的獲取，抽象思維可視化提供了機(jī)會，為科學(xué)大觀念的建構(gòu)開辟了一條充滿魅力、活力和生命力的探索之路. 對于微課與初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的深入融合，筆者有以下一些感悟.

初中數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀及分析

數(shù)學(xué)概念反映的是客觀事物間的空間形式與數(shù)量關(guān)系方面的本質(zhì)屬性，是整個數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中具有重要地位. 然而，數(shù)學(xué)概念始終是學(xué)習(xí)的薄弱環(huán)節(jié)，大多數(shù)學(xué)生都停留在記憶、理解、應(yīng)用的初級認(rèn)知階段，只有少數(shù)學(xué)生能達(dá)到高級認(rèn)知階段并形成大觀念. 導(dǎo)致這種現(xiàn)狀的原因是什么？筆者為了解原因，針對概念教學(xué)設(shè)計了一份網(wǎng)絡(luò)調(diào)查問卷. 抽樣對象為初中數(shù)學(xué)一線教師（江蘇省85%，其他省份15%）；樣本容量為197，回收率為83%. 根據(jù)問卷數(shù)據(jù)分析，得到如下結(jié)論.

1. 初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀

（1）概念和定義界定不清.

根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)可知，只有16%的教師知道數(shù)學(xué)概念和定義的區(qū)別；有48%的教師了解一些，卻說不清楚區(qū)別是什么；有28%的教師感覺概念和定義差不多，定義就是概念的另一種說法；還有8%的教師不知道. 被抽樣的教師中10年以上教齡的成熟教師占89%，如果教師都不清楚概念和定義的區(qū)別，又如何去引導(dǎo)學(xué)生？這是值得每一位教師反思的問題.

（2）知識體系不完整.

教師的高度，決定學(xué)生思維的深度. 數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵包括概念的發(fā)展背景、生成過程及外延. 教師對數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵理解不透，往往習(xí)慣性地直接給出形式化的定義，然后通過練習(xí)鞏固概念. 學(xué)生沒有經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，難以理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵，無法提升數(shù)學(xué)思維和建構(gòu)完整的知識體系.

（3）解題的“會而不全”.

“會而不全”是指學(xué)生在解題過程中，會做一部分但解答不完全正確的現(xiàn)象，這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中司空見慣.對于成績中等的學(xué)生，這種現(xiàn)象尤為普遍. 主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)解題過程不規(guī)范，想到哪里寫到哪里，沒有條理性，只是機(jī)械性地記住形式化的定義，掌握的是表層的知識，當(dāng)知識的應(yīng)用背景發(fā)生變化時，便無從下手，或只能解答一部分.

2. 原因分析

從調(diào)查數(shù)據(jù)來看，導(dǎo)致數(shù)學(xué)概念教學(xué)成為薄弱環(huán)節(jié)的主要原因有：

（1）教師引導(dǎo)缺失實效性.

教師沒有足夠的時間去準(zhǔn)備素材和收集相關(guān)背景資料與教師對概念的內(nèi)涵和外延把握不夠好是密切相關(guān)的. 如果教師有足夠的時間去收集材料和研究相關(guān)概念，對概念的把握就不會不夠好. 這需要尋求更好的方法和途徑來解決這個問題. 微課能在短短幾分鐘的時間內(nèi)把概念的由來、發(fā)展和外延可視化，解決教師和學(xué)生的困難.

（2）學(xué)生理解概念有難度.

數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵往往是抽象的、豐富的，要想透徹理解數(shù)學(xué)概念需要多維度、多層次地感悟，體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程. 如果沒有恰當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生理解起來是比較困難的，更不會達(dá)到高級認(rèn)知階層. 微課在此時可以變抽象為直觀，使思維可視化；再加上恰當(dāng)講解和動畫，能快速地把所需的數(shù)字化信息融合到概念學(xué)習(xí)中來，直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延.

（3）評價方式缺乏多元化.

在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程中，部分教師和學(xué)生更多關(guān)注的是問題的答案是否正確，卻忽視了生成答案的思維方法和過程，導(dǎo)致學(xué)生的思維體系不完整. 一旦應(yīng)用背景有所改變，“會而不全”的現(xiàn)象就會發(fā)生. 學(xué)生能說出數(shù)學(xué)概念的思維方法、思考路徑等，教師都應(yīng)給予肯定和認(rèn)可.

構(gòu)筑大觀念：數(shù)學(xué)概念教學(xué)與微課的深度融合

針對以上現(xiàn)狀和原因，要提升初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率，概念教學(xué)改革勢在必行. 讓學(xué)生機(jī)械式記憶、理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念不是教學(xué)所要達(dá)到的最終目標(biāo)，構(gòu)筑大觀念，讓學(xué)生站在科學(xué)的視角，對概念進(jìn)行分析、評價，并創(chuàng)造性地解決問題才是教學(xué)的最終目的. 借助微課讓概念的內(nèi)涵和外延可視化，幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象和感悟中了解概念的必要性，對提升學(xué)生的認(rèn)知能力和發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知目標(biāo)具有重要的價值和意義.

1. 以“微”入境，觸發(fā)思維

數(shù)學(xué)概念發(fā)展史是最能激起學(xué)生好奇心和學(xué)習(xí)興趣的素材，也是最容易被教師忽視的知識. 運(yùn)用微課可以輕松地解決這個問題，即通過微課抽象出數(shù)學(xué)概念. 每一個有數(shù)學(xué)文化背景的微課的錄制，都需要教師查閱大量資料，一旦形成就是優(yōu)質(zhì)的共享資源，短時、高效、可循環(huán)利用. 通過思維可視化，既節(jié)約時間，又幫助學(xué)生理解概念從哪里來，對數(shù)學(xué)概念的理解和思維的歸類有不可或缺的作用.

例如蘇科版八年級上冊“勾股定理”的教學(xué)，微課從《周髀算經(jīng)》里周文王與商高的對話開始，到“大禹治水的計算方法”，再到古今中外勾股定理的產(chǎn)生；從學(xué)生到科學(xué)家再到總統(tǒng)對勾股定理的證明歷程，讓學(xué)生徜徉在歷史長河中直觀感受勾股定理的偉大，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)勾股定理的欲望. 整個過程也就幾分鐘的時間，卻讓學(xué)生知道了勾股定理從哪里來，以及學(xué)習(xí)勾股定理的必要性和必然性.

2. 借“微”生成，深化思維

數(shù)學(xué)概念通常有三種類型：一是將相同屬性從眾多的對象中抽象出來，形成一個具有相同本質(zhì)特征的概念，可將其稱為屬性概念. 二是對研究的對象建立一個規(guī)則，通過規(guī)則形成概念，將其稱為規(guī)則性概念. 三是一些數(shù)學(xué)概念作為知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)點與更多的數(shù)學(xué)內(nèi)容建立更廣泛的聯(lián)系，這種概念稱為結(jié)點性概念. 掌握這些，就可以利用微課使思維可視化，知識概念該怎么學(xué).

（1）思維可視化，透過現(xiàn)象看本質(zhì).

屬性是某一對象在客觀世界存在的特征，不以人的意志而轉(zhuǎn)移，只能在人們認(rèn)識世界時去發(fā)現(xiàn). 屬性概念教學(xué)的關(guān)鍵就是通過大量問題情境，讓學(xué)生抽象出概念的數(shù)學(xué)屬性，形成新的知識. 基本流程如圖1所示，在這一學(xué)習(xí)過程中，前面三個環(huán)節(jié)都可以用微課輔助，使思維可視化，最后讓學(xué)生歸納概念. 這類數(shù)學(xué)抽象和建立概念的必要性就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要宗旨，是一個人一生要具備的關(guān)鍵能力和必備品格.

例如蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊“函數(shù)”的教學(xué)，可以用微課展示大量的實際生活問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生從已有的生活經(jīng)驗出發(fā)表達(dá)自己的看法，說出哪些量在變化，哪些變化的量之間有一定的聯(lián)系. 通過學(xué)生的觀察與表達(dá)，以及師生的互動，總結(jié)出函數(shù)的三個本質(zhì)屬性，然后給具有這種本質(zhì)屬性的關(guān)系取個名字——函數(shù).

（2）思維可視化，透過現(xiàn)象定規(guī)矩.

規(guī)則性概念的教學(xué)關(guān)鍵就是立規(guī)矩. 在平常教學(xué)中，部分教師遇到規(guī)則性概念往往是直白地告訴學(xué)生定義，然后讓學(xué)生按規(guī)則來解題就行. 這樣教學(xué)，背景一換學(xué)生就不會靈活運(yùn)用所學(xué)的概念了. 如果是教師給出情境，讓學(xué)生根據(jù)情境自己制定規(guī)則，這樣學(xué)生不僅能理解概念，還能提升認(rèn)知層次（規(guī)則性概念的教學(xué)流程如圖2所示）. 即用問題驅(qū)動學(xué)生發(fā)明、創(chuàng)造、構(gòu)建解決問題的規(guī)則，從而把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)化為自覺的思維方式.

例如蘇科版初中數(shù)學(xué)九年級上冊“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)，①給情境：利用微課展示三個不同的生活情境，讓學(xué)生直觀感受“權(quán)”的存在，它可以表示數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)，可以表示數(shù)據(jù)的百分比，也可以表示數(shù)據(jù)所占的比例. ②立規(guī)則：“權(quán)”就是“權(quán)重”，加權(quán)就是乘權(quán)重. ③下定義：加權(quán)平均數(shù)就是乘權(quán)重的平均數(shù).? ④再運(yùn)用：運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)解決生活實踐中的對應(yīng)問題. 學(xué)生會在身臨其境的狀態(tài)下完成對規(guī)則概念的理解和運(yùn)用，無形中達(dá)到高級認(rèn)知中的創(chuàng)造的目標(biāo).

（3）思維可視化，透過結(jié)點定體系.

數(shù)學(xué)知識結(jié)點廣泛而又互相關(guān)聯(lián)形成數(shù)學(xué)邏輯體系. 結(jié)點性概念作為知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)點，存在于數(shù)學(xué)知識體系中，能與更多的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容建立更加廣泛的聯(lián)系. 學(xué)生只有在概念結(jié)構(gòu)中反復(fù)認(rèn)識概念，才能促進(jìn)思維的生成，加深對概念的理解. 這里要分清概念的從屬關(guān)系，即要弄清楚上位概念、本位概念、下位概念. 例如完全平方公式，它的上位概念是多項式乘多項式，下位概念是配方公式；再如平行四邊形，它的上位概念是四邊形，下位概念是矩形、菱形、正方形. 它們形成了一個邏輯性的知識框架圖，而且它們本身都是一種屬性概念，互相關(guān)聯(lián). 對于結(jié)點性概念的教學(xué)，要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中自主生成、延伸形成知識框架.

3. 通“微”引智，建構(gòu)初中數(shù)學(xué)大觀念

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，基于學(xué)生已有的認(rèn)知水平，合理設(shè)計微課內(nèi)容和切入點，有意識地營造問題情境，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，思考后引出概念，有些概念的外延是延伸出課堂或教材的. 因課堂時間有限以及教學(xué)任務(wù)的限制，課堂上無法完成相關(guān)內(nèi)容的拓展，通過微課實現(xiàn)概念的外延，讓學(xué)生明白概念到哪里去了，以形成完整的認(rèn)知體系和科學(xué)大觀念.

例如蘇科版八年級下冊“中點四邊形”的教學(xué)，教材上沒有明確提及，只是給學(xué)生留了一道討論題，如果放在課堂上進(jìn)行探究，時間是不夠的，因為前面還有三角形中位線性質(zhì)的推導(dǎo)和應(yīng)用. 如果放在課后，讓學(xué)生自學(xué)，學(xué)生又無從下手. 如果讓學(xué)生課后觀看微課，學(xué)生就能知道中點四邊形就是順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形，再根據(jù)已有的三角形中位線的性質(zhì)進(jìn)行自主探究和學(xué)習(xí)，還能知道中點四邊形是平行四邊形且形狀和原四邊形的對角線有關(guān)——會隨著對角線的變化而變化. 所以說微課對數(shù)學(xué)概念的外延具有直觀的引領(lǐng)作用.

4. 用“微”智途，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

借助微課，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光從現(xiàn)實世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式；用數(shù)學(xué)的思維提出有意義的數(shù)學(xué)問題并抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理；用數(shù)學(xué)的語言描述現(xiàn)實世界，形成對數(shù)學(xué)的好奇心與想象力，主動參與數(shù)學(xué)探究活動，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識以及實踐能力.

例如教學(xué)蘇科版數(shù)學(xué)八年級上冊“軸對稱圖形”時，用微課帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)實際生活中，根據(jù)已有的生活經(jīng)驗觀察生活中的軸對稱圖形，然后抽象出軸對稱圖形的性質(zhì)屬性，并總結(jié)軸對稱與軸對稱圖形的聯(lián)系和區(qū)別，再通過設(shè)計軸對稱圖形培養(yǎng)創(chuàng)造性思維. 接下來學(xué)習(xí)線段、角的軸對稱性和等腰三角形的軸對稱性都是在學(xué)習(xí)軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的探究活動. 整章教學(xué)要形成的數(shù)學(xué)大觀念就是軸對稱圖形，什么是軸對稱圖形，有哪些性質(zhì)，能解決哪些問題，在實際生活中有哪些應(yīng)用，這條主線就是軸對稱圖形大觀念. 在數(shù)學(xué)學(xué)科中，基于軸對稱圖形大觀念可以探究線段、角、等腰三角形、圓等圖形的相關(guān)性質(zhì)；在物理學(xué)科中，軸對稱圖形大觀念是平面鏡成像的數(shù)學(xué)原理.

教育部2019年發(fā)布的《中國教育現(xiàn)代化2035》，要求加快時代教育變革，促進(jìn)信息技術(shù)與教學(xué)的深度融合. 微課與初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的深度融合，逐步形成思維可視化的教學(xué)體系，為初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)提供了數(shù)學(xué)抽象的途徑. 思維可視化有利于數(shù)學(xué)概念的理解和記憶，能有效提高信息加工及信息傳遞的效能. 只有把數(shù)學(xué)與實際生活和其他學(xué)科之間的內(nèi)在聯(lián)系融合成自己的大觀念，才能用科學(xué)的眼光觀察世界、分析世界、描述世界. 基于布盧姆的認(rèn)知目標(biāo)分析，把數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)由理解、記憶、應(yīng)用的初級認(rèn)知階層逐步提升到分析、評價、創(chuàng)造的高級認(rèn)知階層，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo).

作者簡介：袁堂彩（1978—），本科學(xué)歷，中學(xué)高級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作，曾獲連云港市港城名師、初中數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人、教科研先進(jìn)個人等榮譽(yù).